高 準(zhǔn),屈孝池,張?zhí)煨?,楊朋軍,?靖
(中國(guó)航天科技集團(tuán)公司 第十六研究所,西安 710100)
慣性平臺(tái)是集機(jī)、電、光為一體的復(fù)雜精密導(dǎo)航設(shè)備[1]。慣性平臺(tái)失穩(wěn)倒臺(tái)是各種類型慣性平臺(tái)的常見故障。當(dāng)慣性平臺(tái)穩(wěn)定回路的某一環(huán)節(jié)發(fā)生故障時(shí),會(huì)使慣性平臺(tái)不能穩(wěn)定在慣性空間,即平臺(tái)失穩(wěn),引起倒臺(tái)。失穩(wěn)倒臺(tái)發(fā)生后,會(huì)使平臺(tái)失效,飛行任務(wù)失敗。
本文基于Hertz接觸力模型建立慣性內(nèi)框架組件倒臺(tái)時(shí)的數(shù)學(xué)動(dòng)力學(xué)模型。之后使用Ansys Workbench仿真軟件,計(jì)算出在倒臺(tái)過(guò)程中擋塊的應(yīng)力分布云圖。將Ansys Workbench仿真結(jié)果與所建立的數(shù)學(xué)模型相比較,證明了所建立的動(dòng)力學(xué)模型以及各項(xiàng)分析的正確性[2]。
圖1 內(nèi)框示架組件受力示意圖Fig.1 Sketch map of the force about inner gimbal component
內(nèi)框架組件與橡膠擋塊的碰撞受力如圖1所示:其中Fx(t),F(xiàn)y(t)為外框架施加給內(nèi)框架轉(zhuǎn)軸的力,F(xiàn)為內(nèi)框架與橡膠擋塊碰撞產(chǎn)生的力。假設(shè)一開始內(nèi)框架為豎直,由所建立的模型可知內(nèi)框架逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)45°后與安裝在外框架的橡膠擋塊發(fā)生碰撞。該型號(hào)內(nèi)框架組件繞其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz=2.55×105g·cm2,內(nèi)框架組件失穩(wěn)倒臺(tái)時(shí)力矩電機(jī)施加的力矩為M=0.9 N·m,可以計(jì)算出內(nèi)框架組件倒臺(tái)后與橡膠擋塊碰撞前一瞬間內(nèi)框架的角速度為:
在對(duì)內(nèi)框架倒臺(tái)進(jìn)行力學(xué)分析時(shí),根據(jù)Hertz接觸模型,可以假設(shè)內(nèi)框架擋塊的材料即橡膠擋塊性質(zhì)符合圖2中的彈簧-阻尼器力學(xué)模型。其剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)分別記為k和c[3,5]。記t=0為碰撞開始時(shí)刻。
圖2 橡膠擋塊等效為彈簧-阻尼器模型Fig.2 View rubber obstructive block as spring-damp model
碰撞時(shí)內(nèi)框架組件逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),F(xiàn)1為彈力,F(xiàn)2為阻尼力,方向如圖2所示。可得:F=F1+F2。在碰撞發(fā)生前一時(shí)刻,內(nèi)框架的轉(zhuǎn)速為ω(0),在碰撞發(fā)生t時(shí)刻后設(shè)內(nèi)框架的轉(zhuǎn)速為ω(t),簡(jiǎn)記為ω。所以在該瞬時(shí),由Hertz彈性接觸理論得到內(nèi)框架所受的碰撞力F=k δ+c。其中 δ為橡膠擋塊的變形量,為橡膠擋塊的變形速度,則根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)系及所建立的模型有:
式中:0.035為內(nèi)框架轉(zhuǎn)軸與碰撞點(diǎn)的距離,如圖1所示。
式中:常數(shù)k稱為Hertz剛度系數(shù),它與接觸面的材料性質(zhì)、接觸面的曲率半徑有關(guān);c為阻尼系數(shù),完整的表達(dá)式為c=c(δ),是關(guān)于橡膠形變量δ的變量。為了分析內(nèi)框架角速度的變化,需要分別討論這兩項(xiàng)系數(shù)。
查閱相關(guān)手冊(cè)[6]可得 Hertz剛度系數(shù)其中R,R為兩碰撞物接觸12處的曲率半徑;為材料參數(shù),定義為,式中μi為泊松比、Ei為彈性模量。最后根據(jù)該型號(hào)慣性平臺(tái)的實(shí)際情況,將兩碰撞物的材料代入剛度系數(shù)k的表達(dá)式,得內(nèi)框架組件與擋塊的接觸剛度系數(shù)k=1.2425×107N/m。
阻尼系數(shù)c(δ)=λδ,其中λ稱為滯后阻尼系數(shù),em為碰撞恢復(fù)系數(shù),則根據(jù)能量損失和經(jīng)驗(yàn)公式[7]可得:
可以看到阻尼系數(shù) c(δ)為隨著形變?chǔ)母淖兊牧?。考慮到形變?chǔ)牡闹递^小及后續(xù)求解的簡(jiǎn)便性,可以近似認(rèn)為阻尼系數(shù)c(δ)不變,且為減少誤差可令其中δm為壓縮階段彈簧-阻尼力學(xué)模型的最大壓縮量。根據(jù)能量轉(zhuǎn)化的關(guān)系,可以計(jì)算出δm=ω(0)·ω(0),,k均為已知量,則可知。通過(guò)使用仿真工具Ansys Workbench的計(jì)算,得到的平均碰撞恢復(fù)系數(shù)是 em=0.57,最終可得阻尼系數(shù) c(δ)=4071.6。
在內(nèi)框架組件與橡膠擋塊發(fā)生碰撞的前一瞬間,內(nèi)框架組件的角速度ω(0)=7.44 rad/s;此時(shí)開始產(chǎn)生碰撞力,而且碰撞力是由彈簧-阻尼器力學(xué)模型中的阻尼器施加給內(nèi)框架組件的,該阻尼力只與橡膠擋塊的形變速度有關(guān),即ω(0)Iz=-0.0352c ω(0)。以上兩個(gè)條件作為式(2)的邊界條件。而剛度系數(shù)k,阻尼系數(shù)c為常數(shù),代入內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz的值,令,因此式(2)為二階常系數(shù)奇數(shù)線性微分方程組。所以列寫微分方程的特征方程,并且設(shè)r為特征方程的根得:
得內(nèi)框架組件的角速度表達(dá)式為:
還可得在任意時(shí)刻的碰撞力為:
根據(jù)式(5)、式(6)計(jì)算出內(nèi)框架的角速度、碰撞力變化情況,結(jié)果如圖3所示:
可以看到,一開始碰撞力隨著時(shí)間的延長(zhǎng)而增大,這是因?yàn)樵谙鹉z壓縮階段,橡膠的形變量越大,彈力越大,在0.001604 s時(shí),橡膠的彈力達(dá)到最大值為3522 N。而過(guò)了碰撞力最大值后,碰撞力逐漸變小,這是因?yàn)橄鹉z的形變減小,使得碰撞力變小。大約在0.00376 s時(shí),碰撞力最小,可以預(yù)見此時(shí)內(nèi)框架組件與橡膠檔釘不再接觸。
圖3 內(nèi)框架組件碰撞力變化過(guò)程Fig.3 The change process of inner gimbal component force because of impact
圖4 內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)速與時(shí)間段關(guān)系Fig.4 The change process of inner gimbal component rotate speed because of impact
圖4為內(nèi)框架組件的角速度變化曲線。在碰撞發(fā)生的一瞬間,內(nèi)框架組件的角速度通過(guò)理論計(jì)算為:ω(0)=7.44 rad/s(在此規(guī)定角速度與力矩逆時(shí)針為正)。所以從圖可知,一開始內(nèi)框架組件逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),碰撞之后速度開始變小,直至變?yōu)榱?。在碰撞力的最大處,?nèi)框架組件的角速度最小。由于還存在碰撞力,且碰撞力產(chǎn)生的力矩為順時(shí)針,所以內(nèi)框架組件的角速度開始為負(fù),并順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。外框架組件最終的轉(zhuǎn)速為ω末=5.14 rad/s,這是因?yàn)闆](méi)有發(fā)生完全彈性碰撞,在碰撞點(diǎn)有能量的損失,所以最終的角速度小于發(fā)生碰撞一瞬間時(shí)的角速度。角速度最小的時(shí)間是0.00373 s,碰撞力的最小時(shí)間是0.00376 s,誤差為0.5%。
本文利用Pro/ENGINEER軟件構(gòu)造出慣性平臺(tái)外框架與內(nèi)框架組件的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)。通過(guò)軟件的測(cè)量功能來(lái)得到簡(jiǎn)化的內(nèi)框架組件的質(zhì)量和繞內(nèi)框架組件轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,通過(guò)調(diào)節(jié)內(nèi)框架組件的密度保證最終得到的簡(jiǎn)化與實(shí)物的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相同。圖5為系統(tǒng)的內(nèi)框架組件簡(jiǎn)圖和有限元模型。
