顧偉，朱聯(lián)祥（重慶郵電大學(xué)信號與信息處理重點實驗室，重慶400065）

低密度格碼在OFDM系統(tǒng)中的應(yīng)用與性能仿真?

顧偉，朱聯(lián)祥
（重慶郵電大學(xué)信號與信息處理重點實驗室，重慶400065）

信道編碼是OFDM系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)之一，低密度格碼（Low Density Lattice Codes，LDLC）則是一種能高效譯碼且達(dá)到AWGN信道容量的新型編碼技術(shù)，它兼具格碼和低密度奇偶校驗碼（Low Density Parity Codes，LDPC）的特點?；贚DLC碼編譯碼原理，給出了LDLC碼作為前向糾錯編碼技術(shù)應(yīng)用于OFDM系統(tǒng)的方案，在MATLAB平臺下仿真研究了LDLC-OFDM系統(tǒng)在Rayleigh衰落信道下的性能，結(jié)果表明LDLC碼很大程度地改善了OFDM系統(tǒng)的誤碼率性能，且優(yōu)于LDPC碼。

正交頻分復(fù)用；信道編碼；低密度格碼；瑞利衰落

1 引言

尋找某種能取得接近（最終達(dá)到）香農(nóng)容量極限的可靠通信的信道編碼方案一直是編碼界的重要目標(biāo)。格碼是線性碼在歐氏空間里的類似碼，它被建議作為加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道上的高效碼［1-2］。AWGN信道上實用的碼字通常是基于有限字符編碼，為找到一種具有高效編、解碼方案的實用格碼，Naftali等人在受到低密度奇偶校驗碼（Low Density Parity Check Code，LDPC）的啟發(fā)后，于2007年提出了低密度格瑪（Low Density Lattice Code，LDLC）［3］。LDLC碼的校驗矩陣呈稀疏性，故適合采用類似于LDPC碼的基于二分圖的線性迭代算法來實現(xiàn)其接近AWGN信道容量的高效譯碼，且譯碼復(fù)雜度線性于碼長［4］。

OFDM技術(shù)在抗多徑干擾方面極具優(yōu)勢。OFDM符號間插入保護間隔后，可以避免碼間干擾（ISI），并減小子信道間干擾（ICI）。但在Rayleigh環(huán)境下，某些子載波可能會由于深衰落而被完全淹沒，從而影響整個系統(tǒng)的誤碼率性能（BER），為了消除這種影響，我們可以引入糾錯編碼技術(shù)。本文將LDLC碼作為前向糾錯編碼應(yīng)用于OFDM系統(tǒng)中，仿真并對比分析其性能和復(fù)雜度。

2 LDLC簡介

2.1 定義

一個n維格點對應(yīng)著格碼的一個碼字，格的定義式為

式中，G為n×n的生成矩陣，b為n維整數(shù)信息矢量。格碼就對應(yīng)著一個整形區(qū)域B內(nèi)所有格點的集合。

定義H=G-1為格碼的校驗矩陣，那么LDLC碼的校驗矩陣一般則為維數(shù)為n、度為d的魔方陣，即n×n的H中每一行每一列均有d個不同的非零元素，元素取值于生成序列｛1≥h1≥h2≥…≥hd＞0｝。

2.2 編碼

生成矩陣G不具有稀疏性，用x=Gb來直接編碼的計算和存儲復(fù)雜度為ο（n2），但校驗矩陣H

=G-1呈現(xiàn)稀疏特性，若采用基于H的Jacobi迭代算法則可使編碼復(fù)雜度降低為ο（n）。迭代公式的推導(dǎo)和定義如下：

式中，t為迭代次序，D、L與U分別為H的對角陣、下三角陣和上三角陣，即有H=D+L+U。如果矩陣H非奇異，且序列｛x（t）｝收斂于x，那么x必是方程Hx=b的解，也就是LDLC的碼字。

根據(jù)數(shù)值分析理論和仿真經(jīng)驗可知，當(dāng)同時滿足下列3個條件時可以保證編碼算法收斂：H的維數(shù)較大，度數(shù)較?。ㄈ纾簄≥100，d≤10）；生成序列的最大元素值h1=1，且保證?=；H矩陣做適當(dāng)?shù)男凶儞Q使其對角線上元素為±h1。

3 LDLC在OFDM系統(tǒng)中的應(yīng)用

3.1 系統(tǒng)模型

圖1為LDLC-OFDM系統(tǒng)的發(fā)送端。兩路信息輸入b1、b2分別經(jīng)過LDLC編碼后輸出I路碼字x1和Q路碼字x2，然后把x1、x2映射成復(fù)數(shù)據(jù)流Xi=a+j b，接著將Xi串并變換為X1，X2，…，Xk，分別對應(yīng)著OFDM系統(tǒng)的k個子載波，以此作為OFDM的調(diào)制信號。OFDM調(diào)制包括IFFT變換和為每一個OFDM符號添加循環(huán)前綴CP。最后信號經(jīng)射頻發(fā)射出去。

