游賢強(qiáng) 陳偉海 崔 翔 于守謙

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京100191)

常規(guī)的串聯(lián)結(jié)構(gòu)的機(jī)器人將驅(qū)動(dòng)電機(jī)安裝于手臂上，增加了機(jī)器人的重量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量［1］，從而限制了機(jī)器人的承載能力，以及高速運(yùn)動(dòng)和快速響應(yīng)能力.為了克服電機(jī)和連桿的重量所帶來的不利影響，近年來繩驅(qū)動(dòng)技術(shù)越來越引起人們的關(guān)注［2－3］.繩驅(qū)動(dòng)3-3R球面并聯(lián)機(jī)構(gòu)利用繩索代替連桿來傳遞運(yùn)動(dòng)和力，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、慣性小和運(yùn)動(dòng)速度快等優(yōu)點(diǎn)［4－6］.將它作為擬人臂機(jī)器人的肩和腕關(guān)節(jié)，可將驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)全部安放在機(jī)座，有效地減輕了手臂的自重，提高了快速響應(yīng)能力［7］.

并聯(lián)式繩驅(qū)動(dòng)慣性小，精度高，在微操作方面很有應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，但并聯(lián)式繩驅(qū)動(dòng)建模困難、控制復(fù)雜，特別是由于外界擾動(dòng)、載荷變化，系統(tǒng)參數(shù)難以正確估計(jì)和確定.這些問題導(dǎo)致繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人在實(shí)際應(yīng)用中是無法回避動(dòng)力學(xué)和張力控制問題的，不能夠像剛性機(jī)器人那樣僅靠運(yùn)動(dòng)學(xué)控制就可以滿足一般作業(yè)任務(wù)的要求.因此，動(dòng)力學(xué)的研究對(duì)并聯(lián)機(jī)器人高精度控制具有重要意義.

國(guó)內(nèi)外對(duì)動(dòng)力學(xué)的研究大多數(shù)都是針對(duì)傳統(tǒng)的剛性機(jī)器人，以及少量在牽引式繩驅(qū)動(dòng)上的應(yīng)用，在繩驅(qū)動(dòng)擬人臂上的分析目前還沒有.利用拉格朗日方法建立的動(dòng)力學(xué)模型具有標(biāo)準(zhǔn)的顯式表達(dá)式，易于控制器的設(shè)計(jì).文獻(xiàn)［8－9］對(duì)并聯(lián)機(jī)器人的幾何形狀和慣性擾動(dòng)作了簡(jiǎn)化假設(shè)，利用拉格朗日方法建立了并聯(lián)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程.文獻(xiàn)［10］利用拉格朗日方程建立了完整的并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程.但這些學(xué)者的分析對(duì)象都是剛性機(jī)器人，針對(duì)并聯(lián)式繩驅(qū)動(dòng)，本文在滿足要求的條件下，簡(jiǎn)化分析并建立繩驅(qū)動(dòng)擬人肩關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型.

本文采用RPY(Roll-Pitch-Yaw)角描述繩驅(qū)動(dòng)擬人肩關(guān)節(jié)的姿態(tài)，建立拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，針對(duì)繩索驅(qū)動(dòng)冗余的特點(diǎn)，且考慮到繩索的單方向受力性，提出基于最小預(yù)緊力的張力分配算法，推導(dǎo)出繩索的驅(qū)動(dòng)力.針對(duì)機(jī)器人軌跡跟蹤控制問題，設(shè)計(jì)基于Backstepping方法的系統(tǒng)模型控制律，并與傳統(tǒng)的計(jì)算力矩法進(jìn)行比較，在Matlab/Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真驗(yàn)證.

1 機(jī)構(gòu)描述

擬人肩關(guān)節(jié)是由4繩驅(qū)動(dòng)的三自由度并聯(lián)機(jī)器人，其樣機(jī)如圖1所示.

圖1 繩驅(qū)動(dòng)擬人肩關(guān)節(jié)樣機(jī)

該機(jī)構(gòu)主要由5個(gè)部件組成:運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、被動(dòng)三自由度關(guān)節(jié)、固定平臺(tái)、張力檢測(cè)機(jī)構(gòu)和繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu).運(yùn)動(dòng)平臺(tái)通過被動(dòng)關(guān)節(jié)與固定平臺(tái)的支柱相連接，4根驅(qū)動(dòng)繩索對(duì)稱分布在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)周圍，一端固定于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)，另一端通過固定平臺(tái)上的滑動(dòng)輪和張力檢測(cè)機(jī)構(gòu)與基座上的繩索驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)相連，由驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)來帶動(dòng)繩長(zhǎng)變化，控制運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng).

