在各地高考數(shù)學(xué)說明（或考試大綱）中都提到了以下五大基本能力：空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力。盡管這五大基本能力老生常談，關(guān)于五大基本能力的培養(yǎng)更是仁者見仁，智者見智，但這五大基本能力在高考數(shù)學(xué)試卷中的具體體現(xiàn)卻鮮有人提，而這五大基本能力卻實實在在地體現(xiàn)在高考試卷中，并得到了不斷的發(fā)展，其經(jīng)典之處經(jīng)久不衰，創(chuàng)新之處令人眼前一亮?，F(xiàn)就這五大基本能力，結(jié)合歷年的高考試卷進(jìn)行一一探析。
　　一、空間想象能力
　　1.平面圖形與立體圖形的相互轉(zhuǎn)化
　　空間想象能力的考查要求能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖想象出空間圖形。這就要求學(xué)生具有化抽象為具體的能力，能夠站在空間的角度研究點、線、面；要能夠根據(jù)條件在腦海中構(gòu)建出相應(yīng)幾何圖形，把抽象的語言、條件直觀化、圖形化，將平面的圖形構(gòu)建成空間圖形則是其中的一種。2010年山東高考理科卷選擇題第3題，考查的是空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以很容易得出答案。2010年陜西高考理科卷第7題是三視圖問題，不僅要求考生能夠構(gòu)建相應(yīng)的立體圖形，還要求出立體圖形體積。
　　在歷年的高考試卷中，三視圖、平面展開圖等圖形轉(zhuǎn)化問題備受歡迎，原因在于此類問題能夠很好地檢測出學(xué)生的空間想象能力，而且難度系數(shù)不大，屬于基礎(chǔ)題。
　　2.立體圖形中的基本元素及基本平面圖形
　　對于空間圖形，要能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，并能夠?qū)臻g圖形進(jìn)行分解與組合。這是空間想象能力中的另一要求，不僅要求認(rèn)識圖形，還要能夠?qū)唧w的圖形進(jìn)行解剖，找出其中的關(guān)鍵點、線、面等，要能夠通過條件判斷出它們之間的關(guān)系。不僅如此，還要能夠?qū)D形進(jìn)行肢解，找出“基本圖形”。例如，在復(fù)雜的、陌生的圖形中找出“垂直、平行，三棱錐、三棱柱、正方體等”。在以往的立體幾何考查試題中，我們發(fā)現(xiàn)，立體幾何題中的第一問通?？疾齑怪薄⑵叫?，這已經(jīng)成為一種定勢，目的是“將分送到考生的手上”，但第二問就有一定的變化，可以考查角、體積、表面積，也可以考察點到面的距離，如2010年江蘇卷高考立體幾何題、2008年北京高考理科卷第16題、2010年山東高考理科卷解答題第19題等都是常規(guī)的立體幾何題，大多是求面面、線面垂直平行，接著是求夾角類問題（近年江蘇卷對立體幾何中的夾角問題逐步降低了要求，很少出現(xiàn)在高考卷中），最后是面積、體積、距離等問題，一道立體幾何題幾乎覆蓋教材中的所有需要掌握的知識點。證明題中線面、面面垂直平行的證法是平時掛在嘴邊的幾個“?圯”；求夾角所用的方法大多是構(gòu)建平面三角形，并解三角形等方法；載體圖形大多是常見的正方體、錐體、柱體等。盡管高考立體幾何題似曾相識，但考生需要在短時間內(nèi)快速分析立體圖形中的基本元素，并結(jié)合立體幾何基本性質(zhì)解決問題。
　　在高考中，立體幾何也經(jīng)常出現(xiàn)一些新的題型，將立體幾何與其他知識結(jié)合，如將立體幾何與函數(shù)、概率、復(fù)數(shù)等新課程實施后新加的內(nèi)容相組合。只要基礎(chǔ)扎實，認(rèn)清本質(zhì)，這類創(chuàng)新型題難度不是很大。如：
　　例1（2008年北京高考理科卷第8題）如圖，動點P在正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上，過點P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N．設(shè)BP=x，MN=y，則函數(shù)y=f（x）的圖像大致是（ ）
　　該題便是一道創(chuàng)新型立體幾何題，它將函數(shù)圖像與立體幾何相結(jié)合，從立體圖形中點的移動，來判斷兩線段長度變化情況，并選擇合適的函數(shù)圖像，考生需要有一定的空間想象能力，能夠在大腦里動態(tài)地看立體幾何的運動狀態(tài)，該題答案為B。此類創(chuàng)新型題型在以后的高考中還將不斷出現(xiàn)。
　　二、抽象概括能力
　　1.問題本質(zhì)的探究
