劉明超,李 慧,劉俊杰
(1.山東大學(xué)土建與水利學(xué)院,山東濟(jì)南 250002;2.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)
壓桿穩(wěn)定性分析是工程實(shí)踐中的常見問題。為了保證機(jī)構(gòu)安全可靠地工作,必須使壓桿處于直線平衡狀態(tài),如果將壓桿的工作載荷控制在臨界載荷允許的范圍內(nèi),則壓桿就不會(huì)失穩(wěn)。由此可見,臨界載荷的確定對(duì)于壓桿穩(wěn)定性的分析是非常重要的。
在實(shí)際分析壓桿穩(wěn)定性的問題中,臨界載荷的確定通常采用手工計(jì)算的方法,往往比較繁瑣。本文在經(jīng)典穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)上將計(jì)算過程系統(tǒng)化、公式化,繪出了流程圖,并編寫了壓桿穩(wěn)定性分析的MATLAB 程序,與手工計(jì)算相比,更加方便實(shí)用。
對(duì)于滿足λ≥λp的壓桿,就稱之為大柔度壓桿,也即細(xì)長壓桿。其在失穩(wěn)時(shí)處于線彈性范圍(即彈性壓桿),臨界應(yīng)力計(jì)算可采用歐拉公式:
式中:λ為壓桿的柔度。
對(duì)于滿足λs≤λ≤λp的壓桿,稱為中柔度壓桿。其失穩(wěn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力超過了材料的比例極限σp,但未超過屈服極限,材料仍滿足非線彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,壓桿將發(fā)生非線彈性失穩(wěn)。
對(duì)中柔度壓桿,臨界應(yīng)力的計(jì)算公式是以實(shí)驗(yàn)結(jié)果為依據(jù)歸納出的經(jīng)驗(yàn)公式,常用如下直線公式:
式中:λ為壓桿的柔度;a、b 均為材料常數(shù),可查表得出。
對(duì)于滿足λ<λs的壓桿,稱為小柔度壓桿。其失穩(wěn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力理論上超出了σs,故其不會(huì)發(fā)生失穩(wěn),它的破壞是由于軸向壓縮的強(qiáng)度不夠造成的。故應(yīng)由軸向壓縮的強(qiáng)度條件控制其軸向應(yīng)力,即:
注:對(duì)于脆性材料,可將式中σs換為σp。
繪制程序流程圖如圖1 所示。
圖1 壓桿穩(wěn)定性分析程序流程
程序采用可視化界面操作,操作界面如圖2 所示。
圖2 程序操作界面
圖示結(jié)構(gòu)中,AC為剛性梁,BD為直徑d=24 mm 的圓截面桿,彈性模量E=200 GPa,λp=100,λs=60,中柔度壓桿臨界應(yīng)力經(jīng)驗(yàn)公式為σcr=(304-1.12λ)MPa,已知s=1 m,l=0.5 m,F(xiàn)=5 kN,試校核該結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是否合格。
圖3 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖
受力分析,得BD 桿為壓桿,壓力為:
該題目中BD 桿為壓桿,校核其穩(wěn)定性,根據(jù)受力分析結(jié)果輸入?yún)?shù),運(yùn)行MATLAB 程序,分析結(jié)果如圖4 所示。
圖4 穩(wěn)定性分析結(jié)果
由程序分析所得結(jié)果可知,該壓桿穩(wěn)定性合格。
通過以上理論分析和算例驗(yàn)證我們發(fā)現(xiàn),利用計(jì)算機(jī)和MATLAB 軟件進(jìn)行結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析方便實(shí)用,很大程度上提高了工作效率。同時(shí),本文只給出了分析圓截面桿的程序,按照同樣的思路稍作修改即可推廣到其他規(guī)則截面。
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