弱擬充足半群

高振林， 邢曉丹

（上海理工大學理學院，上海 200093）

1 乘充足斷面的定義

半群S上的格林＊－關系L＊和R＊定義為：

a.L＊b當且僅當?x，y∈S，ax＝ay?bx＝by；

b.R＊b當且僅當?x，y∈S，xa＝y(tǒng)a?xb＝y(tǒng)b.

易知，L?L＊，R?R＊且

在半群S中，每個L＊－類和每個R＊－類至少含有一個冪等元，則稱S是富足的；若富足半群S中的冪等元集E（S）形成半格，則稱S是充足的，這時對有且∈E（S），使得若富足半群S的每個H＊－類有且僅有一個冪等元，則稱S是超富足的，這里H＊＝L＊∧R＊；若富足半群S的冪等元集形成子帶，則稱S是擬充足的.

設S是富足半群，它的冪等元集為E（S），T是S的富足子半群.若對T中所有的a，?e∈T∩E（S），使得aL＊e（aR＊e），則稱T為S的左（右）＊－子半群.如果T既是左＊－子半群，又是右＊－子半群，那么，稱T為S的＊－子半群.

富足半群S的充足＊－子半群S0稱為充足斷面，若對于，使得x＝ex0f，其中，eL＊x0＋，fR＊x0＊（x0＋，x0＊∈E（S））.則滿足條件的冪等元e，f是由x和eR＊xL＊f唯一確定［1］.用ex表示e，用fx表示f，如果對?x，y∈S，fxey∈E（S0），（fxey）0∈E（S0），則稱充足斷面S0為乘的（弱乘的）.

由文獻［2］可知，充足半群不一定是它自身的充足斷面.假如充足半群T是它自身的充足斷面，那么，T稱為斷面充足半群.

許多學者關注一個重要的廣義正則半群類——富足半群類，并且也研究出帶有不同充足斷面的富足半群.

本文引進弱擬充足半群類，給出其基本概念，討論其基本性質.同時證明出無零元且有乘充足斷面的富足半群是弱擬充足的充分必要條件，以此來研究無零元且有乘充足斷面的弱擬充足半群.

2 有充足斷面的富足半群的性質

本文明確必要的記號，給出需要的結論.詳見文獻［1－5］

設S為富足半群，S0是S的一個充足斷面，定義集合

顯然，I和Λ的定義是對偶的.因此，對于I的任何結論，都有Λ的相應結論.現(xiàn)只討論集合I.由文獻［1－3，5］知引理1.

引理1 設S為有充足斷面S0的富足半群，則

d.如果S0是乘的，有

（a）?e∈E（S），有e0∈E（S0）且I是有乘逆斷面E（S0）的左正規(guī)帶；

（b）?x，y∈S，有（xy）0＝x0fxeyy0，exy＝ex（xy）0＋，fxy＝（xy）0＊fy；

（c）?x，y∈S，有（xy）0＝x0y0當且僅當S是擬充足；

（d）若S是正則的，那么，S0是S的乘逆斷面；

（e）S滿足正則條件；

（f）S同構于W，S0同構于T，W，T定義為

其中，x＝a（f＊g）b∈S0，T＝｛（a＋，a，a＊）｜?a∈S0｝，定義映射φ，ψ，＊

3 弱擬充足半群

由文獻［6］知，半群同態(tài)映射φ：S→T稱為＊－同態(tài)映射，若對于

定義1 沒有零元的富足半群S稱為弱擬充足半群，如果存在斷面充足半群T和一個滿＊－同態(tài)映射φ：S→T，使得對?λ∈E（T），λφ－1是S的完全單子半群.

在上述定義中，若S是正則的，那么，S稱為擬純正的；如果T滿足條件

那么，S稱為自然富足半群；如果T是半格，那么，S稱為完全富足半群.

如果S有零元，那么，定義1中的完全單概念則意味著完全0－單.

若S為擬充足（或擬純正）半群，則由文獻［7］中的命題1.7和1.8可知，存在自然＊－同態(tài)映射：φ：S→T＝S／σ，其中，T是斷面充足半群，使得對λ∈E（T），Sλ＝λφ－1是S的完全（0－）單子半群.由定義1可知，S是弱擬充足半群.這表明，弱擬充足半群概念是擬充足半群概念的推廣.

現(xiàn)假設半群S是無零元且有充足斷面S0的富足半群.

