1 前言

蛇形帶是汽車的前端輔助功率傳動（FEADS），是一個簡單的帶把功率由曲軸傳遞到多種附件。已經由一系列的研究［1－9］分析該裝置的線性和非線性結構。在參考文獻［1］到［3］中介給了一種集中考慮帶輪扭轉振動的彈簧類帶模型。在文獻［4］到［7］中，對于蛇形帶采用繩索類帶傳動體原理研究帶的橫向振動和帶輪的扭轉振動。Beikmann等［5］開發(fā)了一三帶輪系統的樣機，它包含一主動帶輪和一從動帶輪以及一張緊輪（圖1）。該張緊輪由一繞其支點回轉的剛性臂和銷連接在臂另一端的帶輪組成，它保持工作時帶的張緊。

采用該標準的三帶輪裝置，Kong和parker［8］考慮了帶的彎曲剛度建立了一個復合的連續(xù)一離散模型。求得了許多穩(wěn)態(tài)均衡解決方法。和繩索類帶傳動不同，非明顯跨距均衡曲率產生，它引起帶橫向振動和扭轉振動的組合振動。在其后續(xù)的研究［9］中，通過不具有繩模型的系統模態(tài)分析研究跨接帶輪連接，該連接由實驗檢測［6］。

在機械系統如噴氣發(fā)動機［10］的氣體渦輪機的起動裝置直升飛機的主轉子和某些帶輪以及FEADS［11－15］中采用單向離合器，當從動件或功率吸收組件（即一自動輔助裝置）超越主動件（即帶輪）時離合器脫離。對比中，當它們的速度相同時，該兩組件是彼此鎖緊或通過彈簧類元件連接。接合可確保傳遞功率，而脫開時，兩個不連接的組件超越時，可降低或避免從動件的重大影響。該影響諸如包括系統振動，帶的拍動，帶磨損和由帶一帶輪摩擦產生的吱叫聲。本文則考慮將單向離合器用于蛇形帶傳動中。

圖1 集合從動帶輪和其結合附件的具有單向離合器的三帶輪裝置為簡化起見已省略了物理量Fig.1 Three－pulley system with a one－way clutch integrated in the driven pulley and its associated accessory.The tildes on the physical quantities have been for simplicity

Vernay等［10］實驗研究楔形單向離合器的瞬態(tài)特性，證明了離合器嚙合時滑動的影響。Solfrank和Kelm［12］制訂出一輔助傳動裝置運行的全面模擬方法。該單向離合器的模型由一速度相關減振和轉矩由帶輪傳至輔助部件具有非線性剛度的一并聯彈簧組成。只有當輔助件速度低于帶輪速度時離合器才介入作用。Leamy和 Wasfy［15］開發(fā)了一動力學有限元模型確定帶輪一帶傳動裝置的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應。為證明該方法的實用性，采用結合裝置的從動帶輪中一比例轉矩法則模擬一單向離合器。并仿真其瞬態(tài)響應。

但以上所述著作均未涉及詳述單向離合器的動力學，zhu和 parker［13，16］的具有單向離合器和從 動帶輪及其輔助件組合的一雙帶輪一帶裝置模型檢測其非線性動力學，該離合器是一采用間斷剛度的分段非線彈簧，它僅在其連接部件正相對位移時嚙合，通過交替嚙合和脫開特性的仿真，證實了它是一典型適度的非線性特征。離合器分開帶輪和輔助件后成為二個自由度（DoFs），而其功能像一個減振器降低振動。Mockensturm和Balaji［14］提出一分段線性分析法研究單向離合器的動特性，其模擬是基于帶輪和輔助軸的相對速度。離合器運行導致傳遞功率增加和帶牽引力波動減少。

在上述研究中，僅考慮了帶的扭轉振動。為對具有單向離合器蛇形帶傳動的動力學更合乎實際的檢測，本文采用了典型的三帶輪系統［圖1］，以及采用混合連接一離散模型見參考文獻［8］和［9］，其中組合了帶的彎曲剛度和展示帶一帶輪連接。從動帶輪和其輔助件之間的組合，當兩組件脫開和嚙合運動時，單向離合器分別分離和鎖緊。對于這個分段線性系統，在各線性結構中，通過轉換矩陣［17］在不連續(xù)的時間序列內估算分析解。采用兩個臨界值求出瞬態(tài)轉變時間，即零相對速度和零離合器轉矩。該解用數值積分證實。對已知的設計裝置，通過激勵頻率范圍，帶輪和輔助件的慣量比以及外載荷研究單向離合器在該系統動態(tài)沖擊。檢驗帶的動態(tài)拉力的降低。

