代洪偉， 凌能祥

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，合肥安徽230009)

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)是世界各國(guó)普遍編制的一種指數(shù)，它可以用于分析市場(chǎng)價(jià)格的基本動(dòng)態(tài)，是政府制定物價(jià)政策和工資政策的重要依據(jù)．為準(zhǔn)確把握居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的變動(dòng)趨勢(shì)，文獻(xiàn)[1]利用ARIMA模型，對(duì)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析，結(jié)果顯示此模型用于預(yù)測(cè)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)比較好．但該模型的設(shè)定誤差比較大，會(huì)影響預(yù)測(cè)結(jié)果，所以本文采用非參數(shù)自回歸模型對(duì)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行模擬分析和預(yù)測(cè)，結(jié)果表明基于非參數(shù)自回歸模型的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)可以獲得令人滿意的結(jié)果．

考慮如下的非參數(shù)自回歸模型(NAR(p)模型):)

解釋性變量Xt∈Rp是由響應(yīng)變量(被解釋性變量)Yt∈R的一些滯后項(xiàng)組成的(p為正整數(shù));隨機(jī)誤差序列{εt}獨(dú)立且同分布，E(εt)=0，E(ε2t)=σ2＞0，并且 εt與Xs(s≤t)相互獨(dú)立;函數(shù)m(·)稱為自回歸函數(shù)(或條件均值函數(shù))．

1 NAR預(yù)測(cè)模型

1．1 階數(shù)p的確定

在應(yīng)用NAR模型(1)對(duì)某個(gè)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)時(shí)，首先要確定模型的階數(shù)p的值，本文利用Cross－Validation方法[5]確定模型的滯后階數(shù)p．

Cross－Validation方法:對(duì)模型(1)的一段樣本Y1，Y2，…，Yn，令Xt(k)=(Yt－1，Yt－2，…，Yt－k)，定義cv(k)，其中－t(·)是刪去第t個(gè)數(shù)據(jù)后，對(duì)自回歸函數(shù)m(·)的核估計(jì)，其階數(shù)p可以用嘗試階數(shù)k替代，它的估計(jì)為

其中W(·)是適當(dāng)選取的非負(fù)權(quán)函數(shù)，K(·)為核函數(shù)，給定NAR模型(1)的階數(shù)的上界L，在{1，2，…，L}上極小化cv(k)，則階數(shù)p的估計(jì)滿足cv()=min1≤k≤Lcv(k)．

1．2 自回歸函數(shù)的估計(jì)

自回歸函數(shù)m(·)的常用估計(jì)方法是局部線性估計(jì)[6]和核估計(jì)法．雖然這兩種方法有很多優(yōu)點(diǎn)，但是二者均是局部光滑方法，在每一點(diǎn)處擬合自回歸函數(shù)需求值時(shí)都需重新進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量很大．而小波估計(jì)方法[9]、正交序列估計(jì)方法和樣條估計(jì)等方法都屬于全局光滑方法，能有效的克服這種弊端，計(jì)算效率較高．因此本文采用了全局光滑方法中的正交序列方法和樣條方法對(duì)自回歸函數(shù)進(jìn)行擬合、估計(jì)．

1．2．1 正交序列估計(jì)

設(shè)自回歸函數(shù)m(x)∈c[a，b]，假設(shè)構(gòu)成[a，b]上的一組正交基，即=δij，當(dāng)i=j時(shí)，δij=ci;當(dāng)i≠j時(shí)，δij=0．則m(x)有正交序列展開(kāi)m(x)=)．可將非參數(shù)自回歸模型Yt=m(Xt)+εt近似為:

Yi對(duì)該模型進(jìn)行最小二乘估計(jì)，得到^θ=(ZTZ)－1ZTY，其中，Z=(Z1，…，Zm)，Zi=(φi(X1)，…，φi(Xn))T．于是，m(x)有正交序列估計(jì):^mn(x)=z(x)T^θ，其中z(x)=(φ1(x)，…，φm(x))T．

