唐 煒，包 斌，喬 倩

(西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，西安710072)

測(cè)量結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)是模態(tài)實(shí)驗(yàn)的重要內(nèi)容，現(xiàn)有大多數(shù)頻域模態(tài)識(shí)別方法多以頻響函數(shù)為基礎(chǔ)，其準(zhǔn)確程度直接影響了識(shí)別結(jié)果。但是，在某些場(chǎng)合下，當(dāng)采用人工激勵(lì)進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)時(shí)，還不可避免會(huì)受到自然環(huán)境激勵(lì)的影響。例如，飛行中的飛機(jī)在進(jìn)行顫振試飛時(shí)還會(huì)受到大氣紊流的激勵(lì)，在這類情況下，不可測(cè)的自然激勵(lì)引起的結(jié)構(gòu)響應(yīng)將作為噪聲被包含在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中，嚴(yán)重降低實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的品質(zhì)，進(jìn)而引起頻響函數(shù)估值不準(zhǔn)。因此，研究大噪聲下頻響函數(shù)測(cè)量[1－3]是一個(gè)頗為重要的問題。

目前國(guó)內(nèi)外已有多篇文獻(xiàn)涉及該領(lǐng)域研究[4－7]，它們均將采用掃頻信號(hào)作為激勵(lì)源，進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)。其目的是利用掃頻信號(hào)聚焦于時(shí)頻域特定區(qū)域，而噪聲則廣泛分布于整個(gè)域內(nèi)的特性，實(shí)現(xiàn)信噪分離。其中，文獻(xiàn)[5]最早提出了采用小波時(shí)頻分析進(jìn)行去噪處理，并成功應(yīng)用于美國(guó)F－18試驗(yàn)機(jī)的顫振試飛數(shù)據(jù)處理。受此啟發(fā)，基于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，作者曾提出了一種廣義時(shí)頻濾波算法[6]，相比于文獻(xiàn)[5]中采用的小波方法，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換能夠更加有效的去除噪聲。但是該方法是針對(duì)實(shí)數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，在分?jǐn)?shù)階傅立葉域內(nèi)易發(fā)生混疊，一定程度上影響了該方法的去噪效果。

為此，本文在文獻(xiàn)[6]基礎(chǔ)上，提出了一種大噪聲環(huán)境下頻響函數(shù)測(cè)量的改進(jìn)方法。其不同之處在于，運(yùn)用兩次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)造了“虛擬”的復(fù)數(shù)掃頻信號(hào)，可以避免采用實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換時(shí)易發(fā)生的混疊問題，進(jìn)一步提高去噪效果和頻響函數(shù)的測(cè)量精度。

1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，作為傅里葉變換的廣義形式，信號(hào)的FRFT[8－10]可以解釋為將信號(hào)的坐標(biāo)軸在時(shí)頻平面上繞原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。如圖1所示，信號(hào)的傅里葉變換可看成將其由時(shí)間軸上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/2后到頻率軸上的表示。則p階的FRFT可以視為將信號(hào)在時(shí)間軸上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α(α=pπ/2)到u軸的表示(u軸為分?jǐn)?shù)階傅里葉域)，因此，可將FRFT看作由變換矩陣定義的線性變換:

圖1 分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的時(shí)頻域旋轉(zhuǎn)表示

從本質(zhì)上講，信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域上的表示，同時(shí)融合了信號(hào)在時(shí)域和頻域的信息，因此，F(xiàn)RFT被認(rèn)為是一種廣義時(shí)頻分析方法。信號(hào)x(t)的p階傅里葉變換可定義[9－10]為

其中分?jǐn)?shù)階傅立葉變換核為:

式中Fp為分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的算子符號(hào)，p為分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的階，可以為任意實(shí)數(shù)，α=pπ/2，n為整數(shù)。

信號(hào)s(t)的分?jǐn)?shù)階傅立葉逆變換為

分?jǐn)?shù)階傅立葉變換可將信號(hào)可以分解為一組chirp基的線性組合，而時(shí)域、頻域都可視為分?jǐn)?shù)階傅里葉域的特例。因此，分?jǐn)?shù)階傅立葉變換最適合處理線性掃頻信號(hào)。