2 傳動裝置的模擬

圖1示典型的三帶輪一帶傳動裝置。帶以常速度c運行，把功率由主動帶輪傳到從動（輔助件）帶輪。張緊器臂是鋼絲彈簧以彈簧剛度kr加載，一激勵轉矩作用于主動帶輪，而輔助件承受一固定外轉矩。

與相對速度有關的單向離合器是設置于從動帶輪和由帶驅動傳遞功率的輔助件之間，該離合器模型應用于楔塊型，滾子型或纏繞彈簧型單向離合器。首先考慮離合器脫開，帶輪速度低于輔助件速度，當相對速度接近零時，帶輪和輔助件彼此鎖緊，即離合器嚙合。嚙合時，帶輪和輔助件彼此被離合器內轉矩制約運動。在這種情況，帶輪慣量Jp和輔助慣量Ja組合成一剛體慣量Ja＝Ja＋Jp。當離合器轉矩由正值降到零時，帶輪和輔助件脫開。離合器嚙合和脫開狀況的數學表達式和其轉換法則列于表1。這是兩嚙合和脫開結構的分段線性系統線性工作狀況。

Kong和parker［8］采用Hamilton原則導出了三帶輪一帶裝置非線性運動方程式，這里帶模擬為一運動的彎曲樑，三帶輪的始點和終端的跨距與直帶相同。所含有的有限帶的彎曲剛度造成非一般的穩(wěn)態(tài)跨距曲率，確定帶和帶輪之間聯接程度工作狀況，在繩形帶模型內基于直線段穩(wěn)態(tài)曲率對比帶一帶輪分離運動，再線性化方程式約非一般均衡并在自由振動分析［9］方面研究帶一帶輪聯接。

在本裝置中，線性化嚙合形式無因次操縱方程式與這些參考文獻［9］相同，并寫成廣義算式為

式中Y＝｛y1，y2，y3，θ1，θ2，θ3，θτ｝T集合帶連續(xù)和離散間隔以及帶輪和張緊器轉化為擴散可變，θi和θt概括帶輪和張緊器臂轉角，它們近于相等。θ3為嚙合時輔助件一帶輪的轉角，即θ3＝θp。θa為假如一個循環(huán)發(fā)生脫開時，包括剛體運動輔助件的轉角，yi為各間隔wi有關的橫向位移，如

表1 離合器接合和脫開狀況及其轉換準則Table 1 Engagement and disengagement statuses of the clutch and their switching criteria

式中x1，2∈［0，1］沿各間隔空間可變，rt為張緊器臂長度，li為間隔長度。yi滿足普通的邊界條件如鎖緊梁。微分運算子M和K 是自伴，而G是不對稱自伴，具有一個合適的內部結果確定于參考文獻［9］。F是附件負荷組成的矢量，如

以下為參考文獻［9］中無因次數，該無因次量為

式中“～”符號指為物理量，對離合器嚙合狀況m3＝m0，考慮附件作為與帶輪分開的自由剛體，其運動方程為

式中Mc＞0為強制嚙合，Cg為附件阻尼。

公式（1）還用于離合器脫開狀態(tài)，但僅帶輪慣量是有效的，即m3＝mp。在這種情況下，θ3在式（1）內只表示為附件一帶輪的轉角，即θ3＝θp和F＝0。附件由帶輪和轉臂分開轉動負荷獨立，滿足式（5）但具有零離合器轉矩Mc＝0。

［9］相同，Galerkin離散化用于混合離散一連續(xù)系統（1）。擴展變數γ展開為系列基礎函數為

式中p＝N1＋N2＋N3和Ni為第i跨距的各個基礎函數。Ψi是滿足所有邊界條件的全面比較函數，而其中的每個函數都描述整個系統的一個變形。對于第i間隔，間距變形的形狀為正弦曲線Sin（kπx），k＝1，…，Ni的迭加。對于瞬時，Ψk＝｛kπx，0，0，0，0，0，0｝T，對于第1間隔K＝1，…，N，對于離散的帶輪和張緊的臂，該完整的比較函數只包含有關的離散單元，如對于帶輪2，如對于帶輪2Ψp＋2＝｛0，0，0，0，1，0，0｝。在參考文獻［9］采用內積確定離散方程：