信號傳播環(huán)境選用瑞利衰落信道，由改進型的Jakes模型來模擬［5］，該模型的定義如下：

式中，X（t）為瑞利噪聲信號，Xc（t）、Xs（t）分別為其同相和正交部分，且有：

式中，θ、φ、ψn為［-π，π］上均勻分布，且獨立統(tǒng)計，M為Jakes仿真器所需要的正弦波個數(shù)。與Jakes正弦疊加法的確定模型相比，改進型模型引入了隨機路徑增益、隨機多普勒頻率以及隨機的正弦波初始相位，從而使該模型成為具有良好統(tǒng)計特性的非確定性模型。

系統(tǒng)接收端模型如圖2所示，接收信號經(jīng)過射頻解調(diào)后，到達(dá)OFDM解調(diào)處，先去掉每一個OFDM符號的循環(huán)前綴CP，再對其做FFT變換得到對應(yīng)著OFDM系統(tǒng)k個子載波的解調(diào)信號X′1，X′2，…，X′k，接著并串變換后恢復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)流X′i，X′i再解映射為I′路碼字y1和Q′路碼字y2，并分別進行LDLC譯碼后得到兩路信息輸出b′1、b′2。

3.2 量化譯碼

系統(tǒng)接收端解映射得到的I′路碼字y1和Q′路碼字y2分別作為上下兩路LDLC譯碼器的輸入。LDLC采取基于Tanner圖的線性迭代算法。迭代中，變量節(jié)點發(fā)送給校驗節(jié)點的信息為概率密度函數(shù)PDFs，校驗節(jié)點發(fā)送給變量節(jié)點的信息為PDFs的周期擴展。如果用x1，x2，…，xn表示LDLC校驗矩陣的變量節(jié)點，c1，c2，…，cn表示校驗節(jié)點，且設(shè)碼長為n的接收碼字y1或y2的碼元為yk，k=1，2，…，n，信道噪聲方差為σ2，則系統(tǒng)接收端LDLC譯碼的過程可描述如下。

（1）初始化：變量節(jié)點xk，k=1，2，…，n傳遞給與之相連的校驗節(jié)點的信息為

（2）基本迭代——校驗節(jié)點信息更新。如果用fl（x），l=1，2，…，r表示前半次迭代中與該校驗節(jié)點相連的變量節(jié)點xml發(fā)送給它的信息，則校驗節(jié)點發(fā)送回變量節(jié)點xmj的信息Qj（x）可由下列三步求得。

卷積：

其中，式（5）、（6）、（7）可從校驗方程的角度來直觀解釋：由=integer可導(dǎo)出（integer），再結(jié)合獨立隨機變量和的PDF等于各個隨機變量PDF的卷積的理論可得到式（5），當(dāng)integer為零時，可根據(jù)式（5）、（6）計算出發(fā)送給xmj節(jié)點的PDFs信息pj（x）。但為了得到integer為每一個可能的值時對應(yīng)的PDFs，需要再進行式（7）中的周期延拓處理。

（3）基本迭代——變量節(jié)點信息更新。如果Ql（x），l=1，2，…，n表示前半次迭代中與該變量節(jié)點相連的校驗節(jié)點cml發(fā)送給它的信息，則變量節(jié)點發(fā)送回校驗節(jié)點cmj的信息fj（x）可由下列兩步驟求得。

乘積：

其中，式（8）為信道PDF與校驗節(jié)點的更新信息相乘，它們在該變量節(jié)點上被看作是獨立的信息源。

重復(fù)基本迭代2、3至設(shè)定的次數(shù)。

（4）最終判決：基本迭代完成后，首先，在沒有遺漏最后一次迭代中任何校驗節(jié)點更新信息的基礎(chǔ)上計算出該變量節(jié)點最終的PDFs：

在具體的譯碼實現(xiàn)中可采用量化處理的譯碼算法，即用量化數(shù)為L、分辨率為Δ、范圍為D=L×Δ的離散矢量來近似表示每個PDF信息，要求則是1／Δ和D必須為整數(shù)。根據(jù)“3σ法則”可知，當(dāng)Δ= 1／64、L=256時，高斯分布的PDF的量化誤差可以忽略不計，此時D=L×Δ=4。