2 結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)測(cè)量

2.1 廣義時(shí)頻濾波

觀察式(3)可發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階 Fourier變換核[11－12]Kp(t，u)實(shí)質(zhì)是一組調(diào)頻率為 cotα(α=π/2)的 chirp信號(hào)，其初始頻率為－ucscα，其復(fù)包絡(luò)為，通過(guò)改變旋轉(zhuǎn)角度α便可得到不同調(diào)頻率的基。如圖2所示，假定線性掃頻信號(hào)復(fù)數(shù)解析形式為 x(t)=A(t)ej2π(f0t+rt2/2)，則當(dāng)滿足 α=β+π/2 時(shí)(β為線性掃頻信號(hào)的時(shí)頻分布與時(shí)間軸的夾角，r=tanβ)，掃頻信號(hào)的時(shí)頻分布將在分?jǐn)?shù)階傅里葉域內(nèi)形成一個(gè)σ函數(shù)，證明過(guò)程可參見文獻(xiàn)[6，13]。

圖2 線性掃頻信號(hào)的分?jǐn)?shù)階Fourier域的帶通濾波

顯然，當(dāng)α與β滿足正交條件時(shí)，會(huì)在分?jǐn)?shù)階Fourier域內(nèi)形成一個(gè)δ函數(shù)，即真實(shí)線性掃頻信號(hào)的主要能量將集中于u域內(nèi)某一點(diǎn)附近，而噪聲則分布在整個(gè)u域內(nèi)。利用這一特性便可以在分?jǐn)?shù)階Fourier域內(nèi)進(jìn)行濾波去噪，這正是我們利用分?jǐn)?shù)階傅立葉變換濾波去噪的基礎(chǔ)。

基于上述原理，文獻(xiàn)[6]提出了一種廣義時(shí)頻濾波算法，并利用去噪后的數(shù)據(jù)估計(jì)結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)。但是需要指出的是:該文所設(shè)計(jì)的激勵(lì)信號(hào)及響應(yīng)信號(hào)均為實(shí)數(shù)線性掃頻信號(hào)，其基本形式可以表示為:

式中A為幅值，f0為掃頻起始頻率，r為調(diào)頻率。為便于理解，通常將實(shí)數(shù)信號(hào)表示為兩個(gè)復(fù)數(shù)線性掃頻信號(hào)的疊加:

因此，在對(duì)實(shí)數(shù)線性掃頻信號(hào)進(jìn)行濾波處理時(shí)，需要分別提取這兩個(gè)分量，也就是說(shuō)一般需要進(jìn)行兩次分?jǐn)?shù)階傅立葉域內(nèi)的濾波，才能重構(gòu)真實(shí)信號(hào)。但是，如圖3所示，上述兩種信號(hào)成分在分?jǐn)?shù)階傅立葉域內(nèi)會(huì)產(chǎn)生一定的重疊，這就為信號(hào)成分的有效區(qū)分造成了困難。正是這種缺陷的存在，為算法的進(jìn)一步改進(jìn)提供了可能。

圖3 實(shí)數(shù)掃頻信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換結(jié)果

2.2 廣義時(shí)頻濾波改進(jìn)方法

鑒于原有方法的缺點(diǎn)，本文提出了一種新的改進(jìn)方法。該方法仍然沿用了分?jǐn)?shù)階傅里葉域內(nèi)的去噪思路，所不同的是新方法并未直接對(duì)實(shí)數(shù)信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，而是構(gòu)造了“虛擬”的復(fù)數(shù)線性掃頻信號(hào)進(jìn)行處理，避免了原方法存在的信號(hào)成分混疊的缺陷。其基本思路如下:

(1)首先，設(shè)計(jì)了兩組模態(tài)實(shí)驗(yàn)，即分別采用cos和sin兩種線性掃頻信號(hào)激勵(lì)被測(cè)結(jié)構(gòu)，它們的數(shù)學(xué)形式為:

(2)假設(shè)結(jié)構(gòu)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為h(t)，則在上述激勵(lì)下，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，如加速度可分別表示為:

(3)若將兩次實(shí)驗(yàn)的激勵(lì)信號(hào)組合成如下復(fù)數(shù)形式:

則輸出加速度信號(hào)也可表示成復(fù)數(shù)形式:

顯然，當(dāng)被測(cè)對(duì)象簡(jiǎn)化為線性結(jié)構(gòu)時(shí)，y(t)可用線性掃頻信號(hào)的復(fù)數(shù)解析形式表示。若對(duì)其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變化，結(jié)果如圖4所示，可以觀察到u域內(nèi)只存在由σ函數(shù)引起的窄帶尖峰區(qū)域，不會(huì)產(chǎn)生重疊問題。因此，該方法可以進(jìn)一步提高去噪效果。同時(shí)，由于它將兩組實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)表達(dá)為一組復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)，只需一次FRFT變化即可實(shí)現(xiàn)兩組數(shù)據(jù)去噪，提高了運(yùn)算速度。

圖4 復(fù)數(shù)掃頻信號(hào)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換結(jié)果

若將去噪后的復(fù)數(shù)響應(yīng)信號(hào)用y'(t)表示，則其實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)cos，sin掃頻激勵(lì)下的響應(yīng)信號(hào)去噪結(jié)果。繼而，可以選用H1估計(jì)獲取頻響函數(shù)在上述的基礎(chǔ)上，下面將給出方法步驟，其方法流程圖如圖5所示。

圖5 改進(jìn)方法流程圖

(1)用cos，sin兩種線性掃頻輸入信號(hào)分別做單輸入單輸出實(shí)驗(yàn)。

(2)將cos和sin兩種激勵(lì)下產(chǎn)生的兩組實(shí)數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整合成一組復(fù)數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。對(duì)復(fù)數(shù)輸入、輸出數(shù)據(jù)分別進(jìn)行p階分?jǐn)?shù)階傅里葉變換:

(3)再利用復(fù)數(shù)輸入數(shù)據(jù)的分?jǐn)?shù)階傅立葉譜在分?jǐn)?shù)階傅立葉域內(nèi)設(shè)計(jì)窄帶濾波器D(u)，其形式為

式中c為閾值，一般根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可取c=max(X(u))·0.5%。

(4)采用窄帶濾波器D(u)在分?jǐn)?shù)階傅立葉域內(nèi)濾波，提取復(fù)數(shù)輸出數(shù)據(jù)的主能量譜:

(5)利用兩組去噪后的實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)，結(jié)合H1方法，估計(jì)振動(dòng)結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù):

式中Sx1x1(ω)，Sx2x2(ω)為輸入實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)的自功率譜密度矩陣，Sy'1x1(ω)，Sy'2x2(ω)為輸入、輸出實(shí)數(shù)數(shù)據(jù)的互功率譜密度矩陣。取兩次估計(jì)結(jié)果的平均值，獲得最終的頻響函數(shù)測(cè)量值:

3 仿真與應(yīng)用

3.1 仿真算例

構(gòu)造如下含有2個(gè)模態(tài)的振動(dòng)仿真系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，

其中，f1=10，f2=11.3，ξ1=0.035，ξ2=0.04。仿真產(chǎn)生cos、sin線性掃頻激勵(lì)信號(hào)，掃頻范圍為5 Hz～25 Hz。采樣率為256 Hz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為5 120。同時(shí)為模擬大噪聲環(huán)境，在系統(tǒng)的輸入端添加了不可測(cè)的白噪聲，其噪聲方差為0.02;在系統(tǒng)的輸出端也添加了白噪聲，其噪聲方差為0.002。系統(tǒng)的離散響應(yīng)輸出信號(hào)如圖6(b)，7(b)所示。

圖6 正弦線性掃頻輸出信號(hào)去噪前后對(duì)比

圖7 余弦線性掃頻輸出信號(hào)

將去噪后的復(fù)數(shù)響應(yīng)信號(hào)改寫成實(shí)數(shù)信號(hào)的形式，并與真實(shí)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6、7所示。由圖可見，去除了大量響應(yīng)信號(hào)中包含的噪聲，濾波效果理想。濾波前后輸出響應(yīng)信號(hào)的信噪比由3.2 dB提高到33.4 dB。圖8比較了頻率響應(yīng)函數(shù)的測(cè)量值與真實(shí)值的幅值和相角曲線，測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值吻合的較好，尤其在模態(tài)頻率附近具有較高的精度。

