多角度幫你解決圓錐曲線中的問題

嚴鵬 李峰

圓錐曲線是解析幾何的重點內(nèi)容，這部分內(nèi)容的特點是：（1） 曲線與方程的基礎(chǔ)知識要求很高，要求熟練掌握并能靈活應(yīng)用；（2） 綜合性強，在解題中幾乎處處涉及函數(shù)與方程、不等式、三角及直線等內(nèi)容，體現(xiàn)了對各種能力的綜合要求；（3） 計算量大，要求同學們有較高的計算水平和較強的計算能力。

【例1】(選修21，P32，第5題改編)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，如果橢圓上存在點P，使∠F1PF2=90°，求離心率e的取值范圍.

分析本題考慮的角度有很多種。基本的思想還是尋找a,b,c之間的關(guān)系。

解解法1：利用曲線范圍

設(shè)P（x，y），又知F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），

則F1P=(x+c，y)，F(xiàn)2P=(x－c，y).

由∠F1PF2=90°，知F1P⊥F2P，

則F1P?F2P=0,

即（x+c）(x-c)+y2=0,

得x2+y2=c2.

將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得

x2=a2c2－a2b2a2－b2,

但由橢圓范圍及∠F1PF2=90°,

知0≤x2

即0≤a2c2－a2b2a2－b2

可得c2≥b2，即c2≥a2－c2，且c2

從而得e=ca≥22，且e=ca<1,

所以e∈22，1.

解法2：利用二次方程有實根

由橢圓定義知

|PF1|+|PF2|=2a輡PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=4a2.

又由∠F1PF2=90°，知

|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,

則可得|PF1||PF2|=2(a2－c2).

這樣|PF1|與|PF2|是方程x2－2ax+2(a2－c2)=0的兩個實根，

因此Δ=4a2－8(a2－c2)≥0輊2=c2a2≥12

輊≥22,

因此e∈22，1.

解法3：利用三角函數(shù)有界性

記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，由正弦定理有

|PF1|sinβ=|PF2|sinα=|F1F2|sin90°

輡PF1|+|PF2|sinα+sinβ=|F1F2|，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，則有

e=ca=1sinα+sinβ=1sinα+cosα=12sinα+π4，

而π4<α+π4<3π4，

知22

1<2sinα+π4≤2，

從而可得22≤e<1.

解法4：利用焦半徑

由焦半徑公式得

|PF1|=a+ex，|PF2|=a－ex，

又由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以有

a2+2cx+e2x2+a2－2cx+e2x2=4c2，

即a2+e2x2=2c2，x2=2c2－a2e2，

又點P（x，y）在橢圓上，且x≠±a，

則知0≤x2

得e∈22，1.

解法5：利用基本不等式

由橢圓定義，有2a=|PF1|+|PF2|平方后得4a2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|?|PF2|

≤2(|PF1|2+|PF2|2)=2|F1F2|2=8c2，

得c2a2≥12，所以有e∈22，1.

解法6：巧用圖形的幾何特性

由∠F1PF2=90°，知點P在以|F1F2|=2c為直徑的圓上.

又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P，

故有c≥b輈2≥b2=a2－c2，

由此可得e∈22，1.

解法7：利用∠F1PF2的范圍

設(shè)點B為橢圓的上頂點，則∠F1BF2的范圍為π2,π，

所以∠OBF2的范圍為π4,π2，

e=sin∠OBF2∈22,1.

點撥1. 直接求出a,c或求出a與b的比值，以求解e；

2. 構(gòu)造a,c的齊次式，解出e；

3. 尋找特殊圖形中的不等關(guān)系或解三角形。

牛刀小試

1. (選修21，P33，第6題改編)設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是.

2. 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的兩個焦點F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，M是橢圓上一點，且F1M?F2M=0,求離心率e的取值范圍.

3. 如圖，在平面直角坐標系xOy中，A1,A2,B1,B2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的四個頂點，F(xiàn)為其右焦點，直線A1B2與直線B1F相交于點T，線段OT與橢圓的交點M恰為線段OT的中點，則該橢圓的離心率為.

【參考答案】

1. 先求出P的坐標，然后由△F1PF2為等腰直角三角形，求出離心率為2－1.

2. 其實就是例1的另外一種問法.答案還是22，1.

3. 先求出直線A1B2和B1F的直線方程，進一步求出T的坐標，求出M的坐標，根據(jù)點M在橢圓上，求出e=27-5.

（作者：嚴鵬、李峰，鎮(zhèn)江市第二中學）