Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場(chǎng)的輻射能通量和輻射功率

孟一凡, 孟慶苗

(1.菏澤學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)中心 山東 菏澤 274015;2.菏澤學(xué)院 物理系 山東 菏澤 274015)

Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場(chǎng)的輻射能通量和輻射功率

孟一凡1, 孟慶苗2

(1.菏澤學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)中心 山東 菏澤 274015;2.菏澤學(xué)院 物理系 山東 菏澤 274015)

利用黑洞視界面附近的熵密度,研究了黑洞的熱輻射規(guī)律,得到了黑洞的熱輻射滿(mǎn)足廣義Stefan-Boltzmann定律的結(jié)論.對(duì)極端Reissner-Nordstr?m黑洞,其輻射能通量和輻射功率為零,表明廣義Stefan-Boltzmann定律將導(dǎo)致黑洞遺跡.當(dāng)截?cái)嗑嚯x、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠(yuǎn)的觀測(cè)者接收到的輻射能通量與輻射粒子的徑向的平均瀉流速率成正比,與觀測(cè)者到黑洞之間的距離的平方成反比.

Reissner-Nordstr?m黑洞;平均瀉流速率;廣義Stefan-Boltzmann定律;輻射能通量

0 引言

20世紀(jì)70年代,Hawking從理論上證明了黑洞的視界會(huì)發(fā)出熱輻射[1],這極大地推動(dòng)了黑洞熱力學(xué)的發(fā)展.人們用各種方法求解黑洞熵,其中,′t Hooft提出的brick-wall模型[2]對(duì)黑洞熵的起源給出了一種統(tǒng)計(jì)解釋.文獻(xiàn)[3]采用該模型，得到了黑洞熵與黑洞視界面積成正比的結(jié)論.近年來(lái),人們把brick-wall模型改進(jìn)為薄膜模型[4],認(rèn)為黑洞的熵是來(lái)自視界附近的一個(gè)無(wú)窮小厚度薄層中量子場(chǎng)的貢獻(xiàn).文獻(xiàn)[5-6]采用薄膜模型計(jì)算黑洞的熵,同樣得到了黑洞熵與黑洞視界面積成正比的結(jié)論.有視界就有黑洞熵,就有Hawking輻射.2000年P(guān)arikh等[7]在考慮輻射粒子的自引力作用的情況下,將黑洞的Hawking輻射理解成一種量子隧穿過(guò)程,得到了黑洞視界處粒子的量子隧穿率與黑洞的Bekenstein-Hawking熵變有關(guān).隨后的一些工作[8]都得到了與Parikh結(jié)論完全相符的結(jié)果.可見(jiàn)黑洞熵與黑洞的熱輻射之間存在著必然的內(nèi)在聯(lián)系.進(jìn)一步研究二者之間的關(guān)系,是一項(xiàng)十分有意義的工作.

作者利用黑洞視界附近的熵密度,對(duì)黑洞的熱輻射規(guī)律進(jìn)行了研究,得到了黑洞的熱輻射滿(mǎn)足廣義Stefan-Boltzmann定律[9-10].得到的廣義Stefan-Boltzmann系數(shù)不再是一個(gè)恒量,而是一個(gè)與黑洞周?chē)臅r(shí)空度規(guī)有關(guān)的系數(shù).可見(jiàn)彎曲時(shí)空的熱輻射不同于平直時(shí)空的熱輻射,黑洞周?chē)膹?qiáng)引力場(chǎng)和電磁場(chǎng)將影響黑洞的熱輻射.為使研究結(jié)果更具有普遍意義,作者采用黑洞的薄膜模型研究了Reissner-Nordstr?m黑洞的熱輻射規(guī)律,揭示了黑洞周?chē)囊?chǎng)和電磁場(chǎng)與其熱輻射之間的內(nèi)在聯(lián)系.

