J Hedlund A Lelical

1 前言

近代齒輪研究表明齒輪的嚙合剛度和傳動(dòng)誤差是在齒輪傳動(dòng)中主要的振動(dòng)激勵(lì)源［1］，大多數(shù)齒輪動(dòng)力學(xué)模型是利用嚙合剛度或傳動(dòng)誤差描述齒輪嚙合相互作用的激勵(lì)。

齒輪設(shè)計(jì)中的最常見問(wèn)題是確定齒輪幾何參數(shù)的最佳組合。這些參數(shù)應(yīng)該有可能改進(jìn)激勵(lì)和振動(dòng)分析的各種各樣效能。齒輪嚙合剛度和傳動(dòng)誤差的精確預(yù)測(cè)要求一個(gè)有效的數(shù)值方法。有限元（FE）方法主要用于計(jì)算變形，應(yīng)力和負(fù)載分布［2－12］，但是FE方法也可以用來(lái)預(yù)測(cè)參數(shù)激勵(lì)，即嚙合剛度變量。采用典型FE方法的缺點(diǎn)是其模型不易變化，特別對(duì)于精確的幾何生成。此外，為設(shè)計(jì)目的由于高非線性Hertzian接觸計(jì)算時(shí)間很可能太長(zhǎng)。采用FE方法的優(yōu)點(diǎn)是可以采用于標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算無(wú)效的那些情況。

為齒輪設(shè)計(jì)目的FE計(jì)算的有效利用，要求其幾何生成必須參數(shù)化。此外，振動(dòng)測(cè)量值在正常頻率分析范圍內(nèi)，所以如果計(jì)算模型提供的結(jié)果也能在該范圍其優(yōu)點(diǎn)是明顯的。

本研究介紹了為估算圓柱齒輪參數(shù)激勵(lì)的一個(gè)計(jì)算模型，開發(fā)該模型只作為實(shí)際齒輪副要求的有效的分析和比較，而不需要計(jì)算昂貴的模型，該整個(gè)激勵(lì)模型是參數(shù)化的。因此，在時(shí)間和頻率范圍內(nèi)求得嚙合剛度變量。

2 結(jié)構(gòu)變形FE模型

為結(jié)構(gòu)變形分析基于FE方法開發(fā)了一種計(jì)算模型，該模型開發(fā)的數(shù)值數(shù)據(jù)，用參數(shù)化幾何模型產(chǎn)生一個(gè)單元嚙合建立的，該幾何模型仿真齒輪加工，即滾切過(guò)程。該方法基于大量數(shù)值計(jì)算要點(diǎn)和其同時(shí)產(chǎn)生的結(jié)果［13，14］，它允許與通常的漸開線幾何學(xué)差異。該方法的詳細(xì)闡述和其精確度問(wèn)題將在另文中介紹。

該FE方法采用8節(jié)點(diǎn)三線六面體單元［15］，采用Matlab作為編程工具。在8節(jié)點(diǎn)三維單元狀況中，采用Gauss點(diǎn)2＊2＊2，它在8節(jié)點(diǎn)六面體單元中給出可靠的積分［16］。該FE方法包含針對(duì)輪齒及其基礎(chǔ)的一個(gè)參數(shù)化網(wǎng)絡(luò)，該網(wǎng)絡(luò)在輪齒接觸過(guò)程中分別建立的，制作該網(wǎng)絡(luò)利用基本的嚙合概念［17］，它包含單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)。該基本嚙合可以利用輪齒齒面幾何學(xué)自動(dòng)擴(kuò)展超過(guò)確定的范圍。用最接近有效座標(biāo)點(diǎn)找出擴(kuò)展開拓三維表面幾何矩陣，所以適合任何曲線或不要求插值。

嚙合過(guò)程是參數(shù)化的僅需要以下數(shù)值：?jiǎn)卧獏⒘繛閲Ш蠈挾?，長(zhǎng)度，高度和基礎(chǔ)深度方向，此外產(chǎn)生單元嚙合可以用重量因數(shù)修正，為精確起見，允許嚙合密度在確定范圍內(nèi)變化。一輪齒嚙合實(shí)例示于圖1。兩小齒輪和大齒輪嚙合可以獨(dú)立修正。例如，用一指數(shù)方程建立輪齒基礎(chǔ)密度造成嚙合密度正好在輪齒下方，這是變形和應(yīng)力集中的危險(xiǎn)截面。建立的基礎(chǔ)嚙合利用橢圓形確立單元嚙合邊界。采用橢圓半軸作為變數(shù)，半橢圓基礎(chǔ)可以改變。橢圓半軸用af和bf表示。