　　抽象概括能力是對實例的探索，要能夠發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì)；能夠從給定的信息材料中概括出一些結(jié)論，并用于解決問題或作出新的判斷。抽象概括能力可以歸納為兩點：一是發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，二是作出判斷，進(jìn)而解決問題。發(fā)現(xiàn)本質(zhì)是要求學(xué)生能夠從給定的問題中發(fā)現(xiàn)其中會運用到的規(guī)律及相應(yīng)的定理等，并準(zhǔn)確地判斷出問題的實質(zhì)。這類能力需要在平時的練習(xí)中不斷總結(jié)，不斷歸納，形成一定的挖掘信息材料的能力。例如，2010年江蘇高考卷的質(zhì)，大膽往下走，題目怎么說就怎么做。另外，在很多問題中會出現(xiàn)各種各樣的遞推關(guān)系，看似很陌生的東西中蘊含大家所熟悉的知識或方法，這需要學(xué)生具有從一般的信息問題中概括出基本規(guī)律，并作出基本判斷，從中尋找解決問題的方法，進(jìn)而解決問題。
　　2.挖掘信息中的本質(zhì)，并解決實際問題
　　《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：力求使學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實用價值，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實踐能力。挖掘信息中的本質(zhì)則成了解決實際問題的先導(dǎo)，只有發(fā)現(xiàn)了問題的本質(zhì)才能選擇合適的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行解決問題，在歷年的高考試題中都有此類問題的出現(xiàn)。如：
　　例2（2010年江蘇高考卷第17題）某興趣小組測量電視塔AE的高度H（單位m），如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿BC高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。
　　（1）該小組已經(jīng)測得一組α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，請據(jù)此算出H的值。
　?。?）該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位m），使α與β之差較大，可以提高測量精確度，若電視塔實際高度為125m，問d為多少時，α-β最大。
　　本題巧妙地將三角函數(shù)與實際的測量問題相結(jié)合，考生需要從題中發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)是該問題的本質(zhì)，并作出判斷，構(gòu)建相應(yīng)的三角形，進(jìn)而選擇三角函數(shù)中的正切來解決實際問題。此題較好地體現(xiàn)了新課改中“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”的要求。
　　三、推理論證能力
　　推理論證能力要求能夠根據(jù)已知的事實和已經(jīng)獲得的正確的數(shù)學(xué)命題，運用歸納、類比和演繹進(jìn)行推理，論證某一數(shù)學(xué)命題的真假性。這種能力是幾乎在每一道數(shù)學(xué)題中都能用到，只是由于試題的簡單或者常見，大家沒注意總結(jié)其思維方法罷了。然而，這種能力在開放式試題中體現(xiàn)得淋漓盡致。開放式問題不告訴你結(jié)論，只告訴你猜想，要你判斷該命題成立與否，成立要求證明，不成立要求給出充分的理由，這就需要你通過已學(xué)的知識或者已知的結(jié)論來論證該問題是否成立。開放式題型一直是高考的熱點，近年來，各地的高考試卷中都出現(xiàn)了此類題型。之所以熱衷于此類題型，是因為它能夠很好地考查學(xué)生的思維能力，從而把學(xué)生有所區(qū)分，達(dá)到選拔人才的目的。江蘇卷前幾年熱衷于所謂開放式題型，但近兩年已有所變化，不是單純地開放，而是要求考生能夠?qū)W會猜想和發(fā)掘。
　　例如2009年江蘇卷的壓軸題的第3問為：設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集。該問要求直接寫出“解集，不要求給出演算步驟”，看似只要能夠“猜對”就行，但憑空瞎猜肯定不可能得到答案，這就需要嚴(yán)格的推理和論證，只有建立在嚴(yán)密推理的基礎(chǔ)之上的猜想才有可能“猜”正確。另外，2004年全國理科卷的數(shù)列問題對推理論證能力也有較高的要求。
　　四、運算求解能力
　　運算求解能力的要求是能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的運算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算。運算求解能力提出了三點要求：一是會運算、變形，二是能設(shè)計合理的運算途徑，三是數(shù)據(jù)估計與近似。
　　
　　1.基本運算與變形