1 Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射能通量和輻射功率

Reissner-Nordstr?m黑洞的時(shí)空線元為

式中，M為黑洞的質(zhì)量，Q為黑洞的電荷.由于時(shí)空具有球?qū)ΨQ(chēng)性,g00=0即為黑洞的視界面方程,容易得到黑洞的內(nèi)外視界半徑為

(1)

黑洞的視界溫度為

(2)

文獻(xiàn)[5]利用薄膜模型得到了靜態(tài)球?qū)ΨQ(chēng)黑洞Dirac場(chǎng)的統(tǒng)計(jì)熵為

(3)

令δ=nε,由(3)式可得

(4)

令n→∞時(shí)對(duì)應(yīng)的熵為S∞,由(4)式得

(5)

根據(jù)局域等效性原理,在黑洞視界附近無(wú)窮小厚度薄層膜局域內(nèi),熱力學(xué)基本等式成立,黑洞視界附近薄層膜內(nèi)的能量密度ρ,熵密度s與局域測(cè)得的溫度T之間滿(mǎn)足[9]

ρ=bT4,

(6)

(7)

由(5)式和(7)式可得

(8)

將(8)式代入(6)式得

唐納森作為全球過(guò)濾行業(yè)領(lǐng)導(dǎo)者之一，早在70年代就進(jìn)入中國(guó)展開(kāi)業(yè)務(wù)，并于1997年在無(wú)錫建廠。無(wú)錫現(xiàn)有工廠占地面積60 000平方米，擁有員工1200人，主要生產(chǎn)發(fā)動(dòng)機(jī)過(guò)濾和工業(yè)過(guò)濾產(chǎn)品。作為一家扎根中國(guó)多年的企業(yè)，唐納森始終堅(jiān)持以本土制造服務(wù)于本土客戶(hù)，隨著唐納森在中國(guó)乃至亞洲地區(qū)業(yè)務(wù)的不斷增長(zhǎng)，目前工廠的產(chǎn)能已接近飽和。在無(wú)錫政府的大力支持下，唐納森決定在無(wú)錫投資建立新的工廠。

(9)

可見(jiàn),對(duì)于給定的黑洞,當(dāng)截?cái)嗑嚯x和薄膜厚度取定后,黑洞視界附近薄層膜內(nèi)Dirac場(chǎng)的能量密度與其視界溫度的四次方成正比.考慮黑洞Hawking輻射的物理機(jī)制,黑洞視界面附近由于真空漲落產(chǎn)生的虛粒子對(duì),當(dāng)其中負(fù)能虛粒子通過(guò)隧道效應(yīng)進(jìn)入黑洞,黑洞的能量將減少,同時(shí)其中的正能粒子向外穿出黑洞外引力區(qū)飛向遠(yuǎn)方形成Hawking輻射.實(shí)際上,薄層膜區(qū)域(rH+ε→rH+ε+δ)內(nèi)正能粒子的運(yùn)動(dòng)是非常復(fù)雜的,靜止質(zhì)量為零的粒子的世界線是類(lèi)光的,而有靜止質(zhì)量的粒子的世界線是類(lèi)時(shí)的.為使研究問(wèn)題簡(jiǎn)化,假定輻射的正能粒子沿徑向向外的平均瀉流速率為

式中,vr為正能粒子的徑向速率,f(vr)為正能粒子的徑向速率分布函數(shù),上標(biāo)(+)表示只對(duì)vr>0的范圍平均.ve不僅與輻射粒子的種類(lèi)有關(guān),還與黑洞視界附近的時(shí)空度規(guī)有關(guān),黑洞的質(zhì)量越大,其視界附近的引力場(chǎng)越強(qiáng),ve值就越小.由于黑洞視界附近的引力場(chǎng)極強(qiáng),ve值非常小.將薄層膜區(qū)域內(nèi)的正能粒子到達(dá)黑洞輻射球面4π(rH+ε+δ)2的平均時(shí)間表示為

(10)

其中，λ為修正常數(shù).由(1)式，(9)式和(10)式可得黑洞視界附近Dirac場(chǎng)的輻射能通量為

(11)

令

(12)

(11)式可變?yōu)?/p>

(13)