圖1 輪齒嚙合和其基礎(chǔ)的實(shí)例Fig.1 Example of the meshing of the tooth and its foundation

主剛度矩陣和主力矩陣采用自由計(jì)數(shù)器技術(shù)進(jìn)行組合。當(dāng)量節(jié)點(diǎn)負(fù)載位于節(jié)點(diǎn)，與接觸線位置相對(duì)應(yīng)，它確定于一個(gè)未變形狀況。但是如果必要的話，可以采用逐次逼近法在變形狀況確定接觸線。用稀疏矩陣來(lái)確定矩陣組合和解，因?yàn)榫仃囋S多項(xiàng)為零。在稀疏矩陣形式內(nèi)用一個(gè)直接的方法求解，并從而求得節(jié)點(diǎn)位移和應(yīng)力。

3 HERTZIAN接觸

漸開線正齒輪輪齒沿嚙合線接觸，其特征模擬作為一恒定變化的滾子接觸，滾子半徑可以按漸開線齒輪幾何學(xué)計(jì)算。齒輪嚙合循環(huán)近似于許多不連續(xù)的滾子接觸，其赫茨（Hertzian）參量可采用壓力和接觸區(qū)計(jì)算。

對(duì)于斜齒輪和非漸開線齒輪，其齒面曲率半徑可以用沿嚙合線外接圓半徑法有效確定。該方法可數(shù)值計(jì)算齒輪接觸幾何參數(shù)。用找出給定點(diǎn)（圖2）的外接圓半徑rc來(lái)數(shù)值確定曲率半徑。對(duì)于正齒輪在齒廓方向求得該點(diǎn)，在斜齒輪情況，應(yīng)在接觸線的法線方向計(jì)算該半徑。選擇座標(biāo)點(diǎn)位置表明實(shí)際的赫茨接觸求得精確的接觸半徑。

圖2 外接圓和外接圓半徑Fig.2 Circumcircle and Circumradius

如果采用典型的齒冠值，在斜齒輪接觸方面的橢圓率是大的，而簡(jiǎn)化的赫茨公式不能包括大的橢圓率，這就意謂必須采用拓寬該公式，如果一簡(jiǎn)化的解是一重要的因數(shù)，那么應(yīng)首先近似采用赫茨線接觸公式。

4 嚙合剛度變量

確定的嚙合剛度作為所有嚙合輪齒之間的剛度，本研究利用單對(duì)輪齒的剛度值構(gòu)成嚙合剛度。分別和結(jié)合結(jié)構(gòu)剛度用連續(xù)彈簧原理計(jì)算接觸剛度確定嚙合剛度，在計(jì)算的結(jié)構(gòu)剛度中包含輪齒彎曲，剪切和齒根根切等現(xiàn)象。輪齒基礎(chǔ)嚙合尺寸可以改變所述齒輪體剛度，結(jié)構(gòu)剛度值沿齒面法向計(jì)算。利用嚙合輪齒對(duì)之間的理想接觸線確定當(dāng)量節(jié)點(diǎn)負(fù)荷，采用節(jié)點(diǎn)位移位于齒面4單元層以下確定結(jié)構(gòu)剛度，這種方法使局部接觸變形對(duì)結(jié)構(gòu)剛度計(jì)算影響最小。它假定相鄰輪齒的負(fù)荷不影響所述輪齒的變形，這是合適的，因?yàn)閷?duì)于正齒輪僅采用一對(duì)輪齒可確定其嚙合剛度［18］，忽略摩擦力的影響。

必須考慮非線性接觸對(duì)參數(shù)激勵(lì)的影響，采用赫茨理論對(duì)橢圓或線接觸或用FE基礎(chǔ)接觸分析可計(jì)算接觸剛度值。用適度或少數(shù)單元赫茨理論比FE基礎(chǔ)接觸分析更精確，但采用FE方法的優(yōu)點(diǎn)可考慮邊緣接觸。本文采用赫茨線接觸公式。