式中 A（t）＝｛a1（t），…，ap（t）θ1θ2θ3θτ｝T為一般化座標。

在車輛中，發(fā)動機氣缸點火和壓縮沖程的交替變化，造成曲軸速度的循環(huán)波動?；诎l(fā)動機特性一特定的周期速度不規(guī)則，對于這樣特定的曲軸速度，省去加于主動帶輪上轉矩M1，而在所有期間，式（7）中作為激勵移到左邊，結果為

式中上角的0表示由原點第（p＋1）行和所消去導出的新矩陣和矢量。C0是由典型阻尼收集在跨距和軸承的能量損耗求得的阻尼矩陣，式（8）和（5）聯立和表1中的轉換準則充分描述了系統的運動動力學。

3 方法

另一種離合器嚙合或分離狀態(tài)可由線性系統理論得出，分離（8）式求得一狀態(tài)空間變量并轉換（8）為

式中Ⅱ為－（p＋3）×（p＋3）恒等矩陣，此外，一求得的模態(tài)R的矩陣V和導出的模態(tài)座標矢量q為

將式（10）代入式（9），左邊乘以 V－1，得離散方程

式中Λ是斜線符號，方程式（11）的解為

其中τ0為起初時間，eΛ（t－τ）為轉換矩陣。

其一可在式（12）內積分數值估算，然而在任何瞬時t轉換矩陣已由t0到t求積估算。對于數值化效率，其一可在各個瞬時t∈［t0，t5］存儲轉移矩陣避免重復矩陣估算，其中tf為最后的時間。這種對系統相當好的工作具有少量DoFs和少量積分時間點。對于該系統和實際之一有較多的跨距和帶輪，該離散系統要求有許多DoFs和許多波動循環(huán)確保瞬態(tài)響應完全延遲取得穩(wěn)定狀態(tài)。因此，式（12）數值估算無效。

Meirovitch［17］提出一個分析近似方法，在離散時間序列內，對于tk＝t0＋kΔt估算在t0，…，tk，…，tN的解，其中 N＝（tf－t0）／Δt，該近似法采用在這里為

式中Δt為取樣時間選擇足夠小，如輸入矢量fF（t）可考慮作為大于時間間隔tk＜t＜tk＋1的常數。用式（10）引起的物理響應，由數值積分確認該解，當與數值積分比較時，該方法要求的計算時間為它的30－50%。

對于離合器工作不同變換必定要求有瞬時的過渡時間，當它接合時，應監(jiān)測離合器轉矩。在各個瞬時，用由式（13）和（10）求得響應。該附件響應˙θa和是已知的，因為附件隨帶輪相互運動。因此，離合器轉矩可由式（5）確定。如果Mc＝0（或小于數值補充內的特定的公差），從下一瞬時開始脫離。對比離合器雖然脫離，相對速度是受到控制的。由式（13）和（10）求得，由式（13）和 Mc＝0求得結果，如果（在特定公差之內），離合器回復接合。

上述方不限制離合器在一個單循環(huán)內接合和脫開之間的交換，不似參考文獻內的分析解，其中僅假定一單次轉換。

4 結果和討論

由于曲軸速度波動系統受到激勵的穩(wěn)態(tài)周期響應考慮為˙θ1＝DcosΩt，該激勵頻率Ω是發(fā)動機（曲軸）速度的σ倍。其中σ由發(fā)動機缸數確定，本研究采用σ＝3。帶速度隨發(fā)動機速度改變?yōu)閟＝r1Ω／（σl）。范圍Ω＝0－12相應為發(fā)動機速度對在表2內參量變化在0－5850轉／分以上，它是一個實際主要的頻率范圍。該帶速對應于Ω＝12為s＝0.921低于任何臨界速度，它是陀螺儀非穩(wěn)定工作造成的。曲軸速度波動振幅D獨特按發(fā)動機速度百分比μ估算的，因此D＝μΩ／σ。雖然發(fā)動機速度取決于實際，但這里選定μ＝10%。

表2 實例系統的物理特性Table 2 Physical properties of the example system

該參量α是附件和從動帶輪的慣性比，即ma＝αmb。本文始終認為帶輪和附件的組合慣量不變，對于任何α作為m0＝26.03（J0＝0.01kgm2）。對于離散化，對于i＝1，2，3即半正弦或正弦曲線考慮選擇Ni＝2。在式（8）內ζ＝5%和附件阻尼Cg＝0.2求得模態(tài)阻尼系數C0。