引理2 a.?x，y∈S，有（x0y0）＋＝x0＋y0＋，（x0y0）＊＝x0＊y0＊.

b.如果S是弱擬充足的，那么，定義1中的φ是冪等可分的，即

證明 a.對x，y∈S，由引理1中的c得，（x0y0）＋＝（x0y0＋）＋.因為x0L＊x0＋，L＊是S上的右同余，故x0y0＋L＊x0＋y0＋，x0＋y0＋∈E（S0）.由L＊－類冪等元的唯一性可知，（x0y0）＋＝（x0y0＋）＋＝x0＋y0＋.

b.設e，f∈E（S），eφ＝fφ.因φ是＊－同態(tài)映射，故由eφL＊fφ，eφR＊fφ推得eL＊f，eR＊f.因為從而eLf，eRf并推得eHf，由H－類中若有冪等元，則唯一知，e＝f.

引理3 若S0是乘的，那么，S是完全單半群當且僅當S0是群.

證明 假設S0是群，則由引理1的a和d知

且W＝I×S0×Λ.其中，1是群S0的單位元.若e，g∈I，有

故I是左零半群.同理，Λ是右零半群，W＝I×S0×Λ的乘法運算為

由上可知，W 是S0上關于正則矩陣P＝（f＊g）Λ×I的Rees矩陣半群，即W＝M（S0，I，Λ，P），因此，S是完全單半群.

反之，假設S是完全單半群，則知S是Rees矩陣半群M（G；I—，Λ—，P）［6］，因S0是S的乘充足斷面，由引理1中的d得S0是逆半群，它至少有一個冪等元.若（i，p，λ），（j，p，μ）∈E（S0），則它們均是（λ，pλi，i）的正則逆元.因S0是S的逆斷面，所以，（i，p，λ）＝（j，p，μ），即S0只有一個冪等元，因而S0是群.

引理4 若對x，y∈S，有（xy）0＋＝x0＋y0＋，（xy）0＊＝x0＊y0＊.令

則

a.μ是S上的同余；

b.μ∩（S0×S0）是S0上的冪等可分同余.

證明 a.顯然，μ是等價關系.設（a，b）∈μ，c∈S，由條件等式知，a0＋ea0＊＝b0＋eb0＊.于是，對e∈E（S0），有

故（ac，bc）∈μ.同理，（ca，cb）∈μ，進而μ是S上的同余.

b.顯然，μ∩（S0×S0）是S0上的同余.如果（e，f）∈μ∩（E（S0）×E（S0）），則e0＋＝e＝e0＊，f0＋＝f＝f0＊且對λ∈E（S0），eλe＝eλ＝fλf＝fλ.特別取λ＝e代入，有e＝ee＝fe，同樣，取λ＝f代入，有f＝ff＝ef.因為，E（S0）是半格，有ef＝fe，故e＝f.

半群S上的同余ρ稱為充足半群同余，如果S／ρ是充足半群.

現(xiàn)證S為弱擬充足半群的充分必要條件.

定理1 設S0是乘的，則下列條件是等價的：

a.S是弱擬充足半群.

b.?x，y∈S，有（xy）0＋＝（x0y0）＋，（xy）0＊＝（x0y0）＊.

c.引理4中的關系μ滿足條件，

（a）μ是S0上的冪等可分同余；

（b）μ是S上的充足半群同余.

證明 a?b.假設S是弱擬充足半群，則存在斷面充足半群T和滿＊－同態(tài)映射φ：S→T，使得對?α∈E（T），αφ－1是S的完全單半群.對λ∈T，用Sλ表示λφ－1.設α∈E（T），x＝exx0fx∈Sα，則xφ＝（exx0fx）φ＝（exφ）（x0φ）（fxφ）.因φ是滿＊－同態(tài)映射，由xφ＝α，exφ＝eα＝αα－1＝α，fxφ＝fα＝αα－1＝α，得

即x0φ∈V（α）.

于是，x0φ＝α－1＝α且x0∈Sα，即對于?α∈E（T），Sα都包含S0的一個冪等元.這表明Sα∩S0是Sα的乘充足斷面.由引理3知，對?α∈E（T），Sα是群.

如果λ∈T，exx0fx＝x∈Sλ，因φ是滿＊－同態(tài)映射，故

因λ＝λλ＊，t＝t＋t，且φ是滿＊－同態(tài)映射，故（xy）0∈Sλt，（xy）0＋＝e（xy）0∈Seλt＝S（λt）＋.另外，由（x0y0）φ＝（x0φ）（y0φ）＝λt知，x0y0∈Sλt.故

（x0y0）＋＝ex0y0∈Seλt＝S（λt）＋.因S（λt）＋∩S0是群，故（xy）0＋＝（x0y0）＋.由引理2中的a知，（xy）0＋＝x0＋y0＋成立.

