祝秀芳

直線方程是高中平面解析幾何中的一個重要內(nèi)容，也是學生學習的一個難點.因為這部分內(nèi)容涉及點斜式、斜截式、兩點式和截距式四個公式，對于本來基礎(chǔ)較弱的職高生來說更難，學完后過段時間基本上記不住直線方程的形式.本人經(jīng)過多年職高教學，總結(jié)出解直線方程的簡易方法，就是以不變應萬變，所有直線方程都用y=kx+b.

一、我們先了解直線方程的四種形式

(一)點斜式

已知直線l的斜率是k，并且經(jīng)過點P1(x1，y1)，求直線l的方程.

設(shè)點P(x，y)是直線l上不同于P1的任意一點，根據(jù)經(jīng)過兩點的斜率公式得

k=y-y1[]x-x1.(1)

可化為

y-y1=k(x-x1).(2)

(二)斜截式

已知直線l在y軸上的截距為b，斜率為k，求直線的方程.

這個問題，相當于給出了直線上一點(0，b)及直線的斜率k，求直線的方程，是點斜式方程的特殊情況，代入點斜式方程可得：

y-b=k(x-0).

也就是y=kx+b,叫做直線的斜截式方程.

(三)兩點式

已知直線l上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，(x1≠x2)，求直線l的方程.

∵x1≠x2,k=y2-y1[]x2-x1,

∴直線的方程為y-y1=y2-y1[]x2-x1(x-x1).

當y1≠y2時，為了便于記憶，我們把方程改寫成

y-y1[]y2-y1=x-x1[]x2-x1.

(四)截距式

已知直線l在x軸和y軸上的截距分別是a和b(a≠0，b≠0)，求直線l的方程.

解 因為直線l過A(a，0)和B(0，b)兩點，將這兩點的坐標代入兩點式，得

y-0[]b-0=x-a[]0-a.

就是

x[]a+y[]b=1.

二、怎樣用y=kx+b解直線方程

例1 已知直線斜率5，且過P（1，2），求直線方程.

解法一 典型的點斜式：y-y1=k(x-x1).

代入已知條件得方程y-2=5(x-1).

解法二 斜截式：y=kx+b.

代入已知條件2=5×1+b，

解得 b=-3.

所以直線方程為y=5x-3.

例2 已知P（1，2），Q（2，4），求過PQ的直線方程.

解法一 典型的兩點式（略）.

解法二 斜截式：y=kx+b.

代入已知條件得方程組2=k+b，(1)

4=2k+b.(2)

得k=2，b=0.

所以直線方程為y=2x.

例3 已知直線在x軸的截距是3，在y軸的截距是6，求直線方程.

解法一 截距式（略）.

解法二 斜截式：y=kx+b.

已知直線在x軸的截距是3，即直線過點（3，0）.

在y軸的截距是6,即直線過點（0，6）.

代入0=3k+b，得

6=0+b，

解得：b=6，k=-2.

所以直線方程為y=-2x+6.

三、注意事項

斜截式只有斜率存在時方可使用.

如圖，當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用斜截式表示.但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1.