激勵頻率Ω為變數，帶速和線性系統的固有解改變［9］。對于小的彎曲剛度，橫向強制振動的自然頻率隨速度增加而迅速減小，而扭轉強制振動的自然頻率卻變化少許。對于大的彎曲剛度，因為帶一帶輪聯接緊密，故所有自然頻率均隨速度比較慢和非單調地減少。本文采用中等的彎曲剛度ε＝0.02，由這些中等數值，用不同彎曲剛度進行模擬，進一步確認大多數結果是不變的。

為了比較兩具有單向離合器的兩非線性系統，研究兩線性系統。一個系統相應為離合器持久嚙合狀況，稱為“鎖止”離合器裝置。它在實際裝置中表明為一沒有離合的標準的布置，帶輪與附件剛性聯接。在這種情況下，m3＝m0。其他情況參照這個情況，當離合器安全脫開，帶僅由帶輪的慣量m3＝mp＝m0／（1＋α）驅動，這種稱為不接合離合器裝置。

實際從動輪的慣量是依據組合慣量（當離合器鎖止時）到帶輪慣量（當離合器脫開時）變化，而自然頻率也相應改變。圖2示導致帶速s＝0.069（Ω＝0.9）表明這種變量，其中α＝0相應鎖止離合器裝置的自然頻率。對于表2中的參量，扭轉強制振動對于兩線性系統有一個最小的自然頻率。按照圖2，開始隨α很快增加，但對于大的α進一步Ω1增加并不明顯，而張緊器臂最后受這種方式控制，α不再影響Ω2，形式由跨臂橫向振動控制。根據α＝0的一個x指出附件一帶輪一控制方式的自然頻率隨α單調增加，例如當α＝0時Ω＝2.7。反之，對于α＝10，Ω＝4.7和α＝50，Ω＝9.2。當這種模式的自然頻率接近另一自然頻率時，自然頻率發(fā)生。例如，它接近Ω3，Ω4，Ω5和Ω6時，則分別α＝2.7，8.3，21和26附近（圖2中破折線圖所示）。在轉向區(qū)之外，該模態(tài)特征除其自然頻率變化外，形式保持相同。對于大的α，其他形式的能量分布和其有關聯的自然頻率接近穩(wěn)定狀態(tài)。對于大的α，具有Ω3－Ω6的形式用橫向振動控制。圖2給出了各個自然頻率的極限值，當帶速（激勵頻率）改變時，這些自然頻率少許變化。

圖2 對于帶速s＝0.69（Ω＝0.9）和其他參量列于表2脫開離合器裝置的自然頻率隨慣量比α變化，破折線圓表示為自然頻率轉向區(qū)Fig.2 Natual frequencies of the disengaged clutch system varying with inertia ratioαfor belt speed s＝0.69（Ω＝0.9）and other parameters in Table 2.Dashed circles indicate regions of natural frequency veering

4.1 激勵頻率段

圖3示三跨距（a1，a3和a5）的半正弦曲線和第二跨距（a4）的正弦曲線動態(tài)變形均方根值。鎖止離合器裝置（表示為常規(guī)帶輪布置）和α＝0的脫開離合器裝置和非線性系統比較，在橫向控制模式發(fā)生共振，這些如在第一跨距Ω＝6.4（圖3（a）），在第二跨距（圖3（b）和（d））Ω＝3.2和7.1，在第三跨距（圖3（c））Ω＝2.0。接近這些模式的激勵頻率限制非線性系統響應，并確定用單向離合器抑制振動的效果，肯定不發(fā)生超級和次級調波共振。當在鎖止離合器裝置的響應高于脫開離合器裝置的情況下，如模式跨距3內Ω＝2.0和在跨距2內Ω＝3.2，非線性離合器振動被抑制。反之，如在模式跨距1內Ω＝6.4和跨距內Ω＝7.1，脫開離合器的響應較高，振動增大。

圖3 對于 M1＝0.556和表2列出的其他參量，（a）a1－a1mean；（b）a3－a3mean；（c）a5－a5mean；和（d）a4－a4mean.－－鎖止線性；…脫開線性α＝10；——非線性α＝10變形幅值動態(tài)響應均方根值Fig.3 r.m.s.dynamic response of the deflection amplitude for M1＝0.556and other parameters in Table 2.（a）a1－a1mean；（b）a3－a3mean；（c）a5－a5mean；and （d）a4－a4mean.－ －locked linear；…disengaged linearα＝10；——non－linearα＝10

同時，當部分循環(huán)強烈影響轉動強制模式非線性脫開，如這些在Ω＝0.9和2.7（圖3和4）共振比鎖止離合器裝置顯著減小。在頻率方面，脫開離合器系統有一個自然頻率，但鎖止離合器系統沒有，如在Ω＝4.7，單向離合器使鎖止離合器變成脫開離合器振動增大。