機(jī)構(gòu)受力如圖2所示，Bi，Pi(i=1～4)分別為第i根繩索與固定平臺(tái)和運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的連接點(diǎn)，坐標(biāo)系OBXBYBZB為基坐標(biāo)系，坐標(biāo)系OPXPYPZP為固定在動(dòng)平臺(tái)上的動(dòng)坐標(biāo)系，隨平臺(tái)的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化.機(jī)構(gòu)主要的結(jié)構(gòu)參數(shù)包括:旋轉(zhuǎn)中心到底座的高度lh，底座的長(zhǎng)度2lb，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的邊長(zhǎng)2ls和底座固定點(diǎn)B1B2間的距離t.

圖2 機(jī)構(gòu)受力示意圖

2 動(dòng)力學(xué)建模

2.1 機(jī)構(gòu)姿態(tài)的RPY角描述

姿態(tài)矩陣是三階的方向余弦矩陣，可用3個(gè)獨(dú)立變量來表示，而這3個(gè)變量可取為繞3個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)角.采用RPY角來描述姿態(tài)矩陣，如圖3所示.OPXPYPZP的初始方位與 OBXBYBZB重合(見圖2).

圖3 RPY角示意圖

首先，繞XB軸旋轉(zhuǎn)γ角，再繞YB軸旋轉(zhuǎn)β角，最后繞ZB軸旋轉(zhuǎn)α角.由于3次旋轉(zhuǎn)都是相對(duì)于OBXBYBZB而言，按照“從右向左”的合成變換原則，可得到姿態(tài)變換矩陣為

其中，R(ZB，α)，R(YB，β)，R(XB，γ)分別表示繞ZB，YB，XB軸的基本旋轉(zhuǎn)變換矩陣.

2.2 動(dòng)力學(xué)模型分析

由于繩索不可避免地具有一定的彈性，為了獲得較好的控制效果，應(yīng)當(dāng)考慮繩索的彈性效應(yīng)，但為了簡(jiǎn)化理論分析，不失一般性，作如下假設(shè):①繩索變形很小，可忽略;②相對(duì)于機(jī)構(gòu)平臺(tái)，繩索質(zhì)量很小，可忽略;③不考慮驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)問題，假定可對(duì)關(guān)節(jié)施加任意的力矩.

在坐標(biāo)系OBXBYBZB下，動(dòng)平臺(tái)的位置始終不變，其姿態(tài)采用RPY角描述如下:

以q為廣義坐標(biāo)，采用拉格朗日動(dòng)力學(xué)法可建立標(biāo)準(zhǔn)形式的動(dòng)力學(xué)方程如下:

其中，M(q)為慣性矩陣;Vm(q，)為哥氏力和離心力;G(q)為勢(shì)能的偏導(dǎo)數(shù);τ為驅(qū)動(dòng)力矩，各參數(shù)推導(dǎo)如下.

動(dòng)平臺(tái)只轉(zhuǎn)動(dòng)，故其動(dòng)能僅包括轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:

其中，R為姿態(tài)變換矩陣;Ic為繞動(dòng)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;ω為動(dòng)平臺(tái)的角速度，可表示為

將式(2)展開，整理可得

其中，M(q)為三階方陣，M23=M32=0，M11=IXsin2β +IYsin2γcos2β +IZcos2γcos2β，M12=M21=(IY－IZ)cosγsin γcosβ，M13=M31=－IXsin β，M33=IX，M22=IYcos2γ+IZsin2γ.

根據(jù)文獻(xiàn)［11］，哥氏力和離心力項(xiàng)為

將式(5)～式(7)代入式(4)，即可推導(dǎo)得到Vm(q，)，亦為三階方陣，各元素這里不再贅述.由于動(dòng)平臺(tái)的勢(shì)能 Ep=0，因此勢(shì)能偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)G(q)=0.

2.3 繩索張力分配

式(1)是以笛卡爾坐標(biāo)q為廣義坐標(biāo)建立的，τ不是真正意義上的驅(qū)動(dòng)力矩，是作用在(α，β，γ)方向上的廣義力矩.它由支撐桿和繩索共同作用產(chǎn)生，可轉(zhuǎn)換為繩索驅(qū)動(dòng)力.

運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的受力如圖2所示，4根繩索產(chǎn)生的力矩應(yīng)與τ平衡.令Ms=τ，則

其中，ti為標(biāo)量，表示繩索張力大小;Li/li為沿繩索方向的單位矢量，Li=Bi－Pi為繩長(zhǎng)矢量.

式(9)的最小范數(shù)二乘解為

其中，(Ss)+=(Ss)T(Ss(Ss)T)－1為Ss的廣義逆.

引入方程解的齊次項(xiàng)(λ·N∈R4×1)以調(diào)節(jié)繩索之間的張力分配，而不產(chǎn)生對(duì)外的作用力.

