翟鳳瑞, 李宇赤，易中周, 張黎黎, 王 丹

（1.紅河學(xué)院 理學(xué)院，云南 蒙自 661100；2.西雙版納職業(yè)技術(shù)學(xué)院，云南 景洪 666100）

擺角、擺長(zhǎng)及周期數(shù)對(duì)測(cè)重力加速度的影響分析

翟鳳瑞1, 李宇赤2，易中周1, 張黎黎1, 王 丹1

（1.紅河學(xué)院 理學(xué)院，云南 蒙自 661100；2.西雙版納職業(yè)技術(shù)學(xué)院，云南 景洪 666100）

用單擺法測(cè)量重力加速度是普通物理實(shí)驗(yàn)中常用的方法，但在實(shí)驗(yàn)中，擺角、擺長(zhǎng)和周期數(shù)常常對(duì)重力加速度的測(cè)量誤差產(chǎn)生一定的影響.文章主要分析不同擺角、擺長(zhǎng)及周期數(shù)三個(gè)條件對(duì)測(cè)重力加速度的影響,最終由處理分析結(jié)果可知，在普通物理實(shí)驗(yàn)室里，取擺角、擺長(zhǎng)＝47或55cm、周期數(shù) 次，處理得到的重力加速度與本地的理論計(jì)算值很接近.

擺角；擺長(zhǎng)；周期數(shù)；重力加速度

引言

地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力稱為重力，物體在重力作用下具有的加速度稱為重力加速度.重力加速度的數(shù)值，隨地理緯度和相對(duì)于海平面的高度不同而略有差異.一般說(shuō)來(lái)，在赤道附近重力加速度的數(shù)值最小，越靠近南、北兩極，重力加速度的數(shù)值越大[1].重力加速度的測(cè)量方法有很多種，它們各有特點(diǎn).其中單擺法裝置簡(jiǎn)單, 測(cè)量手段便捷, 在普通物理學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中應(yīng)用比較普及,也比較重要，而用此種測(cè)量方法來(lái)測(cè)重力加速度，其測(cè)量結(jié)果的精確性直接受到擺角、擺長(zhǎng)及周期的影響，不同的測(cè)量條件將對(duì)重力加速度的測(cè)定產(chǎn)生不同的誤差[2].所以本文主要分析研究不同條件對(duì)用單擺法測(cè)重力加速度的影響，并最終確定一組適合本地測(cè)重力加速度的最佳測(cè)量條件，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)方面有重要意義.

1 實(shí)驗(yàn)主要儀器

單擺法測(cè)重力加速度的實(shí)驗(yàn)儀器見(jiàn)下表1：

表1 實(shí)驗(yàn)儀器

2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理及分析

2.1 本地重力加速度值

根據(jù)蒙自的地理位置：經(jīng)度：103°23′東，緯度：23°23′北，海拔：1302m，根據(jù)地球任意地方重力加速度的計(jì)算公式可得到蒙自本地重力加速度理論計(jì)算值為[3]：

2.2 不同擺角對(duì)重力加速度的影響

在溫度為22.0℃、濕度為22.4℃的條件下，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中固定擺長(zhǎng)為40㎝，周期數(shù)取值為40次，用單擺三線擺組合儀、自由落體儀上安裝單擺裝置，改變擺角6次，各測(cè)量結(jié)果及數(shù)據(jù)處理見(jiàn)下表2、表3.

表2 不同擺角下的測(cè)量數(shù)據(jù)及處理

表3 不同擺角條件下的重力加速度值

綜合上述各擺角的重力加速度的測(cè)試結(jié)果，可得重力加速度與擺角之間的變化關(guān)系如下圖1所示.