圖3示在跨距橫向振動中明顯是超級調波共振，在跨距了Ω2＝2.0中發(fā)生強烈初級共振（圖3（c））。其一可見在Ω＝1.0，發(fā)生Ω2的1階階非線性超級調波共振，其中響應頻率為Ω＝2.0。同樣在跨距1接近Ω＝3.5發(fā)生Ω6＝7.1的1階一y2階超級調波（圖3（a））。在各個跨距，與顯著的共振有關，幾個其他的超級調波都具小的幅值。這些次級共振對系統動力學具有少量影響，因為它們的振幅較小。

圖4示帶輪和拉力器臂轉動，該附件當離合器脫開時經受零剛度和自由輪而不穩(wěn)定，所以它們是轉動速度而不是轉動如圖4（d）所示。當單向離合器進行工作時，鎖止離合器在Ω＝0.9時的共振消除。這表明用單向單合器能實現的有利影響。采用單向離合器在頻率方面也是有效的，因為該模式有一個大的輔助轉動。該具有α＝10的非線性系統可預期表明一相應增加Ω＝1.7而不是Ω＝0.9，因為具有Ω＝10的脫開系統有一個自然頻率（圖2），沒有這樣增加是明顯的。同樣的特性表明單向離合器的有效性是明顯在Ω＝2.7對α＝10附近鎖止離合器共振，對應于脫開離合器系統的自然頻率在Ω＝4.7以后許可改變方向（圖2）。在這種情況，具有α＝10的非線性系統表明在Ω＝4.7時共振少許提高（因為由α＝10導致的響應可以預期），但與在Ω＝2.7的利益減小相比較這種增加是很小的。采用選擇一足夠大的α，如α＞118。其一可避免附件一帶輪在實際重要頻率區(qū)Ω＝0－12內脫開離合器的共振，因此沒有這樣增加的回轉振動產生。實際上，對有用的α范圍的限制將要求單向離合器設計提出的實際速度寧可為全部發(fā)動機速度。關于附件（圖4（d））當其脫開時，離合器分離，鎖止離合器系統共振的消除被回轉振動如這些在Ω＝0.9和2.7控制。這種分離和消除是單向離合器為何有利的主要原因。

圖4 動態(tài)響應均方值（a）張緊器帶輪θ2－θ2mean，（b）輔助帶輪θp－θpmean，（c）張緊器臂θt－θtmean和（d）附件速度˙θa－˙θ2mean，對于M1＝0.556和其他表2列的參量，－－鎖止線性；…脫開線性α＝10；——非線性α＝10Fig.4 r.m.s.dynamic response of（a）tensioner pulleyθ2－θ2mean，（b）accessory pulleyθp－θpmean，（c）tensioner arm θt－θtmeanand（d）accessory velocity˙θa－˙θ2meanfor M1 ＝0.556and other parameters in Table2.－－locked linear；…disengaged linearα＝10；and——non－linearα＝10

圖5示從動帶輪和附件的周期速度的時間歷程，以及在與不同頻率有關的離合器轉矩。在減速階段發(fā)生脫開，帶輪和附件的運動分離。這樣減速時消去了大的附件慣量對帶輪的影響。當有一少許分離，兩者速度就有一正弦波形。對于Ω＝0.5，離合器在循環(huán)小部分分離。對于Ω＝0.6，分離擴大并有較高激勵頻率的調波2Ω，3Ω等等，明顯在速度譜內。圖5（c）示Ω＝2.0的一個普通情況，離合器轉矩由脫開的零跳到非零則作為接合開始。同樣但比較明顯的特性在Ω＝5.0發(fā)生（圖5（d），這發(fā)生在分離的大多數循環(huán)。

離合器的接合和分離特性，導入一接合比r確定一個循環(huán)的百分比，表明該離合器是接合的。圖6示α＝10和50以及表2所列其他參量經過實際重要頻率范圍接合比，在低的頻率范圍Ω＜0.5，因為少量減速，分離不發(fā)生。在高的頻率范圍，減速較大，大多導致脫開。預期在Ω＝1.8，因為接合系統在該頻率自然有一個很小的響應（或加速／減速），故不發(fā)生脫開。單向離合器不能帶來降低振動，所以不發(fā)生脫開。對于一給定的α，更多的脫開發(fā)生于脫開離合器模式共振附件，受附件一帶輪如對α＝10，Ω＝4.7控制。