一類(lèi)一階n次非線(xiàn)性常微分方程的解法*

袁宏俊，胡凌云，劉國(guó)璧

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠，233030;

2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠，233030;

3.安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽蚌埠， 233030）

一類(lèi)一階n次非線(xiàn)性常微分方程的解法*

袁宏俊1，胡凌云2，劉國(guó)璧3

(1.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽蚌埠，233030;

2.安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)管理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽蚌埠，233030;

3.安徽電子信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽蚌埠， 233030）

運(yùn)用特征方程法求出一類(lèi)一階非線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的通解，并通過(guò)變量代換法，討論一定條件下一階非線(xiàn)性變系數(shù)微分方程轉(zhuǎn)化成一階非線(xiàn)性常系數(shù)微分方程的求解方法。

一階非線(xiàn)性;常系數(shù);變系數(shù);微分方程;解

1 一類(lèi)一階非線(xiàn)性常微分方程

定義1 形如

的方程稱(chēng)為一階n次變系數(shù)非線(xiàn)性微分方程，其中a1(x)，a2(x)，…，an(x)是連續(xù)函數(shù).

定義2 形如

的方程稱(chēng)為與(1)對(duì)應(yīng)的一階n次常系數(shù)非線(xiàn)性微分方程［1］，其中a1，a2，…，an是已知常數(shù).

由于方程(1)和(2)都是一階非線(xiàn)性常微分方程，而非線(xiàn)性常微分方程大多數(shù)不能直接求解［2，3］，我們根據(jù)上兩組方程的結(jié)構(gòu)特征，分別采用特征方程法、變量代換法來(lái)求解.

定理1 若y=φ(x)是微分方程(1)(或(2))的一個(gè)非零解，則微分方程(1)(或(2))的通解為:y=cφ(x)(c是任意常數(shù)).

由定理1可知只須找出方程(1)(或(2))的一個(gè)非零特解即可得相應(yīng)方程的通解.

2 一階n次常系數(shù)非線(xiàn)性常微分方程與特征方程法

微分方程(2)兩邊同除以yn得:

由于a1，a2，…，an都是常數(shù)，分析得出方程(2)有解形如:y=eλx(λ為某待定常數(shù)).代入方程(2)得代數(shù)方程

稱(chēng)其為方程(2)對(duì)應(yīng)的特征方程［4］.由特征方程解出特征根λ，則方程(2)有非零特解y=eλx，結(jié)合定理1可求出方程(2)的通解為:

定理2 1)若特征方程(3)存在n個(gè)不同特征根(不論實(shí)或虛)λ1，λ2，…，λn，那么方程(2)通解為:y=ceλ1x，y=ceλ2x，…，y=ceλnx(c是任意常數(shù))，且彼此相互獨(dú)立.

2)若特征方程(3)的特征根存在重根，不妨有n個(gè)相同特征根(不論實(shí)或虛)λ，方程(2)此時(shí)僅有通解為:y=ceλx(c是任意常數(shù)).

僅證明2):由方程(2)和(3)的關(guān)系及定理1可知:y=ceλx顯然是方程(2)的通解.假設(shè)除此通解以外，方程(2)還有解:y=c(x)eλx，則 y'=(c'(x)+ λc(x))eλx，代入方程(2)得:

整理即:

由于特征根λ是n重的，則有:

代入上式即把繁瑣的表達(dá)式簡(jiǎn)化成:

故有c(x)=c，所以?xún)H有惟一通解:y=ceλx(c是任意常數(shù)).

3 一階n次變系數(shù)非線(xiàn)性常微分方程與變量代換法

對(duì)微分方程(1)作變量代換［5］y=p(x)z(x)，則 y'=p(x)z'(x)+p'(x)z(x)，代入得:

展開(kāi)整理為:

若將方程(4)轉(zhuǎn)化成常系數(shù)微分方程(2)只須上面方程中每個(gè)中括號(hào)部分是常數(shù)即可，取

定理3 一階n次變系數(shù)非線(xiàn)性微分方程

的充要條件是:存在某常數(shù)k1，使得:

式中k2，k3是某常數(shù).

4 應(yīng)用舉例

所以原方程通解為:y(x)=cxex或y(x)=cxe－2x.

［1］戴中林.一類(lèi)一階高次微分方程的解法［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22(6):155 －156.

［2］王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程［M］.第3版.北京:高等教育出版社，2006.

［3］丁同仁，李承治.常微分方程教程［M］.北京:高等教育出版社，1991.

［4］龔東山，牛富俊，劉岳巍.一類(lèi)一階微分方程獨(dú)立通解的研究［J］.長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，22(5):1－3.

［5］莊萬(wàn).常微分方程習(xí)題解［M］.山東:山東科學(xué)技術(shù)出版社，2004.

The Method to Solve A Class of First－Order Nonlinear Differential Equations

YUAN Hong－jun1，HU Ling－yun2，LIU Guo－bi3

(1.School of Statistics and Applied Mathematics，Anhui University of Finance and Economics，Bengbu Anhui 233030，China;
2.School of Management Science and Engineering，Anhui University of Finance and Economics ，Bengbu Anhui 233030，China;
3.Anhui Vocational College of Electronics and Information Technology，Bengbu Anhui 233030，China)

Through the use of the characteristic equation method we obtained general solution of first－order nonlinear differential equation with constant coefficients，and through the variable substitution method，we discuss the first－order nonlinear differential equations with variable coefficients into the first－order nonlinear differential equations with constant coefficients under the certain condition.

first－order nonlinear;constant coefficient;variable coefficient;differential equation;solution

O 175.1

A

1673－2103(2011)02－0115－04

2011－01－07

安徽省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(KJ2009B076Z)

袁宏俊(1978－)，男，安徽廬江人，講師，碩士，研究方向:非線(xiàn)性微分方程.