李園園

（華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 102206）

物理與工程技術(shù)研究

工程常用湍流模式簡(jiǎn)介

李園園

（華北電力大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，北京 102206）

總結(jié)了以往工程中常用的一些典型的湍流模式，分析了這些模式各自的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍，其中遲豫模型是一種具有一定普適性的新的湍流遷移模型。

湍流模式；雷諾方程；簡(jiǎn)介

湍流的研究可以追溯到O. Reynolds提出湍流統(tǒng)計(jì)平均方法，至今已有一個(gè)多世紀(jì)了。在這期間，科學(xué)家們一直沒有間斷過對(duì)湍流在理論與實(shí)驗(yàn)上的探索，使得人類從對(duì)其現(xiàn)象的簡(jiǎn)單認(rèn)識(shí)，過渡到對(duì)湍流本質(zhì)的深入認(rèn)識(shí)。但由于其存在有結(jié)構(gòu)的多尺度不規(guī)則的非常復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，并且它普遍存在于自然界和工程應(yīng)用中，因而成為當(dāng)今一個(gè)具有迫切性的科學(xué)難題。

求解Navier-Stokes方程是解決湍流問題的關(guān)鍵，因?yàn)樗枋隽送牧鞯幕疚锢硇再|(zhì)。如果直接求解這個(gè)方程，對(duì)于工程中復(fù)雜的湍流問題，需要的計(jì)算量很大，計(jì)算機(jī)還沒有足夠的容量和速度來完成這樣的計(jì)算。因此在解決高雷諾數(shù)的實(shí)際工程湍流問題時(shí)，一般以Reynolds平均運(yùn)動(dòng)方程與脈動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程為理論基礎(chǔ)，并借助經(jīng)驗(yàn)引入實(shí)用的湍流模型假設(shè)，從而得出一組描寫湍流平均量的封閉方程，這種理論方法被稱作湍流模式。

現(xiàn)存的湍流模式基本上還不具備普適性，不能夠描述各種復(fù)雜湍流運(yùn)動(dòng)。但是對(duì)某一具體的工程湍流問題，若選擇合適的湍流模式，也能得到具有準(zhǔn)確性與可靠性的結(jié)果?，F(xiàn)存的湍流模式有渦黏性模式，其中包括零方程模式，半方程模式，雙方程模式；還有二階矩封閉模式，其中包括雷諾微分應(yīng)力模式和代數(shù)應(yīng)力模式。一種經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)認(rèn)證的新的湍流遷移模式——遲豫模型將Tτ和qT歸結(jié)到一組封閉的遲豫方程組中[1,p2]，因而具有一定的普適性。

1 湍流渦粘模式

1.1 零方程模式

B-L代數(shù)渦粘模式[2]是工程上廣泛應(yīng)用的零方程模式。B-L模式多用于湍流邊界層，并有內(nèi)外之分。零方程模式中，除了B-L模式，還有其改進(jìn)模式[3]，Cebeci-Smith[4]，Johnson-King[5]和Wilcox[6]等提出的模式。這類模式常用于具有中等程度的壓力梯度的二維帶可壓縮流以及存在輕微橫向流的三維邊界層[7]。

1.2 一方程模式

通過補(bǔ)充湍流動(dòng)能方程，封閉了湍流動(dòng)量方程和連續(xù)方程的方法為一方程模式，其中的渦粘性與湍能被Kolmogorov及Prandtl提出的關(guān)系式聯(lián)系了起來，而湍能則通過模化后的湍流動(dòng)能方程來確定，如式(1)所示。

其中C0=0.15，Prt=1。Bradshaw等在二維邊界層計(jì)算中提出了一種直接將雷諾應(yīng)力與湍能聯(lián)系起來的一方程模式[8]，而放棄了渦粘性假設(shè)。20世紀(jì)初，B-B，S-A模式曾被廣泛采用[9]。一方程模式由于簡(jiǎn)單和省時(shí)，所以在工程中仍常被采用。