同理，對?x，y∈S，（xy）0＊＝（x0y0）＊＝x0＊y0＊成立.

b?c.假設對?x，y∈S，（xy）0＋＝x0＋y0＋，（xy）0＊＝x0＊y0＊成立，由引理4知，μ是S上的同余，且μ∩（S0×S0）是S0上的冪等可分同余.可知S／μ是富足半群［5］.于是，對x∈S，若f＝x0＋x0＊∈E（S0），則有f0＋＝f＋＝f＝f＊＝f0＊，并對?e∈E（S0），有f＋ef＋＝x0＋ex0＊.于是，對?x∈S，包含x的μ－類有一個冪等元f∈E（S0）.如果xμ，yμ是S／μ的冪等元，則?e，f∈E（S0），使得，事實上，xμ＝eμ，yμ＝fμ，e＝x0＋，f＝y(tǒng)0＋，于是

由此可知，S／μ是充足半群.即關系μ是S上的充足半群同余，因此，μ滿足條件（a）和（b）.

c?a.假設μ滿足條件（a）和（b），對于?x∈S，用Sx表示包含x的μ－類.顯然，對于?x∈S，x0∈Sx∩S0且Sx是富足的，故Sx∩S0是Sx的充足斷面.又S0是S的乘充足斷面，故Sx∩S0也是Sx的乘充足斷面.由引理4知，Sx∩S0上有冪等可分同余μ∩（（Sx∩S0）×（Sx∩S0））.所以，對?xμ∈E（S／μ），Sx∩S0有且只有一個冪等元x0＋x0＊，因此，它是群.由引理3知，對?xμ∈E（S／μ），Sx是完全單半群.于是，由定義1得，S是弱擬充足半群.

現(xiàn)說明弱擬充足半群類真包含擬充足半群類和擬純正半群類作為子類，它也說明了有乘充足斷面的弱擬充足半群的存在性.

例1 在文獻［8］中，T＝M0（G；I，Λ，P）是正則冪等生成半群，它帶有零元，且含有一個乘半格斷面T0＝｛a，e｝，但T不是純正的，它的Cayley表為

T中元的分解式

考慮T上的Rees矩陣半群S＝M（T，I，Λ，P），其中，矩陣

S的乘法運算

通過計算，有：

a.S是有冪等元集E（S）的半群，其中

（e）＝（e）iλ是零元（?i∈I，λ∈Λ）.因

故E（S）不是帶，且元（d）11，（d）12，（d）21不是正則的.因此，S既不是正則的，也不是擬充足的.

b.S是富足的.對?（x）iλ，（y）jμ∈S，有

因此，S的L＊－類和R＊－類可表為

由上可知，S是富足的.

c.S是弱擬充足的.因對于（λ∈I，j∈Λ），有pλj＝qλrj，存在S→T的映射φ

由（a）12φ＝a，（b）11φ＝b，（c）22φ＝c，（d）21φ＝d，（e）φ＝e知，φ是S→T的滿射.對（x）iλ，（y）jμ∈S，有

故φ是S→T的滿同態(tài)映射.由式（5）知，（x）iλL＊（y）?λ＝μ，所以

當λ＝1時，

（b）11φ＝b，故

即（x）i1φL＊（y）j1φ?（x）i1L＊（y）j1.剩余部分同樣可經(jīng)計算核準.因此，φ是滿＊－同態(tài)映射.若x∈E（T0）＝T0，則Sx＝xφ－1如下：

由前面可知，φ｜S0是S0→T0的同構映射.現(xiàn)只需證明對S中的任何一個元都可以唯一地寫成以下符合要求的形式.

因此，對于（x）iλ，（y）jμ∈S，有f（x）iλe（y）jμ∈E（S0）.

e.T是定義1意義下的擬純正半群.

設ST＝｛（e），（a）12，（b）11，（c）22，（d）21｝，顯然，φ是ST→T的同構映射，ST是弱擬充足的（因對ST，Se＝｛（e）｝，Sa＝｛（a）12｝），故T也是弱擬充足的.又T是正則的，所以，T是擬純正的.

［1］ El－Qallali A.On the construction of a class of abundant semigroup［J］.Acta Math Hung，1990，56（1／2）：77－91.

［2］ 高振林，田麗.一種廣義富足半群［J］.上海理工大學學報，2011，33（2）：198－204.

［3］ El－Qallali A.Abundant semigroup with a multiplicatice type A transversal［J］.Semigroup Forum，1993，47（1／2）：327－340.

［4］ El－Qallali A，F(xiàn)ountain J B.Quasi－adequate semigroups［J］.Proc Roy Soc Edinburgh，1981，91（A）：79－99.

［5］ Guo Xiaojiang.Abundant Semigroups with a multiplicative adequate transversal［J］.Acta Math Sinica（English Series），2002，18（2）：229－244.

［6］ Howie M.An Introduction to Semigroup Theory［M］.London：Academic Press，1976.

［7］ El－Qallali A.Quasi－Adequate semigroups［J］.Semigroup Forum，1992，44（3／4）：273－282.

［8］ Blyth T S，McFadden R.Regular semigroups with multiplicative inverse transversals［J］.Proc Roy Soc Edinburgh，1982，92（A）：253－270.