　　運算、變形是數(shù)學(xué)的最基本的能力，但運算變形的要求則較高，一道試題的運算出現(xiàn)差錯、運算時間過長或者變形出現(xiàn)偏差，則會導(dǎo)致不必要的失分或者浪費寶貴的考試時間，因此對于運算變形能力要求準(zhǔn)確、快速、合理。每份高考數(shù)學(xué)試卷都會對基本運算和變形提出要求，甚至有專門的題型來體現(xiàn)運算能力，此類題的難度不是很大，主要考察考生的基本運算和變形能力。
　　2.最優(yōu)運算途徑的設(shè)計
　　運算途徑的選擇是近幾年高考的另一熱點，這就是經(jīng)常提到的一題多解。高考數(shù)學(xué)試卷中的部分試題都是可以通過多種方法解決，但在這些方法當(dāng)中有一種或兩種是最優(yōu)的，能夠快速準(zhǔn)確地解決問題。而其他方法雖然也能夠解決問題，但運算量可能偏大，過程偏繁。這就需要考生能夠設(shè)計出合理的運算途徑來解決。
　　例如2009年江蘇高考試卷中的第19題，運算、變形方法較多，但各種方法的效率卻大相徑庭，運算途徑的選擇決定了計算量、決定了解題速度。
　　3.數(shù)據(jù)的估計與近似計算
　　對數(shù)據(jù)估計與近似計算是新課程實施后另一大應(yīng)用性較強的知識點，在一些地方的高考試卷中已有所體現(xiàn)，如近年來的陜西卷。江蘇《2011年高考說明》中明確地指出“對數(shù)據(jù)的估計與近似處理”，這說明有關(guān)“估計”的內(nèi)容有可能是以后高考中另一熱點，我們在平時的訓(xùn)練中應(yīng)當(dāng)特別重視。
　　五、數(shù)據(jù)處理能力
　　數(shù)據(jù)處理能力要求運用基本的統(tǒng)計方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析，以解決給定的實際問題。在以往的高考試卷中也有利用統(tǒng)計的方法解決實際問題，但一直忽略“實際”二字，停留在人為的“實際”層面，如2009年江蘇卷的第6題，2010年江蘇卷的第4題。在統(tǒng)計概率這一章節(jié)中，往年考查隨機事件、古典概型、幾何概型等方面偏多，今后有可能在數(shù)學(xué)期望、總體分布估計、總體特征數(shù)等方面有所側(cè)重，因為統(tǒng)計的知識在日常生活中運用比較廣泛，能夠與生活相關(guān)聯(lián)，而且在統(tǒng)計概率方面，總體特征數(shù)的估計已有一定要求，與古典概型處于同一要求。另外，高等數(shù)學(xué)與這些知識關(guān)聯(lián)較大，備受高校歡迎。如2008年陜西高考理科卷第18題，除考查基本的概率問題外，還專門考察大學(xué)里應(yīng)用較多的分布列及數(shù)學(xué)期望問題。因此，平時的訓(xùn)練要多留意這方面的知識，注重基本方法與思維過程。
　　數(shù)據(jù)處理能力未來的發(fā)展方向是不斷聯(lián)系生活，將生活中常見的各種統(tǒng)計類問題整理成數(shù)學(xué)問題，如經(jīng)常聽說的消費者物價指數(shù)CPI、PPI、通貨膨脹等問題，不排除將此類關(guān)系民生的問題納入以后的高考數(shù)學(xué)試卷。這就要求考生要關(guān)注時事，又要能通過數(shù)據(jù)的分析、整理進(jìn)而對當(dāng)前的某一現(xiàn)實狀況作出判斷。統(tǒng)計章節(jié)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最“實用”的章節(jié)，能夠很好地體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”，因此，高考中不會放棄這一“有用”的章節(jié)。
　　在高考數(shù)學(xué)試卷中，五種能力是相互交融，相互支撐，靠一味的模仿、看題是不能提高五大基本能力的，正如羅增儒教授所說，解決高考題的探求不是“規(guī)則的簡單重復(fù)”和“操作的生硬執(zhí)行”，而是需要深入地理解基本概念、定理，并對基本方法不斷熟練。因此，在平時的訓(xùn)練中，我們應(yīng)當(dāng)通過解題鍛煉思維，這樣才能提高自己的五大基本能力。
　　參考文獻(xiàn)
　　[1] 羅增儒.2010年高考數(shù)學(xué)陜西卷理科第20題剖析（續(xù)）.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2010（9）.
　　[2]江蘇省教育考試院制訂.2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（江蘇卷）說明.南京：江蘇教育出版社，2010.
　　[3] 中華人民共和國教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）.北京：人民教育出版社，2003.
　?。ㄘ?zé)任編輯劉永慶）
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文