量化后，式（4）中fk（x）可表示為fj（kΔ），k∈Z。在理想點附近對（x）求滑動平均可得到式（5）中的（x／hj），即需要計算

其中，lw=「hj／2」為滑動平均窗口長度，求滑動平均可由MATLAB中的filter函數(shù)來實現(xiàn)。為了簡化處理，可交換式（6）、（7）的執(zhí)行順序，即先對式（5）中的卷積結(jié)果ˉpj（x）進行周期為1的延拓，即：（x）=，然后再作展開運算（x）=（-）。如果對式（5）中（x）做FFT（長度為L）變換，再以D為間隔抽取就可得到1／Δ個抽樣值，且對應(yīng)著ˉQj（x）的一個周期。若先對式（5）中d-1個fj（kΔ）分別以1／Δ為間隔抽取并對應(yīng)相加，即：

然后再求gi的FFT（長度為1／Δ），最后把d-1個FFT相乘后再進行IFFT變換，也可得到一個周期的ˉQj（x）。緊接著對ˉQj（x）按「hj」做展開運算就可得到校驗節(jié)點信息的更新值Qj（x）。變量節(jié)點信息的更新采取類似的量化處理方法。

4 仿真與結(jié)果分析

4.1 性能指標(biāo)的確定

根據(jù)香農(nóng)理論可知對于維數(shù)n較大的格碼，好碼的碼字為半徑r=的球體上的一致分布，其中PX=為信號平均功率。每個格點的周圍為Voronoi域或鄰近域，若為Voronoi域的平均體積，則有Vc=det G。根據(jù)文獻(xiàn)［2］有==。設(shè)為高斯噪聲平均功率，則低密度格碼（LDLC）在AWGN信道上的信噪比的廣義為

其中一般地，需要用歸一化處理來保證上式中det（G）=1。蒙特卡洛仿真的兩大性能指標(biāo)為信噪比和誤比特率，求誤比特數(shù)需要統(tǒng)計，k= 1，2，…，n的個數(shù)。

4.2 參數(shù)設(shè)置與結(jié)果分析

圖3為LDLC碼在AWGN信道下的仿真結(jié)果。LDLC采用無四環(huán)的校驗矩陣H，其中碼長n=520時，度d=5；n=1 040時，度d=7。編碼器的輸入信息b采用二進制和多進制（此處選擇四進制）的兩種情況，即序列b的元素值取自于｛-1，1｝和｛-3，-1，1，3｝。譯碼迭代次數(shù)設(shè)置為：t=100。仿真幀數(shù)的設(shè)置為：碼長n=520時，幀數(shù)frame=4 000；碼長n=1 040時，幀數(shù)frame=2 000，這樣當(dāng)誤碼率BER≈10-5時，平均統(tǒng)計的誤比特數(shù)大概為20。結(jié)果表明BER≈10-5時，碼長n=520、1 040的LDLC分別需要2 dB和1.5 dB，即距離香農(nóng)限分別為2 dB和1.5 dB，所以1 040碼長的LDLC的糾錯性能相比520碼長時有0.5 dB的改善，碼長越大，性能越好。從圖中還可以看出當(dāng)編碼器的信息輸入b為二進制時，誤碼率性能要好于四進制的情況，這恰好證明了b為多進制時，碼率會增大，性能會變差。

圖4 為LDLC碼、LDPC碼分別應(yīng)用于OFDM系統(tǒng)時在Rayleigh信道下的仿真結(jié)果。兩者都采用無四環(huán)矩陣，仍然選取520碼長和1 040碼長。其中LDPC碼采用PEG構(gòu)造，其中520碼長時，列重wl= 3，行重wr=6；1040碼長時，列重wl=4，行重wr= 8。這里PEG構(gòu)造的基本思路是：先造全零矩陣H（n，n）=0，接著在第1列中隨機賦值wl個1，然后從第2列開始，隨機選擇一個位置，判斷所在行的行重是否已經(jīng)大于wr，若大于則放棄，否則繼續(xù)判斷當(dāng)這個位置為1時是否會構(gòu)成四環(huán)，若不會，則再將該位置賦值為1，若有四環(huán)，則放棄且重新隨機選擇位置，直到該列有wl個1。OFDM系統(tǒng)的子載波個數(shù)設(shè)置為52，F(xiàn)FT長度設(shè)為64，保護間隔（循環(huán)前綴CP）長度設(shè)為16（FFT長度的四分之一）；譯碼迭代次數(shù)t=100；仿真幀數(shù)的設(shè)置為：碼長n=520時，幀數(shù)frame=2 000；碼長n=1 040時，幀數(shù)frame =1 000，所以當(dāng)誤碼率BER≈10-4時，平均統(tǒng)計的誤比特數(shù)大概為200。Rayleigh噪聲由改進型的Jakes模型生成，假設(shè)信道為理想估計。仿真結(jié)果表明，當(dāng)誤碼率BER≈10-4時，碼長n=520、1 040時，LDLC-OFDM系統(tǒng)分別需要18.2 dB和14.9 dB，LDPC-OFDM系統(tǒng)則分別需要21 dB和17.5 dB，而未編碼的OFDM系統(tǒng)需要34 dB?？梢缘弥篖DLC和LD-PC都很大程度地改善了未使用任何前向糾錯編碼的OFDM系統(tǒng)的性能，且碼長越大，性能越好，相同碼長下LDLC的糾錯性能比LDPC要好3 dB左右。同時我們也可以比較兩路LDLC和兩路LDPC總的的碼率：LDLC校驗矩陣為方陣，碼率r=1，兩路LDLC總的碼率Rldlc=2；兩路LDPC總的碼率為Rldpc=1。Rldpc＜Rldlc，LDLC的碼率更大，性能卻更好，所以O(shè)FDM系統(tǒng)采用LDLC碼時整體的糾錯性能要好于LDPC碼。

