杜毛毛

（華僑大學(xué) 土木工程學(xué)院，廈門361021）

根據(jù)建造在地面上下位置的不同，圓形貯液池可分為地上式、地下式及半地下式［1］。目前，對沿池壁全部高度作用三角形或矩形分布荷載的圓形貯液池而言，其池壁內(nèi)力計(jì)算公式或表格可從既有文獻(xiàn)［2－5］中查找。然而，對沿池壁部分高度作用三角形或矩形分布荷載的半地下式圓形貯液池而言，既有文獻(xiàn)均未涉及其池壁內(nèi)力計(jì)算公式，其池壁內(nèi)力計(jì)算往往采取簡化荷載分布的方法。采用簡化荷載分布的方法求出的池壁內(nèi)力與實(shí)際池壁內(nèi)力會有一定差異，有時(shí)差異還很大，例如半地下式圓形貯液池受到土壓和溫差作用的情形。鑒于此，筆者結(jié)合某工程實(shí)例，利用彈性力學(xué)的方法，推導(dǎo)了沿池壁部分高度分別作用三角形和矩形分布荷載時(shí)半地下式圓形貯液池池壁內(nèi)力的解析表達(dá)式，并將推導(dǎo)的解析解與通過有限元分析軟件ANSYS計(jì)算求得的數(shù)值解進(jìn)行比較，以驗(yàn)證所推導(dǎo)解析解的正確性。

1 荷載分布特點(diǎn)

此處以某污水處理工程中的圓形曝氣池為例［6］，說明半地下式圓形貯液池的荷載分布特點(diǎn)。該曝氣池直徑48.4m，池壁高度9.5m，池壁厚度0.4m，池體在地下深度為5.3m，地下水位在水池底板以下。由于池壁與底板整體澆注，因此，在進(jìn)行池壁內(nèi)力計(jì)算時(shí)，按池壁頂端自由、底端固定的結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行計(jì)算。該曝氣池池壁所受水壓、土壓以及溫差等作用如圖1所示。

圖1 池壁所受荷載示意圖

圖2 荷載分解圖

從圖1中可知，半地下式圓形貯液池所受土壓為沿池壁部分高度的梯形分布荷載，如圖2-a所示，該荷載可由圖2-b和圖2-c所示荷載相互疊加得到。所受溫差作用為沿池壁全部高度既非三角形也非矩形分布荷載，如圖2-d所示，此荷載可由圖2-e減去圖2-b所示荷載得到。于是半地下式圓形貯液池所受各種分布荷載均可由圖2-b、圖2-c和圖2-e所示荷載進(jìn)行疊加組合得到。

在圖2-e所示沿池壁全部高度的矩形分布荷載作用下，池壁內(nèi)力計(jì)算公式可從既有文獻(xiàn)中查找。然而，在圖2-b所示沿池壁部分高度的三角形分布荷載或圖2-c所示沿池壁部分高度的矩形分布荷載作用下，池壁內(nèi)力的計(jì)算公式至今尚未見有報(bào)道。因此，筆者對圖2-b和圖2-c所示兩種基本的分布荷載作用下的池壁內(nèi)力計(jì)算公式分別進(jìn)行推導(dǎo)，求出這兩種基本的分布荷載作用下的池壁內(nèi)力后，根據(jù)疊加原理即可得到半地下式圓形貯液池在各種分布荷載作用下的池壁內(nèi)力。

2 基本微分方程及其解［7］

由于池壁厚度h遠(yuǎn)小于貯液池的半徑R，因而池壁可看成是一圓柱形薄殼。在計(jì)算池壁內(nèi)力時(shí)，假設(shè)殼體材料是各向同性的勻質(zhì)連續(xù)彈性體，于是由彈性力學(xué)方法，推導(dǎo)出圓柱殼在軸對稱荷載作用下的彈性曲面基本微分方程為：

式中，x為以圓柱殼頂端為原點(diǎn)的坐標(biāo)；w為殼體在x處的徑向位移；S為圓柱殼彈性特征值；px為殼體在x處的側(cè)向分布荷載；D為殼體抗彎剛度。

式（1）的解為：

式中：C1～C4為積分常數(shù)，根據(jù)殼體兩端的邊界條w0為式（1）的特解，取為殼體兩端自由時(shí)的徑向位，此處E為混凝土彈性模量。

3 沿池壁部分高度作用三角形分布荷載

如圖3所示沿池壁部分高度作用三角形分布荷載，當(dāng)池壁頂端附近設(shè)有天溝的圓形貯液池受到液壓作用時(shí)，即為此類情況。此時(shí)，池內(nèi)液面不與池壁頂端齊平，而是在距池壁頂端為a的位置處。

圖3 計(jì)算簡圖

1）在0≤x≤a區(qū)段，池壁未受荷載。此時(shí)px＝0，故w0＝0，于是有徑向位移：

2）在a＜x≤H－a區(qū)段，池壁受到三角形分布荷載。此時(shí)px為x的一次函數(shù)，可用池內(nèi)液體的容重γ表示，即于是同樣有：

由于池壁頂端自由、底端固定，故此時(shí)的邊界條件有：

a.x＝0處，Mx1＝0，Vx1＝0；

b.x＝a處，w1＝w2，β1＝β2，Mx1＝Mx2，Vx1＝Vx2；

c.x＝H 處，w2＝0，β2＝0。由這8個(gè)邊界條件，可求出積分常數(shù)C1～C8為：

求出8個(gè)積分常數(shù)后，將其代入式（3）～（10）中，即可求得池壁內(nèi)力為：1）0≤x≤a區(qū)段內(nèi)

