復(fù)變函數(shù)斜軸橢球變換法的銜接應(yīng)用

楊 力，姚德新

(1.蘭州交通大學(xué) 測繪與地理信息學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.地理國情監(jiān)測技術(shù)應(yīng)用國家地方聯(lián)合工程研究中心，甘肅 蘭州 730070；3.甘肅省地理國情監(jiān)測工程實(shí)驗(yàn)室，甘肅 蘭州 730070)

隨著長大線路工程建設(shè)需求越來越多，對(duì)長大線路工程控制網(wǎng)的精度提出越來越高的要求。控制長度投影變形是長線工程施工質(zhì)量的重要保證。文獻(xiàn)[1-5]提出法截面子午線高斯投影，有效的減小測區(qū)到中央子午線的距離，控制長度投影變形，解決高斯投影頻繁換帶、精度不高等問題，但該方法計(jì)算過程復(fù)雜、參數(shù)設(shè)置繁瑣。文獻(xiàn)[6-7]提出斜軸變形橢球高斯投影，利用空間直角坐標(biāo)的優(yōu)越性及便利性大大減小測區(qū)的高斯投影橫坐標(biāo)，有效降低高差帶來的影響。文獻(xiàn)[8-10]提出采用大橢圓線橢球高斯投影，優(yōu)化計(jì)算，數(shù)據(jù)處理效率高，同樣適用于長線工程。在長度投影變形分析中，滿足投影變形不大于10 mm/km的條件下，測區(qū)平均高程大于63.71 m時(shí)需考慮由高程引起的長度變形，測區(qū)距中央子午線距離大于28.5 km時(shí)，需考慮投影引起的長度變形。但是文獻(xiàn)[2-10]所提出的多種方法在線路經(jīng)過地勢復(fù)雜區(qū)域時(shí)，線路轉(zhuǎn)折大、高差大，導(dǎo)致部分測區(qū)邊緣距斜軸橢球中央子午線較遠(yuǎn)平均高程大的問題，此時(shí)一個(gè)工程橢球并不能滿足綜合投影變形不大于10 mm/km的要求，需對(duì)線路進(jìn)行平面、高程分段處理。文獻(xiàn)[11]提出交點(diǎn)法線重合的方法，面對(duì)轉(zhuǎn)折大的長線工程分成多段子午線法截面橢球進(jìn)行平面銜接。文中在斜軸變形橢球高斯投影理論的基礎(chǔ)上提出復(fù)變函數(shù)斜軸橢球變換法高斯平面坐標(biāo)微分公式，構(gòu)建斜軸橢球變換前后高斯平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，并通過實(shí)際鐵路工程數(shù)據(jù)驗(yàn)證該模型在坐標(biāo)系的銜接，以及建立高精度工程控制網(wǎng)中的優(yōu)越性與適用性。

1 復(fù)變函數(shù)高斯平面坐標(biāo)的微分公式推導(dǎo)

高斯投影正解的非迭代復(fù)變函數(shù)表示[12-13]：

q=arctanh(sinB)-e·arctanh(e·sinB)，

w=q+il，

φ=arcsin(tanh(w))，

z=x+iy=a(j0φ+j2sin2φ+j4sin4φ+

j6sin6φ+j8sin8φ+j10sin10φ)，

x=Rez,y=lmz.

(1)

式中：q為等量緯度；w為投影前等量緯度與經(jīng)差組成的復(fù)變量；z為高斯投影后平面縱橫坐標(biāo)組成的復(fù)變量，其中x為縱坐標(biāo)，y為橫坐標(biāo)；B，l為大地緯度，經(jīng)差；e為第一偏心率；a為橢球長半軸。Re為復(fù)數(shù)實(shí)部，Im為復(fù)數(shù)虛部。

復(fù)變量z分別對(duì)參數(shù)(a，e，B，l)求微分：

(2)

中間量偏導(dǎo)數(shù)：

(3)

(4)

(5)

(6)

矩陣中各偏導(dǎo)數(shù)：

j6sin6φ+j8sin8φ+j10sin10φ),

(7)

2j2cos2φ+4j4cos4φ+6j6cos6φ+8j8cos8φ

+10j10cos10φ)],

(8)

6j6cos6φ+8j8cos8φ+10j10cos10φ),

(9)

6j6cos6φ+8j8cos8φ+10j10cos10φ).