其中，N= [n1n2n3n4]T為 Ss的零空間向量，各元素可根據(jù)Cramer’s法則求得

由于繩索只能承受拉力，繩驅(qū)動(dòng)擬人臂機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過程中必須保持每根繩索均處于張緊狀態(tài)，即繩索的張力大于零.假設(shè)繩索保持張緊所需的最小張力(即最小預(yù)緊力)為tmin，則可通過下式調(diào)節(jié)λ以使繩索張力大于tmin.

其中，N0=min|N(·)|為向量N的元素絕對(duì)值最小項(xiàng);D=(Ss)+·Ms為方程的非齊次特解.

3 基于后推技術(shù)的控制律設(shè)計(jì)

基于后推(Backstepping)技術(shù)的控制律設(shè)計(jì)方法［12］的基本思路是將復(fù)雜的系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后為每個(gè)子系統(tǒng)設(shè)計(jì)部分Lyapunov(李雅普諾夫)函數(shù)和中間虛擬控制量，直至完成整個(gè)控制器的設(shè)計(jì).

令 x1=q，x2=，跟蹤誤差 e1=qd－q，e2=－，qd為期望值，則可得到跟蹤誤差狀態(tài)方程為

引入輔助變量 z1=e1，z2=e2－α.

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，由式(12)和式(13)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)(e1，e2)=(0，0)處是漸近穩(wěn)定的.再根據(jù)張力分配算法，可將τ轉(zhuǎn)換為繩索的驅(qū)動(dòng)力.

4 仿真結(jié)果及分析

虛擬樣機(jī)分析軟件ADAMS/View具有較為強(qiáng)大的建模和仿真功能，模型建好后，ADAMS可以自動(dòng)計(jì)算出各部分零件的質(zhì)量、質(zhì)心位置及各個(gè)軸的慣性矩陣、慣性積.

在ADAMS中建立虛擬樣機(jī)模型，測(cè)得繩驅(qū)動(dòng)擬人肩并聯(lián)機(jī)器人的相關(guān)參數(shù)如表1所示.

表1 機(jī)器人相關(guān)參數(shù)

在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下，搭建機(jī)器人仿真控制系統(tǒng)，利用S函數(shù)編寫控制器及系統(tǒng)模型.分別采用本文提出的控制方法和傳統(tǒng)的計(jì)算力矩法進(jìn)行軌跡跟蹤仿真實(shí)驗(yàn)，并對(duì)比分析.

繪制位置和速度跟蹤誤差曲線:圖4和圖5分別為計(jì)算力矩法和基于Backstepping方法的位置跟蹤誤差曲線，圖6和圖7分別是兩種方法的速度跟蹤誤差曲線.

圖4 計(jì)算力矩法的位置跟蹤誤差曲線

圖5 基于Backstepping方法的位置跟蹤誤差曲線

由圖4、圖5可以看出，在穩(wěn)態(tài)誤差方面，兩種方法最終都能趨于穩(wěn)態(tài);而在收斂速度方面，計(jì)算力矩法在1 s之后才趨于穩(wěn)定，而基于Backstepping的方法在0.1 s就已經(jīng)基本達(dá)到穩(wěn)定，速度明顯優(yōu)于計(jì)算力矩法.本文所提出的基于Backstepping的控制方法具有較好的跟蹤效果.

4根繩索的驅(qū)動(dòng)力曲線如圖8所示，可以看出，由于忽略了驅(qū)動(dòng)器的動(dòng)力學(xué)問題，在運(yùn)行初始階段，為使系統(tǒng)盡快到達(dá)穩(wěn)態(tài)，2根繩索的驅(qū)動(dòng)力較大;圖中繩索驅(qū)動(dòng)力的最小值為30N，實(shí)現(xiàn)了張力分配的預(yù)期，滿足了繩索張緊的條件，說明所提出的張力分配算法切實(shí)可行;給定的整個(gè)曲線較平滑，對(duì)電動(dòng)機(jī)也沒有力矩的沖擊.

圖6 計(jì)算力矩法的速度跟蹤誤差曲線

圖7 基于Backstepping方法的速度跟蹤誤差曲線

圖8 繩索驅(qū)動(dòng)力

5 結(jié)論

建立了擬人肩關(guān)節(jié)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程，提出基于最小預(yù)緊力的張力分配算法，設(shè)計(jì)了基于后推技術(shù)的軌跡跟蹤控制律，并與傳統(tǒng)的計(jì)算力矩控制方法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，得出以下結(jié)論:①基于后推技術(shù)的控制方法在收斂速度方面明顯優(yōu)于計(jì)算力矩法，具有較好的跟蹤效果;②由繩索驅(qū)動(dòng)力曲線可知，各繩索驅(qū)動(dòng)力皆能滿足其張緊所需的最小張力(即最小預(yù)緊力)，表明了所提出的張力分配算法的可行性.該研究為繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的進(jìn)一步有效控制和性能改進(jìn)以及擬人臂整機(jī)的研究奠定了理論基礎(chǔ).

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