可見(jiàn),對(duì)于給定的黑洞,當(dāng)ε,δ和ve取定后,黑洞的輻射能通量與其視界溫度的四次方成正比.(13)式可稱(chēng)為Reissner-Nordstr?m黑洞的廣義Stefan-Boltzmann定律.(12)式為對(duì)應(yīng)的廣義Stefan-Boltzmann比例系數(shù).導(dǎo)出的σ不再是一個(gè)恒量,而是一個(gè)與黑洞的質(zhì)量、電荷、黑洞視界面附近輻射粒子的平均瀉流速率、截?cái)嗑嚯x以及薄膜厚度有關(guān)的比例系數(shù).由于黑洞的Hawking輻射與黑洞視界附近的真空漲落有關(guān),黑洞的質(zhì)量越大,截?cái)嗑嚯x以及薄膜厚度越小,視界附近薄層膜內(nèi)的真空漲落就越顯著,則σ值就越大.輻射粒子的徑向平均瀉流速率越大,其逃逸黑洞引力場(chǎng)的能力就越強(qiáng),則σ值就越大.由于黑洞帶有電荷,其周?chē)碾姶艌?chǎng)將影響視界附近薄層膜內(nèi)的真空漲落,從而影響黑洞的熱輻射.可見(jiàn)黑洞的熱輻射與其視界附近的強(qiáng)引力場(chǎng)、電磁場(chǎng)之間存在著必然的內(nèi)在聯(lián)系.

當(dāng)M=Q時(shí),Reissner-Nordstr?m黑洞變?yōu)闃O端Reissner-Nordstr?m黑洞,由(1)式和(2)式可得rH=r-=M,黑洞的內(nèi)外視界合二為一,這時(shí)單向膜區(qū)縮成一個(gè)無(wú)限薄的膜,極端Reissner-Nordstr?m黑洞的視界溫度等于零.由(12)式可得極端Reissner-Nordstr?m黑洞的廣義Stefan-Boltzmann系數(shù)將趨于無(wú)窮大.利用(1)式，(2)式和(12)式可得極端Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射能通量為

可見(jiàn),極端Reissner-Nordstr?m黑洞輻射能通量等于零,表明極端Reissner-Nordstr?m黑洞不再具有熱輻射.利用給出的廣義Stefan-Boltzmann定律得到的結(jié)果是Hawking輻射不會(huì)把Reissner-Nordstr?m黑洞化為烏有,而最后應(yīng)留下遺跡,這將導(dǎo)致兩個(gè)重要結(jié)論:其一,在黑洞蒸發(fā)中信息丟失疑難可能不再存在.其二,黑洞的遺跡極可能是構(gòu)成暗物質(zhì)的候選者.

2 距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠(yuǎn)的觀測(cè)者接收到的輻射能通量

對(duì)距觀測(cè)者遙遠(yuǎn)的Reissner-Nordstr?m黑洞來(lái)說(shuō),可將其視為熱質(zhì)點(diǎn)[10],設(shè)二者之間的距離為r,由(11)式可得觀測(cè)者所接收到的輻射能通量

(14)

由量綱分析不難驗(yàn)證

(15)

式中,lp為Planck長(zhǎng)度,mp為Planck質(zhì)量,Tp為Planck溫度,σp為Planck廣義Stefan-Boltzmann系數(shù),?為Planck常數(shù),G為萬(wàn)有引力常數(shù),c為真空中的光速,kB為Boltzmann常數(shù).利用(15)式將(12)式恢復(fù)到普通單位制得

(16)

利用(15)式將(2)式恢復(fù)到普通單位制得

(17)

利用(16)式和(17)式將(14)式恢復(fù)到普通單位制得

(18)

對(duì)于給定的Reissner-Nordstr?m黑洞,當(dāng)截?cái)嗑嚯x、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠(yuǎn)的觀測(cè)者接收到的輻射能通量與輻射粒子的徑向平均瀉流速率成正比,與觀測(cè)者到黑洞之間的距離的平方成反比.由于觀測(cè)者接收到的輻射能通量與黑洞的質(zhì)量、電荷有關(guān),顯然黑洞周?chē)囊?chǎng)和電磁場(chǎng)將影響黑洞的熱輻射.當(dāng)(GM)2=Q2時(shí),Reissner-Nordstr?m黑洞變?yōu)闃O端Reissner-Nordstr?m黑洞,由(18)式可得極端Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射能通量為零,其原因在于極端黑洞的視界溫度為零,這與已知的理論是自洽的.