(10)

2 橢球變換法大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)微分公式

2.1 橢球膨脹法大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)微分公式

橢球膨脹法：橢球中心、軸向、橢球偏心率e保持不變，橢球長短半軸發(fā)生變化。橢球長半軸變化da=a1-a0。采用高程直接補(bǔ)償法，選取da=△H0。

膨脹橢球大地坐標(biāo)微分公式[2]：

(11)

膨脹橢球高斯坐標(biāo)微分公式：

(12)

2.2 橢球平移法大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)微分公式

橢球平移法：將橢球以橢球中心平移，不改變橢球的軸向、長半徑、偏心率、尺度。

平移橢球大地坐標(biāo)微分公式[2]：

(13)

平移橢球高斯坐標(biāo)微分公式：

(14)

2.3 橢球變形法大地坐標(biāo)與高斯坐標(biāo)微分公式

橢球變形法：橢球的長半徑、偏心率改變，而不改變橢球的軸向、中心、尺度。

變形橢球大地坐標(biāo)微分公式[2]：

(15)

變形橢球高斯坐標(biāo)微分公式：

(16)

3 高斯平面坐標(biāo)銜接模型

根據(jù)復(fù)變函數(shù)高斯平面坐標(biāo)微分公式與橢球變換法大地坐標(biāo)微分公式構(gòu)建高斯平面坐標(biāo)銜接模型:

(17)

式中：z1，z2為橢球變換前后高斯平面坐標(biāo)復(fù)變量；dx，dy為復(fù)變函數(shù)高斯平面坐標(biāo)微分公式計(jì)算的高斯平面坐標(biāo)的位移量；(x1，y1)和(x2′，y2′)為橢球變換前后的高斯平面坐標(biāo)。

4 算例分析

文中數(shù)據(jù)來源于文獻(xiàn)[2,6]中的算例分析。根據(jù)“某鐵路控制測量成果報(bào)告”的內(nèi)容，正線方案長約500 km，測區(qū)位于86°00′E～95°30′E，36°00′N～42°00′N，線路海拔高程最大為3 163.6 m，最小為2 797.8 m[2,6]。11個(gè)測站點(diǎn)在基礎(chǔ)橢球E0(CGCS2000)上的線路走向如圖1所示。由于篇幅所限，文中選取較好表達(dá)線路走向的6個(gè)測站點(diǎn)(1、7、8、9、10、11號(hào)點(diǎn))數(shù)據(jù)進(jìn)行算例分析。依據(jù)斜軸變形橢球高斯投影理論，利用最小二乘法，空間坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，將基礎(chǔ)橢球E0變換到斜軸橢球E1上。6個(gè)測站點(diǎn)在斜軸橢球E1上的大地坐標(biāo)以及在E1橢球參數(shù)下的高斯平面坐標(biāo)見表1。斜軸橢球E1長半軸a1為6 378 137 m，偏心率e1為0.058 134 977 515 3。

圖1 線路走向測點(diǎn)分布圖

4.1 斜軸膨脹橢球

在斜軸橢球E1的基礎(chǔ)上，根據(jù)橢球膨脹法[14-15]將斜軸橢球E1膨脹到E2橢球，見圖2。各點(diǎn)在E2橢球上的投影面高程、大地坐標(biāo)、高斯平面坐標(biāo)(x2，y2)以及長度投影變形，見表2。通過復(fù)變函數(shù)高斯平面微分公式計(jì)算高斯平面經(jīng)橢球變換前后高斯平面坐標(biāo)位移量(dx，dy)，高斯平面坐標(biāo)銜接模型計(jì)算膨脹后高斯平面坐標(biāo)(x2′，y2′)。通過(x2，y2)與(x2′，y2′)的較差進(jìn)行精度檢驗(yàn)，x2坐標(biāo)誤差小于15.5 mm，y2坐標(biāo)誤差不大于0.07 mm，見表3。

圖2 斜軸膨脹橢球及高斯平面坐標(biāo)

表1 E1大地坐標(biāo)與高斯平面坐標(biāo)

表2 斜軸膨脹橢球高斯投影

表3 斜軸膨脹橢球高斯平面坐標(biāo)銜接模型誤差分析 m

面對(duì)地勢復(fù)雜地區(qū)線路高差大，會(huì)導(dǎo)致長度投影變形高程歸化改正超限的情況，需根據(jù)不同的投影面高程進(jìn)行膨脹。選取1號(hào)點(diǎn)，進(jìn)行不同投影面高程橢球膨脹，根據(jù)投影面高程的差值可計(jì)算橢球膨脹前后高斯平面坐標(biāo)位移量。膨脹橢球投影高程面高差小于100 m時(shí)，橢球膨脹前后高斯平面銜接模型誤差小于0 mm；投影高程面高程差值為9 000 m的時(shí)候，橢球膨脹前后高斯平面銜接模型誤差小于0.026 mm，見表4。在滿足投影變形的條件下，選擇合適的高程投影面，不同投影面高程膨脹橢球高斯平面坐標(biāo)可以兩兩轉(zhuǎn)換。