LDLC譯碼中t次迭代后，量化處理的線性迭代譯碼總的計算復(fù)雜度為ο（n×d×t××lb（）），總的存儲復(fù)雜度為ο（n×d×L），可以看出雖然LDLC迭代譯碼算法線性于碼長，但采取量化處理算法后，量化數(shù)L明顯增加了存儲復(fù)雜度，所以LDLC碼在OFDM系統(tǒng)中的糾錯性能要比LDPC碼更好，但付出的代價更大，所以簡化的LDLC譯碼算法的研究成了一項重要的課題，文獻(xiàn)［6］給出了與LDPC碼的計算和存儲復(fù)雜度相當(dāng)?shù)腖DLC簡化譯碼算法。

5 結(jié)論

本文分析了LDLC碼的原理，通過仿真驗證了其在AWGN信道下具有良好的糾錯性能。同時把LDLC碼應(yīng)用于OFDM系統(tǒng)中，讓兩者聯(lián)合對抗瑞利衰落。仿真結(jié)果表明，LDLC碼很大程度地改善了OFDM系統(tǒng)在衰落信道下的誤碼率性能，并要好于LDPC碼。考慮到實際的無線通信系統(tǒng)中對于基帶信號處理的實時性要求，LDLC的簡化譯碼算法研究至關(guān)重要。

低密度格碼是格碼研究的一次突破，它是繼Turbo碼、LDPC碼后又一種極具應(yīng)用潛力的信道編碼技術(shù)。而MIMO與OFDM是LTE（Long Term Evolution）中兩大關(guān)鍵技術(shù)［7］，所以LDLC碼在MIMOOFDM系統(tǒng)中的應(yīng)用研究將是今后的工作方向。

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GU Wei was born in Yueyang，Hunan Province，in 1988.He is now a graduate student.His research interests include errorcontrolcoding for OFDM systems operating over fading channels，the efficient codec for mobile communication.

Email：wodedaxue163＠163.com

朱聯(lián)祥（1971—），男，陜西人，博士后，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事無線定位、通信信號處理、數(shù)字信號處理技術(shù)、信息論與編碼等方面的科研及教學(xué)工作。

ZHU Lian-xiang was born in Shaanxi Province，in 1971.He is now a professor with the the Ph.D.degree and also the instructor of graduate students.His research interests include wireless positioning，communication signal processing，digital signal processing technology，information theory and coding.

Email：zhulx＠cqupt.edu.cn

Application of Low Density Lattice Codes in OFDM System and Performance Simulation

GU Wei，ZHU Lian-xiang
（Chongqing Key Laboratory of Signal and Information Processing，Chongqing University of Posts and Telecommunications，Chongqing 400065，China）

Channel coding is one ofkey technologies for OFDM system.Low density lattice codes（LDLC），which combine the features of lattice codes and low density parity codes（LDPC），are recently-proposed lattice codes thatcan be decoded efficiently and approach the capacity ofthe additive white Gaussian noise（AWGN）channel. The basic principles of LDLC are described and the application of LDLC as a forward error correction coding in OFDM system with Rayleigh fading is researched.The performance of LDLC-OFDM system is studied on MATLAB.Simulation results show thatthe biterror rate（BER）performance of LDLC-OFDM system is significantly improved compared with OFDM system and better than that of LDPC-OFDM system.

orthogonal frequency division multiplexing（OFDM）；channel coding；low density lattice code（LDLC）；Rayleigh fading

The Project of Key Laboratory of Signal and Information Processing of Chongqing（CSTC2009CA2003）

TN911.2

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.018

顧偉（1988—），男，湖南岳陽人，重慶郵電大學(xué)碩士研究生，主要研究方向為寬帶無線技術(shù)、移動通信高效編解碼；

1001-893X（2012）03-0342-05

2011-11-01；

2012-01-11

信號與信息處理重慶市市級重點實驗室建設(shè)項目（CSTC2009CA2003）