張 俐 丁志耀 王延忠

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

面齒輪齒面的自適應采樣方法

張 俐 丁志耀 王延忠

（北京航空航天大學 機械工程及自動化學院，北京 100191）

面齒輪齒面的數字化是齒面檢測的關鍵技術之一.針對在三坐標測量機上進行的齒面采樣，提出一種根據給定精度確定采樣網格點數量的方法:對采樣網格邊界線進行初步自適應，利用截平面法得到初始采樣網格;同時根據給定的采樣網格點數量，借助基于形狀的采樣算法，對初始采樣網格進行迭代，生成自適應采樣網格，最終實現面齒輪齒面數字化檢測采樣的自適應規(guī)劃.

面齒輪齒面;采樣網格;自適應

面齒輪傳動是面齒輪與圓柱齒輪相嚙合的新型齒輪傳動，它是采用漸開線直齒輪刀具經展成加工而成.目前，國外有關研究機構已經設計出采用面齒輪傳動的直升機主減速器，在體積小、重量輕、承載能力高、噪聲低、可靠性高、壽命長、功率分流效果良好等方面顯示了極大的優(yōu)勢，作為航空錐齒輪新的代表脫穎而出.因此，對面齒輪齒面進行檢測，評定面齒輪的精度，顯得尤為重要.而齒面數字化（即用離散的采樣點提取齒面的原始形狀信息）是齒面檢測過程中的關鍵步驟.目前，在面齒輪齒面檢測過程中，為了保證測量精度，通常采用縮小測量間距的方法，這就使測量效率顯著降低，并增加了后續(xù)數據處理的工作量和難度.解決這一問題的有效方法是實現檢測點的自適應分布，使檢測點的分布隨齒面曲率的變化而變化，即曲率越大，檢測（采樣）點越密，反之則越疏［1］.這樣就能夠比較真實地反映齒面的幾何形狀信息.基于此，在研究基于形狀特征的已知齒面數字化基礎上，本文對數字化齒面的自適應采樣方法開展研究.

1 檢測（采樣）點數量的確定

確定合理的檢測點數在齒面的數字化過程中具有重要的作用.檢測點數過多不僅影響采樣效率，而且有可能導致計算機內存溢出;但檢測點數過少，則不能精確地描述齒面的幾何特征.

目前對于檢測點數的確定主要集中在規(guī)則曲面上，對自由曲面的研究比較少.文獻［2］針對模型已知的自由曲面，對檢測點的確定進行了比較詳細的研究，將影響檢測點數量的因素概括為2個:設計時給定的公差范圍T和機床的加工能力P（一般取P=6σ）.假設加工誤差服從正態(tài)分布:ε=N（0，σ2）.并給出了檢測點數量的經驗公式:

式中，K表示工藝能力系數，它是公差范圍T和實際加工誤差（分散范圍6σ）之比，即K=T/6σ;Z1－δ表示標準正態(tài)概率分布的1－δ分位數;Zr表示標準正態(tài)概率分布的r分位數.

式（1）檢測點數計算公式考慮了加工設備的工藝能力、檢測的置信度和給定公差的大小，符合三坐標測量機（CMM，Coordinate Measuring Machine）檢測的特點［3］，然而該公式未考慮曲面的面積因素，而且在K接近1時，檢測樣本將趨于無限大，因此在實際計算檢測點時，還須根據自由曲面面積的大小對式（1）進行修正，以符合工程檢測的特點.

基于此，針對面齒輪的齒面采樣網格的劃分，本文提出一種確定采樣點數量的方法，思路如下:①確定齒面檢測區(qū)域;②分別對橫縱兩邊界線上的采樣點進行初步自適應生成;③生成采樣網格，確定采樣點數量.

1.1 確定齒面檢測區(qū)域

根據AGMA（美國制造商協會）2009-B01標準，齒頂和齒根的縮進量取為5%工作齒高（考慮到面齒輪齒根附近的過渡區(qū)，本文中將齒根縮進量取為10%工作齒高），內外端縮進量取為10%齒面寬.利用4個截平面確定的齒面檢測區(qū)域如圖1所示.

圖1 齒面檢測區(qū)域確定示意圖

1.2 邊界采樣點初步自適應生成

采用文獻［4－5］提出的基于曲面法曲率信息的算法，對圖1中AB方向邊界線及DA方向邊界線進行采樣點自適應生成.

面齒輪齒面方程［6］（工作面）如下:

圖2 采樣結果

從3種采樣結果的對比可看出:

1）當步長及反饋步長相同時，給定精度越小，采樣點越多（更密），自適應效果減弱;

2）當給定精度及反饋步長相同時，步長越小，采樣點越多，自適應效果減弱.

考慮到本文中所用面齒輪的尺寸很小，不宜使采樣點過密，故不推薦使用過小的精度.圖2b自適應效果較為明顯，且采樣點數比較合理，故本文采用其參數值:步長 dθs=0.03，反饋步長 δ1=0.003，給定精度 ε=0.2 mm.同理，縱向的各參數取值為:步長 dφs=0.006，反饋步長 δ2=0.000 6，給定精度同為0.2 mm.

根據上述要求遍歷橫縱2個方向的邊界線，計算結果如圖3所示.