圖1 重力加速度與擺角的關(guān)系

普通物理學(xué)中認(rèn)為，單擺在小角度的振幅( 時(shí))可以看成簡(jiǎn)諧振動(dòng)，用實(shí)驗(yàn)的方法可以求出其振動(dòng)的擺長(zhǎng)與周期，進(jìn)而可以測(cè)得重力加速度.但在實(shí)驗(yàn)中不是擺角越小測(cè)量值越精確，當(dāng)擺角很小時(shí)，操作引入的誤差增長(zhǎng)更快.當(dāng)單擺的角振幅較大時(shí),單擺的運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧振動(dòng)的差異增大，對(duì)測(cè)重力加速度產(chǎn)生的誤差增大，同時(shí)擺長(zhǎng)的長(zhǎng)短也將對(duì)重力加速度的測(cè)定帶來(lái)誤差.從圖1可知，在 為4°附近出現(xiàn)極值，并且越往兩端走重力加速度的值變化越大，其原因主要為：第一，當(dāng)擺角增大時(shí)，擺球的速度隨之增大，此時(shí)空氣阻力已不可忽略；第二，當(dāng) 增大時(shí)，計(jì)算公式中的高階項(xiàng)已不能省去；第三，擺角很小時(shí)動(dòng)手操作反應(yīng)誤差隨之增大.對(duì)照本地重力加速度的理論計(jì)算值可知，擺角一般選3.8°左右為最佳.

2.3 不同擺長(zhǎng)對(duì)重力加速度的影響

在室溫為22.0℃、濕度為22.4℃的條件下，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的擺角定為4°，周期數(shù)為40次，共改變擺長(zhǎng)7次，各測(cè)量數(shù)據(jù)結(jié)果及處理見(jiàn)表4，不同擺長(zhǎng)條件下測(cè)量計(jì)算出的重力加速度見(jiàn)下表5：

表4 不同擺長(zhǎng)下的測(cè)量數(shù)據(jù)及處理

表5 不同擺長(zhǎng)條件下的重力加速度

由表5結(jié)果可得重力加速度與擺長(zhǎng)之間的變化關(guān)系下如圖2所示：

圖2 重力加速度與擺長(zhǎng)的關(guān)系

在研究單擺周期與擺長(zhǎng)關(guān)系時(shí)，擺長(zhǎng)的取值受小球半徑的約束，它們之間的關(guān)系[4]是也就是的實(shí)驗(yàn)中“依次縮短擺長(zhǎng)”5次，所取擺長(zhǎng)L必須滿足實(shí)際上L取值并非越大越好，因?yàn)長(zhǎng)太大實(shí)驗(yàn)條件不允許，空氣阻力也會(huì)變大，而且L的增大將會(huì)引起由于細(xì)線質(zhì)量不能忽略出現(xiàn)的誤差.從圖2中可知：當(dāng)擺長(zhǎng)在45-55㎝之間變化時(shí)，引起的重力加速度改變很小，接近于本地重力加速度值，但越往兩端走，其重力加速度值偏離越明顯，在實(shí)驗(yàn)中，由于實(shí)驗(yàn)器材的限制，擺長(zhǎng)不能過(guò)長(zhǎng)，而過(guò)短則有小球的半徑約束，對(duì)照本地重力加速度值，在普通實(shí)驗(yàn)室里一般取為47㎝或55㎝.這樣可以使在普通物理實(shí)驗(yàn)中測(cè)量值更接近真實(shí)值.

2.4 不同周期數(shù)對(duì)重力加速度的影響

在溫度為22.0℃、濕度為22.4℃的條件下，取擺角為4°，擺線長(zhǎng)為50㎝，用螺旋測(cè)微計(jì)測(cè)球的直徑d（小球不變），改變周期數(shù) 次所用的時(shí)間為 ，各測(cè)量結(jié)果及數(shù)據(jù)處理見(jiàn)下表6和表7：

