何 紀(jì)

(1.常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇常州 213164 2.江南大學(xué) 江蘇無(wú)錫 214122)

一類具有輸出時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)的H∞控制

何 紀(jì)1，2

(1.常州信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院 江蘇常州 213164 2.江南大學(xué) 江蘇無(wú)錫 214122)

研究了一類狀態(tài)和輸出具有時(shí)滯的不確定隨機(jī)系統(tǒng)的魯棒H∞控制問(wèn)題，目的是設(shè)計(jì)具有線性時(shí)滯的狀態(tài)反饋控制器，使得對(duì)所有容許的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)是均方漸近穩(wěn)定的。采用Lyapunov泛函方法，以LMI形式給出控制器存在的時(shí)滯無(wú)關(guān)充分條件，通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證所得結(jié)論的可行性和有效性。

魯棒H∞控制;線性矩陣不等式(LMI);隨機(jī)系統(tǒng);反饋時(shí)滯

0 引言

自從1998年Hinrichsen等提出利用LMI方法研究隨機(jī)系統(tǒng)H∞控制以后，隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制問(wèn)題受到了廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)［1］、［2］給出了不確定隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒H∞控制問(wèn)題，分別設(shè)計(jì)了H∞狀態(tài)反饋控制器和H∞輸出反饋控制器，文獻(xiàn)［3］解決了時(shí)滯系統(tǒng)的無(wú)記憶H∞控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題。但是上述文獻(xiàn)中都沒(méi)有涉及控制輸出時(shí)滯的隨機(jī)系統(tǒng)魯棒H∞控制問(wèn)題的研究。本文針對(duì)狀態(tài)和控制輸出同時(shí)具有時(shí)滯的不確定隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行討論，得出了相應(yīng)的結(jié)論。

1 系統(tǒng)描述

系統(tǒng)如下不確定線性隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)∑:

上面(1)、(2)、(3)式中x(t)∈Rn為狀態(tài)變量，u(t)∈Rm為控制輸入，v(t)∈Rp為干擾輸入，z(t)∈Rq為控制輸出，h是狀態(tài)和控制輸出的有界常時(shí)滯，滿足0＜h＜ μ ＜ ∞，h，μ，是實(shí)常數(shù)，φ(t)∈Rn是定義在［－μ，0］上的連續(xù)的初始向量函數(shù)，ω(t)為標(biāo)準(zhǔn)一維布朗運(yùn)動(dòng)，滿足Edω(t)=0，E{dω(t)2}=dt，E{·}為期望。系統(tǒng)中，A，A1，E，E1，B1，B2，Bv，Ev，C，D，G，是已知適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，ΔA(t)，ΔA1(t)，ΔE(t)，ΔE1(t)，ΔB1(t)，ΔB2(t)是未知的不確定時(shí)變矩陣函數(shù)，滿足以下形式:

其中:HA，HA1，HE，HE1，HB1，HB2是已知的適當(dāng)維數(shù)的實(shí)常數(shù)矩陣，F(xiàn)(t)∈Rk×l是Lebesgue可測(cè)未知的時(shí)變矩陣函數(shù)，且滿足

那么，稱系統(tǒng)是均方漸近穩(wěn)定的。

定義2:給出標(biāo)量 γ＞0，不確定隨機(jī)系統(tǒng)(1)～(3)(其中，u(t)=0)在干擾衰減度γ下是魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的，是指系統(tǒng)是魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的，且在零初始條件下，對(duì)任意非零的v(t)∈L2［0，∞)和所有容許的不確定矩陣函數(shù) ΔA(t)，ΔA1(t)，ΔE(t)，ΔE1(t)均有

引理1［4］:A，D，S，W，F(xiàn)是給定的適當(dāng)維數(shù)的實(shí)矩陣，且W＞0和FTF≤I，則下列結(jié)論成立:

1)對(duì)任意標(biāo)量ε＞0和向量x，y∈Rn，有

2)對(duì)于任意標(biāo)量ε＞0，如果W－εDDT＞0成立，有

2 主要結(jié)果

定理1:考慮系統(tǒng)(∑)，假設(shè)v(t)=0，如果存在矩陣Q＞0，X＞0，Y1和Y2使得下面的LMI成立:

其中Ω=AX+B1Y1+XAT+Y1TB1T+ε1MMT+Q

那么閉環(huán)系統(tǒng)魯棒隨機(jī)穩(wěn)定。此時(shí)可取相應(yīng)的線性狀態(tài)反饋控制器為

證明:將反饋控制器作用于系統(tǒng)∑得到(其中v(t)=0):

另一方面，將(5)式兩邊左乘、右乘矩陣diag(P，P，I，I，I)，并運(yùn)用Schur補(bǔ)引理，可以得到Γ＜0，由(13)式，可知LV(x(t)，t)＜0，因此閉環(huán)系統(tǒng)(7)是魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的。

定理2:考慮系統(tǒng)(∑)，如果存在矩陣Q＞0，X＞0，Y1和Y2使得下面的LMI成立:

則系統(tǒng)是魯棒隨機(jī)H∞可控的。此時(shí)，相應(yīng)的狀態(tài)反饋控制器取為

證明:將反饋控制器作用于系統(tǒng)Σ得到:

其中AK1(t)，A1K2(t)，EK1(t)，E1K2(t)參照(8)式給定。

根據(jù)定理1可以方便得到，該系統(tǒng)是魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的。

以下證明，該系統(tǒng)在零初始條件下(當(dāng)t∈［－μ，0］時(shí)，φ(t)=0)，對(duì)于任意非零變量v(t)∈L2［0，∞)，總有:

另一方面，將(15)式兩邊左乘、右乘矩陣diag(P，P，I，I，I，I，I)，根據(jù)Schur補(bǔ)引理，可以得到Ψ ＜0，由(22)式可知J(t)＜0，因此閉環(huán)系統(tǒng)(16)式在干擾抑制度γ下是魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的。證畢。

3 數(shù)值算例

考慮如下系數(shù)的不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)(1):

通過(guò)Matlab中的LMI工具箱求解線性矩陣不等式(15)可得:

從而得到H∞狀態(tài)反饋控制器為:u(t) =［6.290 2 2.583 0］x(t)+［0.017 3 －0.022 1］x(t－h(huán))

4 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了狀態(tài)和控制輸出同時(shí)具有時(shí)滯的不確定隨機(jī)系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定及魯棒隨機(jī)H∞控制問(wèn)題。定理1給出了設(shè)計(jì)一個(gè)無(wú)記憶的狀態(tài)反饋控制器，對(duì)于系統(tǒng)容許的所有不確定，閉環(huán)系統(tǒng)式魯棒穩(wěn)定的充分條件;定理2研究的是，對(duì)于給定的干擾γ=0，設(shè)計(jì)一個(gè)無(wú)記憶的狀態(tài)反饋控制器，對(duì)于系統(tǒng)的所有不確定，閉環(huán)系統(tǒng)在干擾衰減度γ下是魯棒隨機(jī)穩(wěn)定的。結(jié)果以LMI的形式表達(dá)，可以利用MATLAB方便求解。類似還可以研究該系統(tǒng)的保成本控制和非脆弱控制。

［1］ Xu S Y，Chen T W.Robust H∞control for uncertain in stochastic systems with state delay［J］.IEEE Transactions Autormatic Control，2002，47(12):2089-2091.

［2］ Zhou K et al.Robust performance of systems with structured uncertainties in state space［J］.Automatica，1995，31(2):249-255.

［3］ Choi H H，Chung M J.Memory less H∞controller design for linear systems with delayed state and control［J］.Automatica，1995(31):917-919.

［4］ Wang L，Xie L，De Souza C E.Robust control of a class of uncertain nonlinear systems［J］.Systems and Control Lerrers，1992(19):139-149.

RobustH∞Control for a Class of Stochastic Systems with Output Delay

HE Ji1，2
(1.Changzhou College of Information Technology，Changzhou 213164 2.Jiangnan University，Wuxi 214122，China)

This paper investigates the problem of robust H∞control for a kind of stochastic systems with state-delays and output-delays with the purpose of designing a linear state feedback controller which ensures the closed-loop system to be mean-square asymptotically stable.A sufficient condition of this problem is given based on Lapunov functional theory approach，by a linear matrix inequality(LMI).Finally we provide an example to show the effectiveness of the proposed method.

RobustH∞control;linear matrix inequalities(LMI);stochastic system;feedback delay

O 231

A

1672-2434(2011)06-0032-04

2011-09-12

何 紀(jì)(1982-)，男，講師，從事研究方向:系統(tǒng)控制工程