圖8 頻響函數(shù)測(cè)量值與真實(shí)值比較

3.2 應(yīng)用實(shí)例

本文設(shè)計(jì)了壓電智能懸臂梁振動(dòng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提改進(jìn)方法的有效性。實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖9所示。由信號(hào)發(fā)生器分別生成cos、sin線性掃頻信號(hào)，驅(qū)動(dòng)懸臂梁根部壓電陶瓷片(Mide QP16N)進(jìn)行激振，掃頻信號(hào)峰峰值為10 V，掃描時(shí)間100 s，掃頻范圍為1 μz～100 Hz。數(shù)據(jù)采樣頻率為500 Hz，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度50 000。

圖9 壓電懸臂梁實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

為模擬工況下的環(huán)境激勵(lì)，由信號(hào)發(fā)生器生成白噪聲信號(hào)驅(qū)動(dòng)懸臂梁端部的另一個(gè)壓電陶瓷片，這里分別選取噪聲方差 σ=0.1，0.01，0.001 進(jìn)行三組實(shí)驗(yàn)。同時(shí)，為便于比較效果，在未施加白噪聲的情況下，另進(jìn)行了10組實(shí)驗(yàn)，并取10組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中輸出信號(hào)的平均值作為真實(shí)輸出的參考值;取10組數(shù)據(jù)分別估計(jì)的頻響函數(shù)的均值作為真實(shí)頻響函數(shù)的參考值。

圖10給出了cos線性掃頻激勵(lì)下，噪聲方差為0.1時(shí)，參考響應(yīng)信號(hào)、含噪響應(yīng)信號(hào)和去噪后響應(yīng)信號(hào)的對(duì)比圖。從圖中可知，真實(shí)信號(hào)幾乎被噪聲淹沒，而采用本文所提方法進(jìn)行去噪，可以顯著提高信噪比，獲得與真實(shí)信號(hào)接近的去噪信號(hào)。

本文選取SNR，Maxe，Rms三個(gè)量衡量新舊方法的優(yōu)劣，其中SNR為信噪比，Maxe表示頻響函數(shù)的最大偏差絕對(duì)值，Rms指頻響函數(shù)的平方根均值誤差，設(shè)為真實(shí)信號(hào)為含噪或降噪后的信號(hào)，Gk為真實(shí)頻響函數(shù)為估計(jì)的頻響函數(shù)，N為離散頻率點(diǎn)個(gè)數(shù)，其定義如下:

圖10 余弦線性掃頻激勵(lì)下響應(yīng)信號(hào)去噪前后比較

由表1可知:在三種噪聲方差下，與原有方法[6]相比，改進(jìn)方法的去噪效果均得到提高。而且隨著噪聲方差的增大，新方法的優(yōu)勢(shì)愈加明顯。因此，本文所提改進(jìn)方法尤其適合大噪聲環(huán)境下的數(shù)據(jù)去噪。

表1 新舊方法去噪效果對(duì)比

為進(jìn)一步證明改進(jìn)方法的有效性，在此，分別采用原方法和改進(jìn)方法分別處理噪聲方差為0.1時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并估計(jì)頻響函數(shù)，圖11給出了新舊方法估計(jì)的頻響函數(shù)對(duì)比。顯然，新方法的估計(jì)結(jié)果更接近參考值。隨后采用PolyMAX[14]方法進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，比較結(jié)果如表2所示，其中參考值是采用前述10組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)的頻響函數(shù)辨識(shí)所得。由表2可知，對(duì)于一階模態(tài)，雖然原方法的模態(tài)頻率比新方法略接近真實(shí)值，但新方法的阻尼值更優(yōu);對(duì)于二階模態(tài)，新方法的模態(tài)頻率和阻尼值均優(yōu)于原方法。綜合而言，新方法能夠提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)信噪比和辨識(shí)精度。

圖11 原方法與新方法測(cè)得頻響函數(shù)的比較

表2 模態(tài)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)論

針對(duì)大噪聲工況下結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)的測(cè)量問題，本文提出了一種基于廣義分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的時(shí)頻域?yàn)V波改進(jìn)方法。相比于原有方法，由于采用復(fù)數(shù)數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，可獲得更為理想的頻響函數(shù)估計(jì)。為說(shuō)明方法的有效性，文中給出了仿真算例，并設(shè)計(jì)了壓電懸臂梁實(shí)驗(yàn)給予驗(yàn)證。

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