本文采用Legendre多項(xiàng)式正交基，在區(qū)間[－1，1]上，Legendre多項(xiàng)式的正交基為:

其他高階Legendre多項(xiàng)式可由下式遞推地推出:

(m+1)pm+1(x)=(2m+1)xpm(x)－mpm－1(x)，Legendre 多項(xiàng)式正交基滿足，當(dāng)i=j時(shí)，δij=1;當(dāng)i≠j時(shí)，δij=0．

若解釋變量X在區(qū)間[a，b]上取值，則必須作變量替換，變量Z的取值區(qū)間為[－1，1]．

1．2．2 多項(xiàng)式樣條估計(jì)

樣條估計(jì)基本思想:設(shè)Xt∈D=[a，b]，將區(qū)間[a，b]予以分割，結(jié)點(diǎn)序列為a=t0＜t1＜…＜tm＜tm+1=b．具有該結(jié)點(diǎn)序列的三次多項(xiàng)式樣條空間S3，m的基函數(shù)Bs(·)可取為 1，x，x2，x3，(x－，其中(x－ti)+=max{0，x－ti}(i=1，2，…，m)．所以三次樣條函數(shù)可表示為:，只要最小化就

可以得到θi的估計(jì)i(i=1，…，K)．則自回歸函數(shù)m(x)的多項(xiàng)式樣條估計(jì)為

多項(xiàng)式樣條估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中必須解決結(jié)點(diǎn)的選擇問(wèn)題．可按照如下方法選擇結(jié)點(diǎn):先取正整數(shù)k，令m=[n/k]，取ti=X(ki)(i=1，…m);對(duì)于第i(1≤i≤m)個(gè)結(jié)點(diǎn)，檢驗(yàn)H0:θi=0，我們根據(jù)t統(tǒng)計(jì)量的值刪除那些接受假設(shè)的結(jié)點(diǎn);然后調(diào)整k的值直到獲得比較理想的估計(jì)效果．

圖1 我國(guó)2004．1 ～ 2008．12 CPI

圖2 我國(guó)CPI(一階差分后)

1．3 非參數(shù)自回歸模型的預(yù)測(cè)

本文使用循環(huán)預(yù)測(cè)法[7]對(duì)NAR模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，其基本方法如下:對(duì)NAR模型Yt=m(Xt)+εt，當(dāng)k=1時(shí)(即對(duì)Yn+1預(yù)測(cè)時(shí))，通過(guò)非參數(shù)方法對(duì)E(Yn+1|Yn=X)進(jìn)行估計(jì)，算出一步預(yù)測(cè)值^Yn(1);當(dāng)預(yù)測(cè)Yn+2時(shí)，可以把上面得到的^Yn(1)添加到(Y1，Y2，…，Yn)中構(gòu)成新的樣本(Y1，Y2，…，Yn，^Yn(1))，再采用上面一樣的估計(jì)方法可以算出二步預(yù)測(cè)值^Yn(2)，像這樣循環(huán)下去，直到我們得到k步預(yù)測(cè)值，因?yàn)樵诘趉步預(yù)測(cè)時(shí)使用了Yn+1，Yn+2，…，Yn+k－1所包含的信息，所以，循環(huán)預(yù)測(cè)法比直接預(yù)測(cè)法的預(yù)測(cè)誤差?。?/p>

2 我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的NAR預(yù)測(cè)模型

2．1 樣本數(shù)據(jù)的選擇與處理

本文的研究樣本是我國(guó)2004年1月～2008年12月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的歷史數(shù)據(jù)，首先對(duì)其建立NAR預(yù)測(cè)模型，然后用兩種方法進(jìn)行擬合，最后對(duì)2009年1月～2009年4月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)．(數(shù)據(jù)來(lái)源于中國(guó)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站)．

