●(諸暨市天馬高級(jí)中學(xué) 浙江諸暨 311800)

探究2011年浙江省數(shù)學(xué)高考解析幾何試題的來源及解法

●王鐵松(諸暨市天馬高級(jí)中學(xué) 浙江諸暨 311800)

2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科卷的解析幾何試題在直線方程表達(dá)上對(duì)學(xué)生的要求達(dá)到了前所未有的高度.筆者將對(duì)這一試題追根溯源并給出新的解法.

1 試題溯源

圖1

圖2

例1如圖1，已知拋物線C1:x2=y，圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M.

(1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離；

(2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，過點(diǎn)P作圓C2的2條切線，交拋物線C1于點(diǎn)A，B，若過點(diǎn)M，P的直線l垂直于AB，求直線l的方程.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

本試題的雛形出現(xiàn)在1999年浙江省數(shù)學(xué)會(huì)考中：

例2如圖2,已知點(diǎn)F(0,1),直線l:y=-2,及圓C:x2+(y-3)2=1．

(1)若動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F的距離比它到直線l的距離小1，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程.

(2)過軌跡E上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A,B．要使四邊形PACB的面積S最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及S的最小值．

(1999年浙江省數(shù)學(xué)會(huì)考試題)

會(huì)考卷的命題重心在于探究軌跡方程及通過圓幾何關(guān)系的等價(jià)轉(zhuǎn)換變?yōu)榍髣?dòng)點(diǎn)到圓心距離的最小值，其對(duì)直線方程的要求幾乎為零.

試題的另一個(gè)來源是2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題：

例3如圖3，P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B,C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

圖3

圖4

例1與例3的不同點(diǎn)在于切線是與直線相交還是仍與拋物線相交，但都對(duì)從一點(diǎn)發(fā)出2條切線及其方程的表達(dá)上提出了較高要求.注意到在2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文科卷中，命題者給出的也是與直線相交的問題，與例3同出一轍.

例4如圖4，設(shè)P是拋物線C1：x2=y上的動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)P做圓C2的2條切線，交直線l：y=-3于點(diǎn)A,B.

(1)求C2的圓心M到拋物線C1準(zhǔn)線的距離.

(2)是否存在點(diǎn)P，使線段AB被拋物線C1在點(diǎn)P處的切線平分，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文科試題)

2 試題求解

例1的解答有2種基本方案：

一是利用點(diǎn)斜式或直線方程的兩點(diǎn)式寫出切線方程，雖然是2條切線但可以用同一個(gè)形式來表示，這是此類問題的特點(diǎn).

設(shè)P(t,t2)，過點(diǎn)P的圓的切線斜率為k，則切線方程為y-t2=k(x-t).

由直線與圓相切得

從而

(t2-1)k2-2t(t2-4)k+(t2-4)2-1=0,

由韋達(dá)定理得

其中k1,k2為切線的斜率.

y-t2=(x1+t)(x-t).

由直線與圓相切得

從而

同理x2滿足

下面就是求出直線AB,PM的斜率，由2條直線垂直其斜率之積為-1建立關(guān)于t的方程即可.

上述的解法要求能預(yù)見到這樣的一個(gè)一元二次方程存在，然后進(jìn)行有效的表達(dá)和運(yùn)算.

二是利用直線PM的位置關(guān)系進(jìn)行解析.直線PM既是∠APB的平分線又滿足與對(duì)邊AB垂直，則△APB為等腰三角形，即點(diǎn)P位于線段AB的中垂線上，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為“中點(diǎn)與垂直”問題，進(jìn)行更為簡(jiǎn)潔的解析如下：

從而

也即直線PM的方程.

對(duì)比得到

3 深刻反思

3.1 在解析幾何復(fù)習(xí)中的解題教學(xué)

在解析幾何復(fù)習(xí)中，關(guān)注較多的是經(jīng)過某一點(diǎn)的直線，并在直線位置的變化中探究與曲線相交所產(chǎn)生的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.在解決此類問題時(shí)，學(xué)生對(duì)直線方程的挖掘與探究較少.其實(shí)，解析幾何表達(dá)的精髓無非是坐標(biāo)與方程，而方程的核心則是直線方程.曲線方程往往是已知的，而直線方程則要根據(jù)位置關(guān)系進(jìn)行有效的表達(dá).常見的情況有以下幾種：經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)、已知直線的方向、經(jīng)過2個(gè)點(diǎn)、沒有任何位置關(guān)系的信息，可以利用直線方程點(diǎn)斜式、斜截式和兩點(diǎn)式來表示,還要有效地假設(shè)未知的信息，譬如引進(jìn)斜率作為變量，或者同時(shí)引進(jìn)斜率和截距作為變量.總之，直線及其位置關(guān)系只有通過方程才能展開運(yùn)算，只有運(yùn)算才能對(duì)幾何關(guān)系進(jìn)行有效的表達(dá).

例1中從1個(gè)動(dòng)點(diǎn)發(fā)出2條直線，學(xué)生可能想到用點(diǎn)斜式或結(jié)合與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)利用兩點(diǎn)式來表示直線，但由于缺乏后面運(yùn)算的預(yù)見性而不敢為.敢想?yún)s不敢為或者為而無所作為，這是考生中普遍存在的一個(gè)心理和能力上的障礙.筆者認(rèn)為這與教學(xué)中存在的急功近利、教師單純追求復(fù)習(xí)有效有一定關(guān)系，教師沒有留出足夠的時(shí)間讓學(xué)生消化吸收，缺少真正的內(nèi)化與落實(shí).

3.2 如何更好地整合競(jìng)賽與高考資源

“高考試題競(jìng)賽化，競(jìng)賽試題高考化”，這是近幾年命題中出現(xiàn)的一個(gè)新動(dòng)向，尤其體現(xiàn)在名校的自主招生試題中.下面是近年來各級(jí)各類競(jìng)賽中出現(xiàn)的相關(guān)試題，供大家參考.

圖5

圖6

1．如圖5，已知點(diǎn)A(0，2)和拋物線y2=x+4上點(diǎn)B,C使得AB⊥BC，求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

(2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

2．如圖6，給定圓P:x2+y2=2x及拋物線S:y2=4x,過圓心P作直線,此直線與上述2條曲線的4個(gè)交點(diǎn)自上而下順次記為A,B,C,D.如果線段AB,BC,CD的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,求直線l的方程.

(2006年江西省南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

(2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆預(yù)賽試題)

圖7

圖8

另外在一般的模擬卷中有以下相似試題.

5．如圖9，過x軸上的動(dòng)點(diǎn)A(a,0)向拋物線y=x2+1引2條切線AP，AQ,點(diǎn)P,Q分別為切點(diǎn).

(1)若切線AP，AQ的斜率分別為k1,k2，求證：k1k2為定值；

(2)求證：直線PQ過定點(diǎn)；

(3)若a≠0，試求S△APQ:|OA|的最小值.

圖9

圖10

(1)求橢圓方程；

(2)如圖10，過圓D：x2+y2=1上任意一點(diǎn)P引橢圓的2條切線m,n，求證：m⊥n.

7．設(shè)Q是直線y=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)Q作x軸的垂線l，過點(diǎn)O作直線OQ的垂線交直線l于P.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(2)過點(diǎn)A(-2，4)作圓B：x2+(y-2)2=1的2條切線交曲線C于點(diǎn)M,N，試判斷并證明直線MN與圓B的位置關(guān)系.