●(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所 陜西安康 725000)

一道圓內(nèi)接四邊形面積最值高考題的研究

●趙臨龍(安康學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所 陜西安康 725000)

在近幾年數(shù)學(xué)高考試題中，有關(guān)圓內(nèi)接四形邊面積最值問題不斷出現(xiàn)，人們對此開展了廣泛討論.

1 結(jié)論

2007年，田富德[1]給出了封閉二次曲線內(nèi)接四邊形對角線交點(diǎn)與直角坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合的四邊形面積最大的結(jié)論.

2010年，周怡陽[2]結(jié)合2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題第16題，討論了圓內(nèi)接四邊形對角線交點(diǎn)不與直角坐標(biāo)軸原點(diǎn)重合的四邊形面積最大值.現(xiàn)將此解法上升為一般理論.

推論1若圓O：x2+y2=r2的內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)，則四邊形面積最大值S=2r2-OF2.

但在實(shí)際中，往往是無法知道圓內(nèi)接四邊形對角線的夾角.因此，筆者[3]對圓內(nèi)接四邊形的對角線斜率形式作以討論.

定理3若圓O：x2+y2=r2的內(nèi)接四邊形的對角線斜率分別為k1,k2(k1,k2≠0)，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)且|OF|=m>0,則四邊形面積S是

推論3若圓O:x2+y2=r2的內(nèi)接四邊形的對角線相互垂直，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)且|OF|=m>0，則四邊形面積S最值是

(1)當(dāng)且僅當(dāng)k1=1,k2=-1時(shí),即OF平分四邊形ABCD對角線AC，BD的交角時(shí)，四邊形ABCD的面積取最大值S=2r2-m2；

定理4若圓O：x2+y2=r2的內(nèi)接四邊形的對角線斜率k1,k2滿足k1k2=-a(a>0且a≠1)，F(xiàn)為圓內(nèi)一定點(diǎn)且|OF|=m>0,則四邊形面積S最值是

2 應(yīng)用

(2009年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

S橢圓四邊形∶S橢圓=S圓四邊形∶S圓，

即

此時(shí)，由仿射變換知，當(dāng)橢圓內(nèi)接四邊形的對角線斜率分別為0和∞時(shí)，四邊形的面積取最大值2.

圖1

(2)求四邊形ABCD面積的最小值.

(2007年全國數(shù)學(xué)高考理科試題)

解(1)略.

此時(shí)，由仿射變換知，當(dāng)橢圓內(nèi)接四邊形的對角線斜率分別為0和∞時(shí)，四邊形的面積取最大值為4.

有興趣的讀者，可以用此理論解決2007年安徽省數(shù)學(xué)高考文科試題：

例4設(shè)F是拋物線G：x2=4y的焦點(diǎn).

(1)過點(diǎn)P(0，-4)作拋物線G的切線，求切線方程；

(此文為安康學(xué)院重點(diǎn)扶持學(xué)科《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)》建設(shè)項(xiàng)目(AZXZ0107)和安康學(xué)院高層次科研專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)課題(AYQDZR201107)部分成果.)

[1] 田富德.封閉二次曲線內(nèi)接四邊形的面積最值問題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2007(11)：33-34.

[2] 周怡陽.探究一個(gè)圓內(nèi)接四邊形面積的最值[J].數(shù)學(xué)通訊，2010(Z3)：86-87.

[3] 趙臨龍.圓內(nèi)接四邊形面積最值的理論研究[J].河南科學(xué)，2011(6)：643-647.

[4] 朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.