采用彈簧連續(xù)原理分別計(jì)算結(jié)構(gòu)和組合局部接觸剛度值，該原理示于圖3。沿一當(dāng)量嚙合線在齒面寬度中間（圖4）模擬圓柱齒輪副的嚙合剛度變量，這按照實(shí)際嚙合發(fā)生在嚙合面［19，20］上。

圖3 剛度連續(xù)原理Fig.3 Principle of Stiffness in Serier

圖4 斜齒圓柱齒輪當(dāng)量嚙合線和嚙合面Fig.4 Equivalent line of action and the plane of action for helical cylindrical gears

從而由嚙合開始到結(jié)束的總嚙合時(shí)間確定為

實(shí)例單輪齒對(duì)剛度和齒輪副的嚙合剛度示于圖5。沿當(dāng)量嚙合線研究剛度的變量。描述單齒對(duì)剛度矢量用分支表示其他輪齒接觸，假定各輪齒具有相的剛度特性。用各單齒對(duì)剛度矢量和得出齒輪副的嚙合剛度矢量。采用總嚙合剛度矢量計(jì)算承載準(zhǔn)靜態(tài)傳動(dòng)誤差，還可求解沿嚙合線嚙合輪齒間載荷分布。

圖5 單輪齒對(duì)剛度（Kmi（t））和總剛度（ΣKmi（t））矢量Fig.5 Single Stiffness（Kmi（t））and total stiffness（ΣKmi（t））vectors

4.1 福里哀頻譜

變換嚙合剛度變量為其福里哀級(jí)數(shù)使它可表示為嚙合剛度激勵(lì)在頻率范圍內(nèi)。它可與齒輪幾何參量對(duì)激勵(lì)頻率造成的影響作比較。參考文獻(xiàn)［11］介紹了該方法的原理。它還可能使計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，這是一種典型的操作并表示在頻率范圍內(nèi)。

采用這種方法形成的剛度激勵(lì)的福里哀頻譜如圖6所示，在該圖中，用縱軸表示振幅，該原始標(biāo)志（嚙合剛度變量）和其福里哀級(jí)數(shù)近似由上輔線圖可見；其福里哀系數(shù)（嚙合頻率和它的諧波）示于下輔線圖。該標(biāo)志曲線的形狀確定相對(duì)高的諧波。

圖7上輔線圖示嚙合剛度變量和對(duì)應(yīng)的福里哀級(jí)數(shù)，下輔線圖示測(cè)量齒輪試驗(yàn)臺(tái)自然頻率特性（實(shí)線）和計(jì)算嚙合剛度變量（線條）的福里哀頻譜的一個(gè)實(shí)例，當(dāng)激勵(lì)頻率等于自然頻率時(shí)發(fā)生共振。由于這個(gè)原因，涉及到有關(guān)低振動(dòng)值必需避免激勵(lì)與自然頻率之間重合。

在齒輪動(dòng)力學(xué)和齒輪幾何數(shù)據(jù)的設(shè)計(jì)中，如螺旋齒輪，可以修正改變嚙合剛度變量的形式，即其尺寸和福里哀系數(shù)的定位。而且，自然頻率可以用修正軸和軸承的剛度或齒輪的慣性質(zhì)量來(lái)調(diào)整。在這方面，振動(dòng)性能可以控制而沒(méi)有時(shí)間消耗響應(yīng)計(jì)算，如圖7所示，在該實(shí)例中，已選定齒輪的幾何尺寸，而不存在激勵(lì)和自然頻率峰值間的重迭。

圖6 嚙合剛度變量和相應(yīng)具有7個(gè)福里哀系數(shù)的福里哀頻譜的實(shí)例Fig.6 Example of mesh stiffness variation and corresponding Fourier Spectrum with Seven Fourier Coefficients

圖7 自然頻率特性相對(duì)于激勵(lì)頻率分量關(guān)系Fig.7 Natural frequency behavior against excitation frequency components