2）a＜x≤H－a區(qū)段內(nèi)

將上述推導(dǎo)的沿池壁部分高度作用三角形分布荷載時(shí)的池壁內(nèi)力計(jì)算公式（11）和式（12）中的a取為0，所得公式與既有文獻(xiàn)中可查找的沿池壁全部高度作用三角形分布荷載時(shí)的池壁內(nèi)力經(jīng)典計(jì)算公式完全相同。

4 沿池壁部分高度作用矩形分布荷載

1）如圖3所示，在0≤x≤a區(qū)段內(nèi)，池壁未受荷載作用。此時(shí)的池壁位移和內(nèi)力仍可用式（3）～式（6）表示。

2）在a＜x≤H－a區(qū)段內(nèi)，池壁受到矩形分布荷載。此時(shí)，px為常數(shù)，用p表示，故是得到：

利用與上節(jié)所述相同的邊界條件求出積分常數(shù)C1～C8后，將其代入式（3）～（6）及式（13）～（16）中，即可求得池壁內(nèi)力為：

2）a＜x≤H－a區(qū)段內(nèi)

同樣，將上述推導(dǎo)的沿池壁部分高度作用矩形分布荷載時(shí)的池壁內(nèi)力計(jì)算公式（17）和式（18）中的a取為0，所得公式與既有文獻(xiàn)中可查找的沿池壁全部高度作用矩形分布荷載時(shí)的池壁內(nèi)力經(jīng)典計(jì)算公式也完全相同。

5 有限元驗(yàn)證

為驗(yàn)證所推導(dǎo)公式的正確性，現(xiàn)利用有限元分析軟件ANSYS對前述半地下式圓形曝氣池的池壁內(nèi)力進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。該曝氣池池壁頂端自由，池壁底端與底板整體澆注，因此建模時(shí)只建立池壁模型而不建立底板模型，對池壁底端的約束情況按剛性固定約束處理。由前述彈性假定，采用彈性殼單元Shell63［8］模擬池壁。在處理池壁鋼筋時(shí)，不建立鋼筋模型，而將鋼筋對池壁的作用轉(zhuǎn)化為等效荷載施加到池壁上。由于該曝氣池的對稱性，故僅建立1／8的池壁模型。該曝氣池有限元計(jì)算模型見圖4。

圖4 有限元計(jì)算模型

考慮到土壓可由上述兩種基本的分布荷載進(jìn)行疊加得到，因此以土壓作用下的池壁內(nèi)力計(jì)算為例進(jìn)行驗(yàn)證。沿池壁高度取距離池壁頂端分別為0，1，…，9m的10個(gè)計(jì)算點(diǎn)，由ANSYS計(jì)算得到池壁內(nèi)力在這10個(gè)計(jì)算點(diǎn)處的數(shù)值解，并與解析解比較，結(jié)果見表1。從表中可知，兩者符合較好，從而驗(yàn)證了推導(dǎo)的池壁內(nèi)力計(jì)算公式（11）和式（12），（17）和式（18）的正確性。

表1 土壓作用下池壁內(nèi)力的比較

6 結(jié)束語

結(jié)合某工程實(shí)例，利用彈性力學(xué)的方法，推導(dǎo)了沿池壁部分高度分別作用三角形和矩形分布荷載時(shí)半地下式圓形貯液池池壁內(nèi)力的解析表達(dá)式，現(xiàn)有文獻(xiàn)中可查找的沿池壁全部高度作用三角形或矩形分布荷載時(shí)的池壁內(nèi)力經(jīng)典計(jì)算公式作為特例含于其中。根據(jù)疊加原理可得到半地下式圓形貯液池在各種分布荷載作用下的池壁內(nèi)力。將推導(dǎo)的解析解與通過有限元分析軟件ANSYS計(jì)算求得的數(shù)值解進(jìn)行比較，結(jié)果表明兩者符合較好，從而驗(yàn)證了所推導(dǎo)解析解的正確性。

［1］ 劉健行，郭先瑚，蘇景春.給水排水工程結(jié)構(gòu)［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1994.

［2］ 尉希成.貯水構(gòu)筑物內(nèi)力分析［M］.北京：中國鐵道出版社，1986.

［3］ 賈乃文.混凝土特種結(jié)構(gòu)力學(xué)分析與設(shè)計(jì)計(jì)算［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1993.

［4］ GB 50069－2002.給水排水工程構(gòu)筑物設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2002.

［5］ CECS 138：2002.給水排水工程鋼筋混凝土水池結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)程［S］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，2002.

［6］ 杜毛毛.半地下式預(yù)應(yīng)力圓形水池池壁內(nèi)力分析及預(yù)應(yīng)力分布研究［D］.長沙：中南大學(xué)，2006.

［7］ 朱彥鵬.特種結(jié)構(gòu)［M］.武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2008.

［8］ 王新敏.ANSYS結(jié)構(gòu)分析單元與應(yīng)用［M］.北京：人民交通出版社，2011.