表4 斜軸橢球不同高程投影面高斯平面坐標(biāo)銜接模型誤差分析 m

4.2 斜軸平移橢球

利用橢球平移法[14-15]將斜軸橢球E1平移到E3橢球，見圖3。E3橢球參數(shù)與斜軸橢球E1一致。此時(shí)點(diǎn)在E3橢球上的大地坐標(biāo)、高斯平面坐標(biāo)(x3，y3)，長度投影變形見表5。通過復(fù)變函數(shù)高斯平面微分公式計(jì)算經(jīng)橢球變換前后高斯平面坐標(biāo)位移量dx，dy，高斯平面坐標(biāo)銜接模型計(jì)算平移后高斯平面坐標(biāo)(x3′，y3′)。通過(x3，y3)與(x3′，y3′)的較差進(jìn)行精度檢驗(yàn)，高斯平面坐標(biāo)銜接模型x坐標(biāo)誤差不大于1.7 mm，y坐標(biāo)誤差不大于10.9 mm，見表6。

圖3 斜軸平移橢球及高斯平面坐標(biāo)

表5 斜軸平移橢球高斯投影

表6 高斯平面坐標(biāo)銜接模型誤差分析m

4.3 斜軸變形橢球

利用橢球變形法[14-15]將斜軸橢球E1變形到E4橢球，見圖4。點(diǎn)在E4橢球上的投影面高程、大地坐標(biāo)以及高斯平面坐標(biāo)(x4，y4)，長度投影變形小于10 mm/km，見表7。通過復(fù)變函數(shù)高斯平面微分公式計(jì)算經(jīng)橢球變換前后高斯平面坐標(biāo)位移量dx，dy和高斯平面坐標(biāo)銜接模型計(jì)算平移后高斯平面坐標(biāo)(x4′，y4′)。通過(x4，y4)與(x4′，y4′)的較差進(jìn)行精度檢驗(yàn)，高斯平面坐標(biāo)銜接模型x坐標(biāo)誤差小于16 m，y坐標(biāo)誤差不大于0.026 mm，見表8。

圖4 斜軸變形橢球及高斯平面坐標(biāo)

表7 斜軸變形橢球高斯投影

表8 高斯平面坐標(biāo)銜接模型誤差分析m

5 結(jié)束語

文中以復(fù)變函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)高斯平面坐標(biāo)微分公式，構(gòu)建高斯平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，并結(jié)合實(shí)際鐵路工程數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得出如下結(jié)論：

1)高斯平面坐標(biāo)銜接模型在斜軸平移橢球中精度最高誤差小于10.9 mm，其次是斜軸膨脹橢球誤差小于15.5 mm，斜軸變形橢球最大誤差為16 mm。由誤差分析可知，通過誤差改正模型可將高斯平面坐標(biāo)銜接模型的精度進(jìn)一步提高。同時(shí)涉及橢球參數(shù)變化量大小、橢球變換基準(zhǔn)點(diǎn)的選取、提高投影面高程精確值等。

2)面對(duì)轉(zhuǎn)折大、高差大的長線路工程，所構(gòu)建的多個(gè)工程橢球利用橢球變換參數(shù)值即可計(jì)算橢球變換前后高斯平面的坐標(biāo)位移量，并可進(jìn)行橢球變換前后的高斯平面坐標(biāo)銜接。

3)較大的投影面高程橢球膨脹，高斯平面銜接模型誤差小于0.026 mm，在滿足投影變形的條件下，選擇合適的高程投影面，不同投影面高程膨脹橢球高斯平面坐標(biāo)可以兩兩轉(zhuǎn)換，驗(yàn)證高斯平面坐標(biāo)銜接模型的正確性與優(yōu)越性。

4)利用Mathematica數(shù)學(xué)軟件推導(dǎo)復(fù)變函數(shù)高斯平面微分公式以及構(gòu)建高斯平面坐標(biāo)銜接模型，可編制相關(guān)軟件，投入工程使用。