5 作為設(shè)計(jì)工具的模型趨向

為設(shè)計(jì)斜齒輪要計(jì)算激勵(lì)而開發(fā)的模型應(yīng)集中于模型的參量化和合適的計(jì)算時(shí)間。模型的參量化使模型具有靈活性，為了在某一確實(shí)應(yīng)用中最小的參數(shù)激勵(lì)，在齒輪設(shè)計(jì)方面困難是找到齒輪參數(shù)的最佳組合。單輪齒對(duì)模型限制了幾何偏差分析，特別在由于建立模型在小的齒形偏差的情況，即相鄰輪齒對(duì)齒輪體剛度具有一個(gè)小的影響。該模型的精度不適于描述微米齒型偏差對(duì)嚙合剛度變量的影響。但該模型可估算頂切的修正量，因?yàn)樗鼘?duì)沿嚙合線的平均變形比對(duì)精確的嚙合剛度變化形式更加有關(guān)。該模型有可能用來(lái)計(jì)算彎曲應(yīng)力。開發(fā)這個(gè)模型僅作為要求精確的效率分析，比真實(shí)的齒輪副不用計(jì)算費(fèi)用昂貴的模型。

整個(gè)FE嚙合可用4參量確定，嚙合尺寸對(duì)剛度變量有很大的影響，但隨著單元數(shù)量的增大結(jié)果改進(jìn)很快。圖8示參量激勵(lì)矢量與每齒不同單元數(shù)間關(guān)系曲線。計(jì)算的試驗(yàn)齒輪副的數(shù)據(jù)列于表1。采用一個(gè)確切少的單元數(shù)可以獲得參量激勵(lì)的滿意值，即在576和3971單元間嚙合剛度變化不大，這些曲線的特性是一個(gè)更低的單元數(shù)形成的典型的波形曲線具有大的振幅。

圖8 采用不同每齒單元數(shù)的參量激勵(lì)Fig.8 Parametric excitation using a different number of elements per tooth

表1 齒輪數(shù)據(jù)Table1 Gear data

相應(yīng)于參數(shù)激勵(lì)的福里哀（Fourier）系數(shù)如圖9所示，該圖示采用少數(shù)單元可求得福里哀圖譜的合理估算。

僅采用兩個(gè)參數(shù)可改變輪齒基礎(chǔ)嚙合尺寸，而輪齒嚙合密度可采用加權(quán)函數(shù)確定。兩小齒輪和大齒輪可以具有不同的單元數(shù)和不同的輪齒基礎(chǔ)尺寸。模型的柔性可提供一個(gè)有效的方法研究局部接觸剛度和輪齒基礎(chǔ)柔性對(duì)參量激勵(lì)和負(fù)荷分配的影響［13］。

圖9 采用不同單元數(shù)的參數(shù)激勵(lì)的福里哀系數(shù)Fig.9 Fourier Coefficients of the parametric excitation using a different number of elements

計(jì)算時(shí)間很大程度與FE嚙合尺寸有關(guān)，齒輪幾何參數(shù)的生成還要化費(fèi)時(shí)間去處理，精確描述輪齒齒面幾何學(xué)十分多的數(shù)據(jù)。其他增加計(jì)算時(shí)間的許多因素是在嚙合線上的許多計(jì)算點(diǎn)，結(jié)構(gòu)剛度計(jì)算在各嚙合點(diǎn)中只需進(jìn)行一次，反之，由于非線性赫茨變形總剛度變量常包含多次重復(fù)。這種重復(fù)處理增加了解題的時(shí)間。然而對(duì)于合理的精度結(jié)果，實(shí)際上重復(fù)二次三次已經(jīng)足夠了。由于彈性變形嚙合接觸在嚙合線之外時(shí)，該模型還有可能對(duì)結(jié)構(gòu)剛度作重復(fù)計(jì)算，但本方法很費(fèi)時(shí)間，該模型計(jì)算時(shí)間不是最佳。