1.3 雙方程模式

典型的雙方程模式——k-ε模式將渦粘系數(shù)和湍動(dòng)能及湍動(dòng)能耗散聯(lián)系在一起，渦粘系數(shù)可寫成式(2)：

在k-ε模式中，k和ε則分別由它們的輸運(yùn)方程給出。

在此標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模式基礎(chǔ)上又發(fā)展了非線性k-ε模式[10]。其中有Spezialer的非線性k-ε模式[11]以及重整化群k-ε模式[12]。非線性k-ε模式是各向異性模型，以方管湍流為算例，它能夠預(yù)測(cè)到方管湍流中的平均二次流。在工程中，雙方程模式由于計(jì)算經(jīng)濟(jì)性及一定的精度，被廣泛應(yīng)用。

2 二階矩封閉模式

2.1 雷諾微分應(yīng)力模式

在雷諾微分應(yīng)力模式中，Launder，Reece和Rodi[13]提出用式(3)作為再分配項(xiàng)

此模式包含流線曲率、旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)等雷諾應(yīng)力發(fā)展過程，因此它對(duì)復(fù)雜湍流有較好的預(yù)測(cè)性。

2.2 代數(shù)應(yīng)力模式

為了二階矩模式需要的計(jì)算機(jī)內(nèi)存和計(jì)算時(shí)間。Rodi[14]提出一個(gè)簡(jiǎn)化的雷諾應(yīng)力模式，即代數(shù)應(yīng)力模式。因此在準(zhǔn)平衡的三維定常湍流的預(yù)測(cè)方面，代數(shù)應(yīng)力模式比k-ε好。

3 湍流遷移模型

勃波夫教授和瓦盧耶娃教授為了準(zhǔn)確地考慮不穩(wěn)定性對(duì)湍流遷移的影響，必須建立一個(gè)新的湍流遷移模型，這種模型把不穩(wěn)定對(duì)湍流遷移的影響考慮為對(duì)湍動(dòng)應(yīng)力Tτ，湍動(dòng)熱流密度Tq，以及湍動(dòng)粘滯系數(shù)τε的遲豫方程組，并把它稱為遲豫模型。

在波動(dòng)的情況下，計(jì)算湍動(dòng)應(yīng)力Tτ、湍動(dòng)熱流密度Tq和湍動(dòng)粘滯系數(shù)τε的遲豫方程采用下列形式[1,p2]：

qp、εp和τp分別為各自相應(yīng)的等價(jià)量，tT為湍流的特征時(shí)間尺度，cε、cq、cτ和εq為遲豫系數(shù)，湍動(dòng)普朗特?cái)?shù)Prt取0.9。

Tτ、Tq和τε的變化要遲緩于各自的瞬時(shí)值。他們利用此模型描述了單調(diào)變化或周期變化的流量隨時(shí)間變化的情形，并計(jì)算出溫度、對(duì)流換熱系數(shù)、速度及阻力系數(shù)的分布情況，所有計(jì)算結(jié)果很好地吻合了現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。隨后，陳雷[1,p3]用此模型分別對(duì)水和空氣在加速流與減速流時(shí)的對(duì)流換熱進(jìn)行了數(shù)值模擬，也較好地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合。因此可以認(rèn)為這種模型具有一定的普適性，有可能成為以后湍流模式發(fā)展的主流。

4 結(jié)束語(yǔ)

湍流模式在工程中發(fā)揮著重要的作用，每一種模式都不能適用于所有的湍流運(yùn)動(dòng)。對(duì)此問題，國(guó)際上也曾試圖通過直接數(shù)值模擬來解決所有湍流的問題，但最終受限于計(jì)算機(jī)的容量與速度。即使在未來實(shí)現(xiàn)了直接數(shù)值模擬，工程師們?nèi)匀恍枰焖倬_解決問題的湍流模式。

