路洪香

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識和方法本質(zhì)的認(rèn)識，數(shù)學(xué)方法是解決數(shù)學(xué)問題、體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的手段和工具。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的精髓，是形成學(xué)生良好認(rèn)識結(jié)構(gòu)的紐帶，是由知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁。日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏在《數(shù)學(xué)的精神、思想與方法》中指出：“我搞了多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們在初中、高中接受數(shù)學(xué)知識，出校后不到一二年很快就忘掉了，然而不管從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深銘刻于頭腦的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)，都隨時(shí)的發(fā)生作用，使他們終身受益?！?/p>

數(shù)學(xué)教材中，不少題目隱含著常用的數(shù)學(xué)思想方法，這就是我們訓(xùn)練學(xué)生掌握解決問題的能力，擺脫“題?！睉?zhàn)術(shù)，提高學(xué)生素質(zhì)的有效的材料?，F(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課程的具體目標(biāo)也指出：“獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，理解基本的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)，……體會其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法以及它們在后續(xù)學(xué)習(xí)中的作用?！笨v觀整個(gè)高中教材，主要的數(shù)學(xué)思想方法有：抽象概括、化歸、數(shù)學(xué)模型、優(yōu)化思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、分類、類比、特殊化、換元法、配方法、統(tǒng)計(jì)思想等。而高中函數(shù)教學(xué)中常見的數(shù)學(xué)思想方法有如下四種：一是數(shù)形結(jié)合思想，二是分類討論思想，三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，四是數(shù)學(xué)建模。

一、引舊啟新，反復(fù)讓學(xué)生感性地認(rèn)識分類的誘因

結(jié)合一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)的值域問題，借助圖像，通過分類討論一次項(xiàng)系數(shù)、反比例系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)的符號，得出不同的值域范圍，給學(xué)生以形象、直觀的感性認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖像得出函數(shù)的值域范圍，并總結(jié)出要根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)、反比例系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)的符號來分情況下結(jié)論。

結(jié)合分段函數(shù)的教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步加深分類必要性的理解，明確分情況解題的合理性，感受分情況解題的原則——不重不漏。

二、引導(dǎo)學(xué)生，總結(jié)分類討論的時(shí)機(jī)與原則

結(jié)合教材2.3函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生自主地總結(jié)概括出分類討論的時(shí)機(jī)與原則：

（1）創(chuàng)設(shè)問題情景，引舊啟新：函數(shù)y=x2的圖像在y軸右側(cè)的部分是上升的，說明什么？怎樣用數(shù)學(xué)語言表示呢？同理，我們注意到y(tǒng)軸左側(cè)部分是下降的，明顯與前者不同，自然不能混為一談，必須分開來說明；

（2）師生互動，提升概念：增函數(shù)與減函數(shù)，由圖像提供的不同情況，我們清楚地知道函數(shù)圖像的變化趨勢可概括為這樣兩種情況，就必須針對這兩種情況去討論函數(shù)的單調(diào)性，從而得到概念。既不能“節(jié)外生枝”，也不能“丟三落四”，必須體現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性的完整性與獨(dú)立性，即分類時(shí)針對各種情況逐一討論，不重不漏，這樣有利于學(xué)生把定義與直觀圖像結(jié)合起來（數(shù)形結(jié)合與分類討論），加深對概念的理解，學(xué)會有層次的，由整體到局部，再由局部到整體的邏輯思維能力，善于用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)去觀察分析事物。然后及時(shí)給出這種分析問題解決問題的數(shù)學(xué)思想方法就是分類討論。

（3）獨(dú)立填表，加深感性印象與理解。讓學(xué)生通過教材60頁習(xí)題2.3-2獨(dú)立填表，再通過對函數(shù)y=■，（k≠0）與yy=kx，（k≠0）中的系數(shù)k分k>0與k<0的討論得出各種不同情況，同時(shí)借助圖像直觀地得出單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性，加深感性的印象與理解。

三、明確分類討論的內(nèi)涵及使用依據(jù)與原則

1. 分類討論的內(nèi)涵。分類思想是依據(jù)數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象劃分為不同種類分別進(jìn)行研究或求解的一種數(shù)學(xué)思想。即針對問題的情況，首先選定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，由始至終按照這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后“各個(gè)擊破”，它能幫助我們在解題、分析問題、解決問題時(shí)做到思維縝密、嚴(yán)謹(jǐn)、不重復(fù)、不遺漏，使我們在遇到對事物整體研究有困難時(shí)，可轉(zhuǎn)化成研究事物的各個(gè)局部。

2. 分類討論的使用依據(jù)。（1）根據(jù)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行分類討論，如求函數(shù)y=x2-1（0≤x≤1）x2（-1≤x≤0）的反函數(shù)。（2）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分類討論，如例：如果a■大于a■（其中a>0，a≠0），求x的取值范圍。（3）根據(jù)圖形的形狀或位置進(jìn)行分類討論：我們在研究指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的圖像和性質(zhì)時(shí)，是先畫出y=2x與y=（■）x的圖像，然后由特殊到一般，得到a>1與00且a≠1）的圖像，然后進(jìn)一步觀察得到指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）的性質(zhì)。在學(xué)習(xí)“對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)”時(shí)，同理亦可得到。

四、創(chuàng)設(shè)問題情景，引領(lǐng)學(xué)生自主提升

教師努力為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，將學(xué)生置于分類討論的數(shù)學(xué)問題情境之中，讓學(xué)生不由自主地依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論來解題。

舉例說明：求函數(shù)f（x）=lg（ax-k2x），（a>0且a≠1，k∈R）的定義域。分析：要使函數(shù)f（x）有意義，則ax-k2x>0，得（■）x>k，這是一個(gè)指數(shù)不等式，我們知道指數(shù)函數(shù)的值域是（0，+∞），那么如果k非正，則此式恒成立；若k>0，則需對（■）x>k兩邊取對數(shù)，這時(shí)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們知道：當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時(shí)，對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)?shù)讛?shù)小于1，大于0時(shí)，對數(shù)函數(shù)為減函數(shù)。這里指數(shù)的底含有參數(shù)，則需要對其討論；特別的，當(dāng)a=2時(shí)，k<1，則當(dāng)00的前提下，否則必錯(cuò)。這要求分類的層次必須清晰，對參數(shù)的討論結(jié)果必須是分類下結(jié)論；而對自變量的討論，在每一討論層里，取交集；在下結(jié)論時(shí)，應(yīng)是各討論層間取并集。

滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，是個(gè)慢功夫，不能一蹴而就，還要注意反復(fù)強(qiáng)化訓(xùn)練。但在滲透教學(xué)的過程中師生均受益。首先，能夠加深教師對教材內(nèi)容的理解程度，提高教師對數(shù)學(xué)知識的駕馭能力；如果教師能夠有效地將數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，并能深入淺出的滲透給學(xué)生，那可謂該教師為自己與學(xué)生開掘了一眼“泉”，能夠高屋建瓴。其次，學(xué)生一旦接受并領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵與真諦，必將如虎添翼，能夠深刻理解知識、靈活運(yùn)用知識解決問題，并形成分析問題、解決問題的能力，更主要的是獲得了終生受益的數(shù)學(xué)思維能力。

世界著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家喬治·波利亞說過：“完善的思想方法就猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路?！?/p>