采用具有1800MHz處理器和1GB存儲(chǔ)器個(gè)人計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，各單接觸點(diǎn)具有1000……1500個(gè)單元的計(jì)算時(shí)間約5分鐘，其中包含輪齒幾何自動(dòng)生成的時(shí)間。在嚙合線上的一典型的計(jì)算點(diǎn)數(shù)為50，計(jì)算整個(gè)嚙合線上的結(jié)構(gòu)剛度值約4小時(shí)。對(duì)于赫茨接觸剛度在嚙合線上取50點(diǎn)進(jìn)行兩次重復(fù)計(jì)算，第一次為設(shè)計(jì)目的可能看起來(lái)計(jì)算時(shí)間太長(zhǎng)，但可進(jìn)行粗約單元嚙合進(jìn)行初始計(jì)算，而利用嚙合線上少量計(jì)算點(diǎn)以便影響激勵(lì)曲線的形狀，以便在選定點(diǎn)進(jìn)行最后計(jì)算。結(jié)果兩齒輪對(duì)的粗約計(jì)算可在1小時(shí)內(nèi)完成。

直接采用FE解法的缺點(diǎn)是它對(duì)最大單元數(shù)強(qiáng)加一個(gè)限制，甚至要采用稀疏矩陣技術(shù)。然而這是有點(diǎn)理論觀點(diǎn)，因?yàn)閷?shí)際上用現(xiàn)有模型采用適當(dāng)?shù)膯卧獢?shù)可以求得很好的結(jié)果。

6 結(jié)論

本文介紹了圓柱齒輪參數(shù)激勵(lì)分析的一種計(jì)算模型，該計(jì)算模型利用線性三維FE方法僅針對(duì)包括輪齒基礎(chǔ)柔性輪齒結(jié)構(gòu)的變形計(jì)算。本模型為避免大的FE網(wǎng)格綜合了接觸分析和結(jié)構(gòu)分析，找出赫茨公式去快速和有效地處理輪齒非線性接觸。整個(gè)激勵(lì)模型參數(shù)化，包括建立輪齒的FE網(wǎng)格。采用4參數(shù)確定整個(gè)FE網(wǎng)格，僅采用2參數(shù)可改變輪齒的基礎(chǔ)尺寸，采用加權(quán)函數(shù)可確定輪齒網(wǎng)格密度。因而，在時(shí)間和頻率范圍內(nèi)可求出嚙合剛度變量（即參數(shù)激勵(lì)）。在頻率范圍內(nèi)正常分析振動(dòng)測(cè)量值，所以當(dāng)在該范圍內(nèi)計(jì)算模型提供結(jié)果時(shí)是它的明顯優(yōu)點(diǎn)。

本文為設(shè)計(jì)目的還研究和討論了模型的趨向，計(jì)算表明很少的單元數(shù)能滿足對(duì)嚙合剛度變量的估算，在齒輪動(dòng)力學(xué)的設(shè)計(jì)中，可修正齒輪幾何數(shù)據(jù)來(lái)有效地改變激勵(lì)的形式。這樣可以在激勵(lì)和自然頻率間進(jìn)行比較，也可作應(yīng)力和負(fù)荷分布的分析，使設(shè)計(jì)趨向和計(jì)算時(shí)間達(dá)到合理的組合。（介眉譯自proc.Imeche Vol.222partc：J.Mechanical Engineering Science）

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附錄

APPENDIX

名詞

Notation

af基礎(chǔ)齒面寬度橢圓半軸 ellipses semi－axis for foundation

b 齒面寬度 tooth facewidth

bf基礎(chǔ)橢圓半軸 ellipses semi axis for foundation

kmi第i嚙合齒對(duì)的嚙合剛度 mesh stiffness of the i the meshing tooth pair

mn法面模數(shù) normal module

nrpm小齒輪轉(zhuǎn)速 rotational speed on pinion

rc圓半徑 circumradius

t 時(shí)間 time

tm總－嚙合時(shí)間 total meshing time

tz通過(guò)一法向基節(jié)的嚙合時(shí)間 meshing time period passing a transverse base pitch

x0，y0圓心座標(biāo) circumcentre coordinates

x1，x2齒頂修正系數(shù)（表1） addendum modification coefficients（Table1 ）

xci，yci圓心座標(biāo) circumcircle coordinates

z1小齒輪齒數(shù) pinion tooth number

z1，z2齒數(shù)（表1） tooth number（Table1 ）

α 壓力角 pressure angle

β 螺旋角 helix angle

εα法向接觸比 transverse contact ratio

εβ重合度 overlapratio