根據(jù)該型號(hào)慣性平臺(tái)的實(shí)際情況,內(nèi)框架組件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:Iz=2.55×105g·cm2,根據(jù)三維建模軟件,令簡(jiǎn)化的內(nèi)框架組件密度為 ρ=2.933×104kg/cm3。在Ansys Workbench里,輸入三個(gè)零件的材料參數(shù)。根據(jù)實(shí)際倒臺(tái)時(shí)的情況,施加約束條件和力矩,進(jìn)行仿真計(jì)算。
圖5 內(nèi)框架組件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖及其有限元模型Fig.5 Structure and FEM of inner gimbal component
設(shè)置好上述材料、載荷等參數(shù)之后進(jìn)行計(jì)算,橡膠擋塊的碰撞應(yīng)力變化以及應(yīng)力云圖分布如圖6所示。
圖6 有限元分析碰撞力的變化及云圖分布Fig.6 The distributing of inner gimbal component force by FEM
從圖中可以看出:在t=0.21784 s時(shí),碰撞開始;在t=0.2195 s時(shí),碰撞應(yīng)力達(dá)到最大,為32.06 MPa;在t=0.2218 s時(shí),碰撞結(jié)束??偟呐鲎矔r(shí)間為:t=0.004。與所建立模型相比,時(shí)間誤差為8%。滿足工程中小于10%的要求。
由圖還可以看出:碰撞面最大應(yīng)力為32.06 MPa,根據(jù)仿真情況,劃分單元格時(shí)的長(zhǎng)度為5mm,所以根據(jù)圖6(b)可估算出,碰撞面積約為100mm2,碰撞力為:
模型的碰撞力為3522 N,兩者的誤差為9%,符合工程中小于10%的要求。
本文基于Hertz接觸力模型,建立內(nèi)框架組件倒臺(tái)動(dòng)力學(xué)模型,全面分析了內(nèi)框架倒臺(tái)時(shí)候的碰撞力和角速度變化過(guò)程。并通過(guò)仿真軟件,輸入倒臺(tái)時(shí)內(nèi)框架的各項(xiàng)物理參數(shù)、邊界條件以及所受的外部載荷。通過(guò)仿真,證明了使用Hertz接觸力模型是可以求取內(nèi)框架倒臺(tái)時(shí)候的碰撞力,并且誤差滿足工程要求,為后續(xù)的平臺(tái)設(shè)計(jì)提供了重要的參考。
[1]鐘萬(wàn)登.液浮慣性器件[M].北京:宇航出版社,1994:220-222.
[2]楊朋軍,王 卿,王佳民,等.慣性平臺(tái)臺(tái)體組件動(dòng)態(tài)分析及臺(tái)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[J].戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈控制技術(shù),2005,(1):54-58.YANG Peng-jun,WANG Qing,WANG Jia-min,et al.Inertial platform component dynamic analysis and platform structure optimal design[J].Control Tecnology of Tactical Missile,2005(1):54-58.
[3]金東平,胡海巖.碰撞振動(dòng)與控制[M].北京:科學(xué)出版社,2005:29-40.
[4]孫德偉,張廣玉.橡膠隔振器遲滯阻尼特性識(shí)別的新方法[J].振動(dòng)與沖擊,2010,29(4):164 -168.SUN De-wei,ZHANG Guang-yu.A new approach to identify hysteretic damping of a rubber isolator[J].Journal of Vibration and Shock,2010,29(4):164 -168.
[5]韓德寶,宋希庚.橡膠隔振器剛度和阻尼本構(gòu)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)研究[J].振動(dòng)與沖擊,2009,28(1):156 -157.HAN De-bao,SONG Xi-geng. Experimentalstudy on constitutive model for damping and stiffness of a rubber isolator[J].Journal of Vibration and Shock,2009,28(1):156 -157.
[6]徐 灝.機(jī)械設(shè)計(jì)手冊(cè)[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1991:275-285.
[7]和興鎖.理論力學(xué)-高等動(dòng)力學(xué)[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,2001:7-9.