李大章，顧和和，李研巖，齊星星

（1.中國礦業(yè)大學(xué) 環(huán)境與測繪學(xué)院，江蘇 徐州221116；2.中國礦業(yè)大學(xué)江蘇省資源環(huán)境信息工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州221116；3.上海中房測繪有限公司，上海200434）

0 引 言

在GPS精密單點(diǎn)定位中，精密星歷的內(nèi)插誤差是影響其定位精度的主要誤差源之一，衛(wèi)星精密星歷軌道誤差就成為主要的誤差源。將IGS提供的15min或5min間隔的精密衛(wèi)星軌道加密到用戶所需采樣間隔時，需仔細(xì)考慮是否滿足預(yù)期的精度要求［1］。若將插值方法用于測量方面，為了得到較高的定位或定軌精度，比較、研究不同的精密衛(wèi)星軌道內(nèi)插方法有著十分重要的意義。主要研究了拉格朗日插值和切比雪夫插值擬合法，并對兩種方法進(jìn)行了精度評定，作了對比分析。

1 GPS精密軌道鐘差內(nèi)插方法

1.1 拉格朗日多項(xiàng)式插值方法

若存在一個次數(shù)為n的多項(xiàng)式lk（x），在n個節(jié)點(diǎn)xi（i＝0，1，…，k－1，k＋1，…，n）上lk（x）的值為0，在節(jié)點(diǎn)xi上其值為1，lk（x）為節(jié)點(diǎn)xi（i＝0，1，…，n）上的拉格朗日插值基函數(shù)，通過節(jié)點(diǎn)值為0可以設(shè)lk（x）＝Ak（x－x0）（xx1）…（x－xk－1）（x－xk＋1）…（x－xn），Ak為待定系數(shù)，通過lk（xk）＝1可求出Ak，于是

取k＝0，1，2，…，n，得到n＋1個拉格朗日插值基函數(shù)［2］。

以l0（x），l1（x），…，ln（x）的線性組合表示的n次多項(xiàng)式為

設(shè)在時間間隔［t0，t0＋Δt］內(nèi)的n＋1個節(jié)點(diǎn)［3］上的衛(wèi)星鐘差為：Z0，Z1，…，Zn，則在該時段內(nèi)衛(wèi)星的鐘差可用拉格朗日插值公式來表示

利用式（4）對衛(wèi)星鐘差進(jìn)行插值，得到觀測時刻衛(wèi)星的鐘差，但是拉格朗日存在龍格現(xiàn)象，當(dāng)n→∞時，如果插值點(diǎn)選取得不合適的話，函數(shù)li（t）在某些點(diǎn)不收斂于觀測值，這種插值多項(xiàng)式次數(shù)增大反而不能更好地近似被插值的現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象；因此以拉格朗日插值為基礎(chǔ)的算法應(yīng)用受到了其影響［4］。

1.2 切比雪夫多項(xiàng)式插值方法

若x＝cosθ，則Tn＝cosnθ，0≤θ≤π，這是Tn（x）參數(shù)表示.利用三角公式可以將cosθ展成cosθ的一個n次多項(xiàng)式，故式（5）是x的n次多項(xiàng)式。其遞推公式

式中：T0（x）＝1；T1（x）＝x.

由x＝cosθ，Tn＋1（x）＝cos（n＋1）θ，利用三角公式

由式（6）可推出T2（x）到T6（x）的表達(dá)式

假設(shè)需要在時間間隔［t0，t0＋Δt］內(nèi)計(jì)算n階切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。其中t0為起始?xì)v元時刻，Δt為擬合時間區(qū)間的長度。將變量t∈ ［t0，t0＋Δt］變換成τ∈［－1，1］

則衛(wèi)星鐘差Z的切比雪夫多項(xiàng)式為

式中：n為切比雪夫多項(xiàng)式的階數(shù)；CZi分別為鐘差分量的切比雪夫多項(xiàng)式系數(shù)。

設(shè)Zk為觀測值，則誤差方程為：VZk＝，誤差方程的矩陣向量表達(dá)式為：VZ＝BM－fZ，這是一個間接平差的誤差方程的形式，為了求唯一解，采用最小二乘法［4］，使M滿足VTV＝min.求得法方程為NM－U＝0式中：N＝BTB，U＝BTfZ.解得M＝N－1U.M各分量便為切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)CZi.同理，對Y、Z分量完成上述類似的計(jì)算便可以得到關(guān)于某一GPS衛(wèi)星在［t0，t0＋Δt］內(nèi)各鐘差分量切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)CZi，利用這些系數(shù)根據(jù)以上式子就可以計(jì)算［t0，t0＋Δt］時間區(qū)間內(nèi)任意時刻的衛(wèi)星鐘差［5］。