因此現(xiàn)有的湍流模式發(fā)展和完善方向應(yīng)該是推進(jìn)和實(shí)現(xiàn)它的普適性。針對(duì)這一點(diǎn)，也曾有過幾種實(shí)現(xiàn)的思想。例如有一種是高層次的封閉模式，而實(shí)踐結(jié)果卻是產(chǎn)生更多不確定因素，因此適應(yīng)性未必更廣。還有一種是改進(jìn)含有較多湍流脈動(dòng)結(jié)構(gòu)信息的統(tǒng)計(jì)模式[15]，擴(kuò)大其適應(yīng)面。遲豫模型被證實(shí)具有一定的普適性。

[1]陳雷.利用湍流遷移模型對(duì)變物性流體在非定常流時(shí)對(duì)流換熱實(shí)驗(yàn)結(jié)果的研究.中國(guó)工程熱物理學(xué)會(huì)學(xué)術(shù)會(huì)議論文[A].

[2]Baldwin B S, Lomax H. Thin layer approximation and algebraic model for separated turbulent flows[A]. American Institute of Aeronautics and Astronautics Meeting Papers[C]. 1978: 78-257.

[3]Baldwin B S, Barth T J. A one equation turbulence transport model for high Reynolds number wall bounded flows[A]. The American Institute of Aeronautics and Astronautics Meeting Papers[C]. 1991: 91-0610.

[4]Cebeci T, Smith A M O. Analysis of turbulent boundary layers[M]. McGraw-Hill, 1974.

[5]Johnson D A, King L S. A mathematically simple turbulence closure model for attached and separated turbulent boundary layers[J]. The American Institute of Aero-nautics and Astronautics Journal, 1985, 23: 1684-1692.

[6]Wilcox D C. Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models[J]. The American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal. 1988, 26: 1299-1310.

[7]Lakshminarayana B. An assessment of computational fluid dynamic techniques in the analysis and design of turbomachinery- the 1990 freeman scholar lecture[J].

-60-Journal of Fluids Engineering, 1991, 113: 315-352.

[8]Bradshaw P, Ferriss D H, Atwell N P. Calculation of boundary layer development using the turbulent energy equation[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1967, 28(3): 593-616.

[9]Baldwin B S, Barth T J. A one-equation turbulence model for high Reynolds number wall bounded flows[A]. National Aeronautics and Space Administration Technical Memorandum -102847[C]. 1990: 1-30.

[10]Speziale C G, Ngo T. Numerical solution of turbulent flow past a backwards-facing step using a nonlinear k-ε model[J]. International Journal of Engineering Science, 1988, 26: 1099.

[11]Speziale C G. Analytical methods for the development of Reynolds-stress closures in turbulence[J]. Annual Review of Fluid Mechanics, 1991, 23: 107-157.

[12]Yakhot V, Orszag S A. Renormalization group analysis of turbulence. I. Basic theory[J]. Journal of Science Computation, 1986, 1(1): 3-51.

[13]Launder B E, Reece G J, Rodi W. Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1975, 68: 537-566.

[14]Rodi W. A new algebraic relation for calculating Reynolds stresses[J]. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 1976, 56: T219-T221.

[15]張兆順,崔桂香,許春曉.湍流理論與模擬[M].北京:清華大學(xué)出版社,2005.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：孫海祥）

Brief Introduction of Turbulent Models Commonly Used in Engineering

LI Yuan-yuan
(School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Typical turbulent models usually used in the engineering are summarized. The advantages and disadvantages and applicable scope of these models have been analyzed. Among them tardy model is a new turbulent migration model with a certain universal.

turbulent model; Reynold equation; brief introduction

O357.5

A

1009-9115(2012)05-0058-03

2012-06-20

李園園（1988-），女，陜西富平人，碩士研究生，研究方向?yàn)榱黧w力學(xué)及傳熱。