圖1是我國(guó)2004年1月～2008年12月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的折線圖，從圖中數(shù)據(jù)可以看出:CPI序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列，而我們只能對(duì)平穩(wěn)的時(shí)間序列建立NAR模型．因此，若要對(duì)CPI序列建立NAR模型，首先要對(duì)其平穩(wěn)化處理，在這兒我們采用一階差分法．從圖2可以知道一階差分后CPI序列平穩(wěn)．

圖3 CPI擬合曲線

2．2 ARMA模型的建立

首先對(duì)CPI差分序列{ΔYt}建立一個(gè)參數(shù)模型ARMA模型，通過(guò)比較差分序列的AIC值和偏自相關(guān)分析，得到最佳模型為AR(3)(其中AIC=2．19)． 通 過(guò) 計(jì) 算 得，其中模型的參數(shù)是通過(guò)最小二乘法估計(jì)得到的，括號(hào)中的數(shù)為T檢驗(yàn)值．

2．3 NAR預(yù)測(cè)模型

對(duì)我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)差分序列{ΔYt}建立 NAR 模型 ΔYt=m(ΔYt－1，ΔYt－2，…，ΔYt－p)+εt，其中隨機(jī)誤差序列{εt}獨(dú)立且同分布，E(εt)=0，=σ2，εt與 ΔYt－1，ΔYt－2，…，ΔYt－p相互獨(dú)立．

利用上述的Cross－Validation方法確定滯后階p，當(dāng)k=1時(shí)，cv(k)的值最小，因此NAR模型為ΔYt=m(ΔYt－1)+εt．

對(duì)我國(guó)2004—2008年的CPI差分序列{ΔYt}，建立 NAR 模型 ΔYt=m(ΔYt－1)+εt，并對(duì)該模型分別進(jìn)行正交序列估計(jì)和樣條估計(jì)．下圖3給出了通過(guò)兩種估計(jì)方法得到的我國(guó)CPI的擬合曲線與CPI原曲線，為了和參數(shù)模型進(jìn)行比較，在圖中也給出了用AR(3)模型擬合得到的曲線．

從圖3中可以看出，三種估計(jì)方法都大致擬合出了我國(guó)CPI的具體走勢(shì)，為了量化估計(jì)效果的比較，本文將三種估計(jì)方法的平均絕對(duì)誤差與均方誤差列于表1中，易見(jiàn)正交序列估計(jì)方法優(yōu)于其他兩種方法．

表1 平均絕對(duì)誤差和均方誤差的比較

由于我們建模的一個(gè)目的是為了預(yù)測(cè)，所以為了找出適合這類數(shù)據(jù)的理想模型和估計(jì)方法，我們用上面各種方法對(duì)樣本進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表2．

表2 預(yù)測(cè)結(jié)果

從兩表的結(jié)果可以看出，在這3種估計(jì)方法中，正交序列估計(jì)方法的擬合效果及預(yù)測(cè)效果明顯優(yōu)于其他估計(jì)方法，最小二乘估計(jì)方法的模擬和預(yù)測(cè)效果是最差的．

表3是我們利用非參數(shù)自回歸模型和文獻(xiàn)[1]利用ARIMA模型對(duì)我國(guó)2004～2008 CPI進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)的部分結(jié)果的比較．從表中可以看出非參數(shù)自回歸模型要比ARIMA模型的模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果理想．

表3 模擬和預(yù)測(cè)結(jié)果的比較

3 結(jié)語(yǔ)

為了克服經(jīng)典參數(shù)模型的缺點(diǎn)，本文利用2004～2008我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)月度數(shù)據(jù)建立非參數(shù)自回歸模型，并利用線性最小二乘估計(jì)、樣條估計(jì)和正交序列估計(jì)進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，得到的結(jié)果表明:在這三種方法中，正交序列估計(jì)方法優(yōu)于其他兩種方法．

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