王琛

【摘要】《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中要求，通過對(duì)《球面上的幾何》專題的學(xué)習(xí)，初步學(xué)習(xí)球面幾何的一些基本知識(shí)及其在實(shí)際中的一些應(yīng)用，通過比較球面幾何和歐式幾何的差異與聯(lián)系，感受自然界中存在著豐富多彩的數(shù)學(xué)模型.類比思想是學(xué)習(xí)這個(gè)專題所用到的重要的思想方法，空間想象和幾何直觀能力是學(xué)好這個(gè)專題的關(guān)鍵.本文主要通過類比的方法，探究一些球面幾何的基礎(chǔ)知識(shí).

【關(guān)鍵詞】球面幾何；邊角關(guān)系；面積；全等オ

一、概 述

球與球面是很常見的圖形，地球、月亮、太陽等都近似于球體，清晨荷葉上的小水珠在表面張力的作用下，它的形狀也近似于球.研究球面上的幾何叫做球面幾何.球面幾何又叫橢圓幾何，它是曲率為正的常數(shù)的常曲率空間幾何之一，它和雙曲幾何合稱為非歐幾何.

二、研究平面三角形與球面三角形的外角及邊角關(guān)系

1.內(nèi)外角關(guān)系

平面三角形三內(nèi)角之和為180°，三內(nèi)角的取值范圍為大于0°小于180°.球面三角形則有所不同，通常所討論的球面三角形為歐拉球面三角形，三內(nèi)角的取值范圍也是大于0°小于180°，但三內(nèi)角之和必定大于180°而小于540°，且不是某一定值，不同的球面三角形，有著不同的內(nèi)角和值.我們將球面三角形三內(nèi)角之和超過180°的值稱為它的球面角盈，用E表示，即E=A+B+C-180°.

另外，球面三角形的內(nèi)角之間還有一些聯(lián)系，它的任意兩個(gè)內(nèi)角之和，減去第三角，必小于180°而大于-180°.即：

圖 1-180°

-180°

-180°

不同于平面三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系，

球面三角形的任一外角，大于不相鄰兩內(nèi)角之差，而小于它們之和，如圖1所示，D為C的外角，則必有

A-B

B-A

對(duì)于A,B的外角，也有類似的情形.

平面三角形的任一外角等于不相鄰兩內(nèi)角之和，這是大家所熟知的.

在平面三角形中，只可能有一個(gè)角是直角或鈍角（否則，其內(nèi)角和就會(huì)大于180°），而球面三角形則可以有兩個(gè)甚至是三個(gè)內(nèi)角都是直角或鈍角的.

2.邊角關(guān)系

平面三角形三邊的大小沒有限制，只要求它們滿足三角不等式，即任意兩邊之和大于第三邊，或者說任意兩邊之差小于第三邊即可.但在球面三角形中，三角不等式仍成立，而且需每邊的取值范圍是大于0°小于180°，三邊之和小于360°.在邊角關(guān)系之中，平面三角形有“大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊；等邊對(duì)等角，等角對(duì)等邊”的性質(zhì)，這些性質(zhì)在球面三角形中仍成立.

三、探討平面三角形與球面三角形面積求法

平面三角形面積的求解，在中小學(xué)階段一般給出特殊角，方便學(xué)生的計(jì)算，一般運(yùn)用公式：S=1[]2ab玸in獵（a,b是三角形的兩鄰邊，C是a,b兩邊的夾角）；對(duì)于單位球面三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別記為A,B,C,那么△ABC面積是：S△ABC=〢+狟+C-π.證明如下：

圖 2證明 如圖2，設(shè)A′,B′,C′分別是點(diǎn)A,B,C的對(duì)徑點(diǎn)，△A′B′C′是△ABC關(guān)于球心O對(duì)稱的兩個(gè)三角形，它們的面積相等，球面△ABC和△A′BC構(gòu)成球面上一個(gè)二面形，這兩個(gè)三角形的面積和是2A，即：S△ABC+S△A′BC=2A,同理有S△ABC+S△AB′C=2B,S△ABC+S△ABC′=2C,將這三個(gè)等式兩邊相加，得

3S△ABC+S△A′BC+S△AB′C+S△ABC′=2(A+B+C).（*）

因?yàn)樗膫€(gè)三角形即△ABC，△A′BC，△AB′C，△ABC′拼成一個(gè)半球面，又S△ABC′=S△A′B′C,

從而S△ABC+S△A′BC+S△AB′C+S△ABC′=S△ABC+S△A′BC+S△AB′C+S△A′B′C=2π.代入（*），可得S△ABC=A+B+C-π.

四、歸納平面三角形與球面三角形全等關(guān)系的證明

兩個(gè)平面三角形全等的證明有三種方法，即：邊邊邊（玈SS）、邊角邊（玈AS）、角邊角（獳SA）,易得證.對(duì)于兩個(gè)球面三角形的全等有四種方法，即：邊邊邊（玈SS）、邊角邊（玈AS）、角邊角（獳SA）、角角角（獳AA）.證明（略）.

五、總 結(jié)

球面幾何是研究球面圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支.它在天文、航海、測(cè)量和衛(wèi)星定位等方面有著廣泛的應(yīng)用.在高中階段，將球面幾何的有關(guān)知識(shí)作為選修課內(nèi)容向?qū)W生介紹是值得嘗試的.球面三角形還有很多有價(jià)值的性質(zhì)有待去研究，我們可以通過類比、猜想、證明等方法探究這些性質(zhì).

【參考文獻(xiàn)】オ

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［3］普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社.