圖3 邊界線自適應計算結果示意圖

圖3可見，橫向邊界線取了12個采樣點，縱向邊界線取了8個采樣點，并且各采樣點疏密程度有隨曲率不同而變化的趨勢.需要說明的是:為避免分區(qū)域（工作面-過渡面）求采樣點，這里采用外端邊界線CB而不是DA進行縱向初步自適應.

1.3 生成采樣網格

根據1.2節(jié)的各采樣點，利用與邊界截面平行的截平面去截齒面，得到的初始采樣網格如圖4所示.

圖4 初始采樣網格示意圖

由圖4可確定齒面的采樣點數量為96個（8×12網格）.圖4中右下角的4個網格點處于過渡面區(qū)域內，它們的坐標需要利用面齒輪過渡面方程［6］重新計算.

2 自適應采樣原理與算法

在給定了采樣點數量之后，應研究如何盡可能真實地反映齒面的原始形狀，即應對齒面采樣點的分布規(guī)劃進行研究.自適應采樣方法［7］原理如下.

2.1 形狀函數

該方法將“質心法”原理應用到曲面自適應采樣.如圖5所示，若質點m1和m3分別位于x軸上x1和x3處，則質點系的質心在x軸上的位置為

圖5 質點系

將該原理應用于曲面測量中，以測點曲率代替質點質量，可以得到:

式中，?i∈D，D={1，2，…，M}為物理域上采樣點集合;ci=（ui，vi）T為參數域上采樣點;r（c）為反映曲面局部曲率的形狀函數;Ni為采樣網格的鄰域.

點p處任一方向的法曲率kn與主曲率k1和k2滿足歐拉（Euler）公式:

式中，φ為該方向與主曲率k1所在方向的夾角.由于主曲率k1和k2具有幾何不變性，故將曲率測度定義為［8］

形狀函數 r（c）取為［1］

2.2 算法的實現

將式（4）改寫為［9］

它可以通過如下迭代算法求解:

可見，ci等于它的鄰域值加權之和.為充分反映迭代過程中網格的實時變化影響，在迭代循環(huán)過程中，ci要實時更新網格點的矢量，故式（8）改寫成:

3 自適應迭代實例

在對齒面網格點進行迭代計算之前，應先設置邊界條件.本文針對面齒輪齒面網格所設置的邊界條件為:網格的4個角點保持不變，邊界上的點只能沿所在邊界方向變化.設置邊界條件之后，需要確定鄰域形式.圖6描述了本文中所采用的鄰域形式.可見，邊界點（4個角點除外）采用二鄰域形式，中間點采用四鄰域形式.

圖6 采樣點的鄰域形式

根據形狀函數的定義，可求得面齒輪齒面初始網格各點（圖4）的形狀函數r（ci），見表1.

表1 初始網格點形狀函數r（ci）值

表1可見齒面的變化趨勢:由右至左（內端至外端），由上至下（齒頂至齒根），形狀函數r（ci）依次變小，即曲率依次變小.需要注意的是:曲率主要變化方向是橫向，縱向曲率變化不大.

圖7為q=0.3時齒面自適應網格生成過程.

圖7 齒面自適應網格的生成

可見，該算法具有自組織特征，采樣點有向曲率大的區(qū)域（右下角）逐漸靠攏的趨勢，采樣的疏密依賴于齒面曲率.采用迭代100次后的自適應采樣網格（圖8），將盡可能充分地提取齒面的真實形狀信息.

圖8 迭代100次后的齒面采樣點網格

4 結論

本文針對數學模型已知的面齒輪齒面，研究了提高采樣精度和采樣效率的齒面網格點自適應規(guī)劃方法.首先提出一種確定采樣點數量的方法:根據齒面法曲率信息對采樣網格邊界線進行初步自適應，生成邊界采樣點，之后利用截平面法得到初始采樣網格;在給定了采樣點數量之后，再根據質心概念推導出基于形狀函數的采樣算法，由迭代實例表明該算法具有如下優(yōu)點:①極強的自組織能力;②網格采樣點的疏密可根據齒面的曲率自行調整.基于該算法，可在給定采樣點數條件下較合理地提取齒面形狀信息，減小形狀的采樣失真，提高采樣效率，從而實現面齒輪齒面數字化檢測過程中采樣的自適應規(guī)劃.

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Adaptive sampling method of face gear tooth surface

Zhang Li Ding Zhiyao Wang Yanzhong
（School of Mechanical Engineering and Automation，Beijing University of Aeronautics and Astronautics，Beijing 100191，China）

Digitizing of face gear tooth surface is one of the key technologies on the tooth surface measurement.Aiming at the sampling of tooth surface on CMM（coordinate measuring machine），a method to determine the quantity of the sampling mesh points according to given precision was presented.The boundary lines of sampling mesh were adapted firstly and the initial sampling mesh could be achieved by the method of cutting-planes.According to the given quantity of the sampling mesh points，there was iterative computation for the initial sampling mesh by the adaptive sampling algorithm based on the measure of curvature，and then the adaptive programming method of face gear tooth surface was developed.

face gear tooth surface;sampling mesh;adaption

TH 132.41

A

1001-5965（2012）02-0247-05

2010-09-30;< class="emphasis_bold">網絡出版時間:

時間:2012-02-21 11:46;

CNKI:11-2625/V.20120221.1146.006

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120221.1146.006.html

航空科學基金資助項目（20090451008）;國家自然科學基金資助項目（50875009）

張 俐（1961－），女，北京人，副教授，gracejune@buaa.edu.cn.

（編 輯:文麗芳）