對(duì)2011年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科第21題的深入探究
——兼談圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)

● (漾濞縣第一中學(xué) 云南大理 672500)

對(duì)2011年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科第21題的深入探究
——兼談圓錐曲線的一個(gè)統(tǒng)一性質(zhì)

●秦慶雄范花妹(漾濞縣第一中學(xué) 云南大理 672500)

2011年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題Ⅱ大部分都是比較常規(guī)的問(wèn)題，但平凡中蘊(yùn)含著不平凡，譬如第21題：

(1)證明：點(diǎn)P在C上；

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q，證明：點(diǎn)A，P，B，Q在同一圓上．

圖1

圖2

本題是一道解析幾何試題，設(shè)計(jì)新穎，綜合性強(qiáng)，集中考查了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，是一道有較好區(qū)分度的試題，值得深入探究.若將第(2)小題推廣為一般問(wèn)題進(jìn)行探究，則可獲得如下定理：

定理圓錐曲線2條相交弦的4個(gè)端點(diǎn)共圓的充要條件是這2條相交弦的斜率互為相反數(shù).

(充分性)若kAC=-kBD，設(shè)直線AC的方程為mx+ny+c1=0,則BD的方程為mx-ny+c2=0.

因?yàn)锳,B,C,D是橢圓b2x2+a2y2-a2b2=0與2條相交直線AC,BD的交點(diǎn)，所以可設(shè)過(guò)點(diǎn)A,B,C,D的二次曲線系方程為:

(mx+ny+c1)(mx-ny+c1)+

λ(b2x2+a2y2-a2b2)=0(λ為參數(shù)),

整理得

(λb2+m2)x2+(λa2-n2)y2+m(c1+c2)x+n(c2-c1)y+c1c2-λa2b2=0.

(必要性)若點(diǎn)A，B，C，D共圓，如果kAC≠-kBD，那么過(guò)點(diǎn)A作割線AE，使AE與CD相交且kAE=-kBD.由充分性知，點(diǎn)A,E,B,D共圓，因而點(diǎn)A,E,B,C,D共圓.又因?yàn)槿魏我粋€(gè)圓與橢圓不可能有5個(gè)交點(diǎn),所以必有kAC=-kBD．

對(duì)于雙曲線和拋物線，可仿照橢圓的證明方法完成，這里從略．

因此，圓錐曲線2條相交弦的4個(gè)端點(diǎn)共圓的充要條件是這2條相交弦的斜率互為相反數(shù).

如果掌握了上述定理的思路和方法，那么圓錐曲線的一些四點(diǎn)共圓問(wèn)題便迎刃而解，下面舉例說(shuō)明．

例1的證明過(guò)程如下：

由于點(diǎn)A,B是直線l與橢圓C的2個(gè)交點(diǎn),從而

(x1+x2+x3,y1+y2+y3)=(0,0),

即

x3=-(x1+x2),y3=-(y1+y2)，

于是

因此點(diǎn)P在橢圓C上.

從而

因此弦AB,CD相交且斜率互為相反數(shù),由定理可知點(diǎn)A，B，C，D在同一圓上.