陳莉敏

(常州工程職業(yè)技術學院基礎部，江蘇常州213164)

1 引言及預備知識

對于Sturm－Liouville特征值問題Ly(x)=－y″+q(x)y=λy，y'(0)－h(huán)y(0)=0，y'(π)+Hy(π)=0，若q(x)∈Cm[0，π]，則特征值漸近式可表示為:

其中是與h，H，q(x)及其導數(shù)相關的實常數(shù)[1，2]．

當勢函數(shù)光滑性提高時，會得到更精確的漸近式的表達式．但如何得到這些估計式中的系數(shù)確切表達式，沒有文獻進行過具體的討論．本文就是利用迭代法求解當q(x)∈C2[0，π]時算子特征值和特征函數(shù)的漸近展開式．

引理 1[3]記 λ=s2，則

引理2[3]記s=σ+it，則存在s0＞0，使得當|s|＞s0時有 φ(x，λ)=O(e|t|x)，Ψ(x，λ)=，或者更準確些 φ(x，λ)=cossx+，這些估計式對x∈[0，π]一致成立．

定理1[3]自伴邊條件下的特征值都是實的．

2 主要結果及其證明

定理2 Sturm－Liouville算子在q(x)∈C2[0，π]時，特征值的漸近展開式中系數(shù)C0和C1為:證明: 當h=∞，H≠∞時，由定理1及引理

2遞推可得．

由邊條件得:

將(1)帶入(2)得

對于其他邊條件，同理可證．

定理3 Sturm－Liouville算子在q(x)∈C2[0，π]時，特征函數(shù)的漸近式可表示為:

(1)h≠∞，H≠∞ 時，

(3)h≠∞，H=∞ 時，

其中β(x)，γ2(x)是與h，H，q(x)及其導數(shù)相關的實常數(shù)．

證明: 當h≠∞，H≠∞時，由定理1及引理2遞推可得，

將定理2相應結論代入(5)式得

將φn(x)規(guī)范化:

這樣

所以規(guī)范化了的特征函數(shù)有漸近式:

對于其他邊條件同理可證．

[1] Atknson FV．Discrete and Continuous Boundary Problems[M]．New York:Academic Press，1964．

[2] Easthamm SP．On the Location of Spectral Concentration for Sturm － Liouville Problems with Rapidly Decaying Potential[J]．Mathematica，1998，45:23 －36．

[3] 劉景麟．常微分算子譜論[M]．北京:科學出版社，2009．

[4] Levitan BM，Sargsjan IS．Sturm－Liouville and Dirac Operators[M]．Kluwer Academic Publishers，1991．