2 算例及結(jié)果分析

為了分析與比較兩種內(nèi)插方法的精度，選取了IGS數(shù)據(jù)中心2011年2月11日的二號衛(wèi)星的15 min精密星歷數(shù)據(jù)來進(jìn)行鐘差插值精度分析，因?yàn)閮?nèi)插方法可能會在樣本端點(diǎn)處出現(xiàn)較大波動，內(nèi)插時選定0：30到22：30這個時段，在這個時段內(nèi)等間隔選取一些樣本點(diǎn)，再根據(jù)這些樣本點(diǎn)計(jì)算多項(xiàng)式系數(shù)，由多項(xiàng)式來每隔5min內(nèi)插一次，并將采樣間隔為30s中5min數(shù)據(jù)作為真值 ，將兩者進(jìn)行比較來分析內(nèi)插的精度。

2.1 插值方法的最值、均值精度分析

由圖1和表1可看出，在階數(shù)從6到15的情況下，拉格朗日插值和切比雪夫擬合鐘差的精度可以達(dá)到亞毫秒級，拉格朗日插值的最大誤差為4.204e－10s，切比雪夫的最大誤差為4.058e－10s；從中可以看出隨著切比雪夫插值和拉格朗日插值階數(shù)的增加，均值隨之變大，最值跳動浮動變大，穩(wěn)定性下降，精度變低；而這兩種插值中，拉格朗日插值的精度相對較差，但兩者比較差別并不顯著。如表1所示拉格朗日插值的平均誤差比切比雪夫插值的平均誤差大，所以它的精度低一些。

圖1 各階插值方法的鐘差誤差

表1 各階不同插值方法誤差最值、均值精度比較

2.2 插值方法各階數(shù)均方差比較分析

圖2示出了等時間間隔下兩種插值方法各階數(shù)得出的鐘差插值均方差精度。

圖2 各階插值方法的鐘差均方差

由表2可看出在確定時間間隔為5min的情況下，拉格朗日多項(xiàng)式不同階數(shù)的內(nèi)插精度可由均方誤差看出，6階多項(xiàng)式內(nèi)插的鐘差插值的RMS為1.275e－10s，在各階中為最小值，且隨著階數(shù)增加，RMS隨之變大；同樣切比雪夫插值在6階時取得最小鐘差插值的RMS為1.260e－10s，RMS隨著階數(shù)增加而增大；但是切比雪夫的整體RMS比拉格朗日的RMS低，說明切比雪夫的插值精度相對較高；從圖2也可看出切比雪夫插值的鐘誤差曲線沒有拉格朗日插值的光滑，出現(xiàn)這個結(jié)果的原因主要是由于偶數(shù)階的插值精度高、奇數(shù)階的插值精度低造成的，而其中切比雪夫插值受的影響要比拉格朗日插值受的影響大。

表2 間隔5min插值方法各階數(shù)得出的鐘差均方差比較

3 結(jié) 論

主要以IGS提供的30s間隔的鐘差數(shù)據(jù)作為參考，通過拉格朗日多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式對IGS提供的15min的精密星歷鐘差進(jìn)行5min間隔插值。從插值結(jié)果看，采用這兩種插值方法對衛(wèi)星鐘進(jìn)行內(nèi)插時，當(dāng)階數(shù)比較低時插值精度差別不是很大，同樣也說明在用多項(xiàng)式進(jìn)行插值時并非階數(shù)越高精度就越高。在實(shí)際應(yīng)用中，顯然，選擇切比雪夫插值比拉格朗日插值精度要高一些，但如果選擇適當(dāng)?shù)碾A數(shù)這兩種插值得到的衛(wèi)星鐘誤差都能夠達(dá)到一般工程精度要求。

［1］ 韓保民，歐吉坤.基于GPS非差觀測值進(jìn)行精密單點(diǎn)定位研究［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2003，28（4）：409－412.

［2］ 曹德欣，曹瓔珞.計(jì)算方法［M］.2版 .徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，2001.

［3］ 洪 櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS精密星歷和鐘差三種內(nèi)插方法的比較［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，31（6）：516－518.

［4］ 李慶揚(yáng)，關(guān) 治，白峰杉.數(shù)值計(jì)算原理［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2001.

［5］ 蔡艷輝，程鵬飛，李夕銀.衛(wèi)星坐標(biāo)的內(nèi)插和擬合［J］.全球定位系統(tǒng)，2003，28（3）：10－13