利用(18)式可得Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場(chǎng)的輻射功率

(19)

可見(jiàn),當(dāng)截?cái)嗑嚯xε和薄膜厚度δ取定后,Reissner-Nordstr?m黑洞Dirac場(chǎng)的輻射功率不僅與黑洞的質(zhì)量、電荷有關(guān),還與輻射粒子的徑向平均瀉流速率有關(guān).由(19)式可得出極端Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射功率為零.

3 結(jié)論

利用黑洞視界面附近的熵密度,研究黑洞的熱輻射,得到了黑洞的熱輻射滿(mǎn)足廣義Stefan-Boltzmann定律的結(jié)論.導(dǎo)出的廣義Stefan-Boltzmann系數(shù)不再是一個(gè)恒量,而是一個(gè)與黑洞的質(zhì)量、電荷、黑洞視界面附近輻射粒子的徑向平均瀉流速率、截?cái)嗑嚯x以及薄膜厚度有關(guān)的比例系數(shù).揭示了黑洞周?chē)囊?chǎng)、電磁場(chǎng)與其熱輻射之間的內(nèi)在聯(lián)系.對(duì)于極端Reissner-Nordstr?m黑洞,其輻射能通量和輻射功率為零,表明廣義Stefan-Boltzmann定律將導(dǎo)致黑洞遺跡,這將為黑洞蒸發(fā)中信息丟失疑難和宇宙中的暗物質(zhì)的存在提供一種可能解釋.利用彎曲時(shí)空中輻射源的熱質(zhì)點(diǎn)模型,對(duì)Reissner-Nordstr?m黑洞的輻射規(guī)律進(jìn)行了研究,結(jié)果表明,對(duì)于給定的Reissner-Nordstr?m黑洞,當(dāng)截?cái)嗑嚯x、薄膜厚度取定后,距Reissner-Nordstr?m黑洞遙遠(yuǎn)的觀測(cè)者接收到的輻射能通量與輻射粒子的徑向平均瀉流速率成正比,與觀測(cè)者到黑洞之間的距離的平方成反比.薄膜brick-wall模型雖給出了更多的黑洞熱性質(zhì),但截?cái)嘁蜃硬荒鼙苊?表明在研究黑洞熵的問(wèn)題上,采用半經(jīng)典方法的局限性.作者給出了一種研究黑洞熱輻射的新方法.

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RadiationEnergyFluxandRadiationPowerinDiracFieldoftheReissner-Nordstr?mBlackHoles

MENG Yi-fan1, MENG Qing-miao2

(1.NetworkCentre,HezeUniversity,Heze274015,China;2.DepartmentofPhysics,HezeUniversity,Heze274015,China)

By the entropy density near the event horizon,the thermal radiation of the black hole was studied.The generalized Stefan-Boltzmann law was obtained. For an extreme Reissner-Nordstr?m black hole,radiation energy flux and radiation power were all equal to zero.Generalized Stefan-Boltzmann law would lead to a black hole remnant. When the thin film thickness and the cut-off distance were both fixed for the Reissner-Nordstr?m black hole,the radiation energy flux

by observer far away from the Reissner-Nordstr?m black hole was proportional to the average radial effusion velocity of the radiation particles,and inversely proportional to the square of the distance between the observer and the black hole.

Reissner-Nordstr?m black hole;average radial effusion velocity;generalized Stefan-Boltzmann law;radiation energy flux

P 145.8

A

1671-6841(2011)04-0062-05

2011-01-08

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)10773002；山東省教育廳科技計(jì)劃資助項(xiàng)目，編號(hào)J07WJ49.

孟一凡(1983-),男,助教,碩士,主要從事光電通訊研究,E-mail:piiip@163.com;通訊作者:孟慶苗(1960-),男,教授,主要從事黑洞物理理論研究,E-mail:mengqingmiao@yahoo.com.cn.