表6 對(duì)不同周期數(shù)的測(cè)量數(shù)據(jù)處理

表7 對(duì)不同周期數(shù)重力加速度的值

由表7計(jì)算結(jié)果可得重力加速度與周期數(shù)之間的關(guān)系如下圖3：

圖3 周期數(shù)與重力加速度的關(guān)系

對(duì)于周期數(shù)的誤差主要來(lái)源不僅決定于秒表的精度，還決定于人的反應(yīng)時(shí)間.人從擺球第一次經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)按表開(kāi)始，到最后一次擺球經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)按表結(jié)束，兩次都存在反應(yīng)時(shí)間.實(shí)驗(yàn)中用停表計(jì)時(shí)，無(wú)論是機(jī)械停表，還是電子停表，應(yīng)從計(jì)時(shí)絕對(duì)誤差來(lái)考慮，而不能單一從停表的最小分度值來(lái)考慮.計(jì)時(shí)絕對(duì)誤差主要由表的走時(shí)誤差、測(cè)量者對(duì)擺球到達(dá)平衡位置時(shí)刻的判斷、測(cè)試看的反應(yīng)時(shí)間、停表的操作熟練程度和停表的啟動(dòng)和制動(dòng)性能諸多因素共同決定.從圖3可知：隨著周期數(shù)n的增加出現(xiàn)一個(gè)過(guò)渡階段，周期的誤差主要來(lái)源不僅決定于秒表的精度和決定于人的反應(yīng)時(shí)間，而周期數(shù)越少誤差比例越大，但周期數(shù)也不能無(wú)限的增大，從實(shí)驗(yàn)過(guò)程中可知道，由于空氣阻力的存在，在經(jīng)過(guò)多次擺動(dòng)后擺幅明顯減小，隨之引入的誤差增大.對(duì)照本地重力加速度計(jì)算值，在實(shí)驗(yàn)室里周期數(shù)一般可選取37次.

3 結(jié)論

綜上對(duì)擺角、擺長(zhǎng)及周期數(shù)對(duì)測(cè)量重力加速度的影響分析可以看出，擺角、擺長(zhǎng)及周期數(shù)對(duì)重力加速度的測(cè)量都有很大的影響，擺角越大所產(chǎn)生的誤差也就越大，擺長(zhǎng)過(guò)大或太小對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響也比較大，周期數(shù)太大由于空氣阻力的影響就大.根據(jù)蒙自本地重力加速度理論計(jì)算值的比較結(jié)果知，取擺角 、擺長(zhǎng) cm、周期數(shù) 次時(shí)，測(cè)試結(jié)果與本地重力加速度的理論值非常很接近.

[1] 楊述武.普通物理實(shí)驗(yàn)(力熱部分)第三版[M].北京：高等教育出版社,2005:69-111．

[2] 曾騰.用不確定度分析單擺的擺角與擺長(zhǎng)對(duì)測(cè)重力加速度的影響[J].物理教學(xué)探討,2 0 0 6,2 4(3):33-34

[3] 姜向東,楊士君等.大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)[M].成都：西南交通大學(xué)出版社，2006:23-56.

[4] 鄭立.單擺實(shí)驗(yàn)中擺長(zhǎng)的討論[J].黃山學(xué)院學(xué)報(bào),2006,8(3):39-40．

Influence and Analysis of Pendulum Angle, Pendulum Length and Periodicity on the Acceleration of Gravity

ZHAI Feng-rui1, LI Yu-chi2,YI Zhong-zhou1, ZHANG Li-li1, WANG Dan1
(1.College of Science, Honghe University, Mengzi 661100, China;2.Xishuangbanna Vocational and Technical Institute,Jinghong 666100,China)

It is an ordinary method to measure acceleration of gravity with a pendulum in physical experiments.But in the experiment,the pendulum angle, pendulum length and periodicity often have some influences on measurement errors of acceleration of gravity.This paper mainly analyzes the influences of pendulum angle, pendulum length and periodicity on the acceleration of gravity.It can be seen from the processing and analysis results that the value of acceleration of gravity by experiments is very close to the local acceleration theoretical value when the swing angle is 3.8 degrees, pendulum length is 47 cm or 55 cm and periodicity is 37 times.

pendulum angle; pendulum length; periodicity; acceleration of gravity

O4-3

A

1008-9128（2011）04-0019-04

2011-06-02

云南省教育廳科學(xué)研究基金資助項(xiàng)目（6y0038D）；紅河學(xué)院基金資助項(xiàng)目（XJ1Y0807）

翟鳳瑞（1978-），男，講師，碩士.研究方向：綠色復(fù)合材料及無(wú)機(jī)非金屬材料的研究.

[責(zé)任編輯 張燦邦]