李 東 蔡湘平

(北京信息科技大學(xué)光電信息與通信工程學(xué)院，北京 100192)

0 引言

相位檢測(cè)是工程領(lǐng)域中最基本的應(yīng)用之一。隨著電子技術(shù)和信號(hào)處理算法的發(fā)展，相位檢測(cè)技術(shù)被廣泛應(yīng)用于陣列信號(hào)測(cè)向、點(diǎn)發(fā)射技術(shù)、噪聲抵消以及微弱信號(hào)檢測(cè)等方面。針對(duì)微弱信號(hào)的相位檢測(cè)，早期采用模擬方法進(jìn)行。近年來，相位檢測(cè)逐漸向數(shù)字化方向發(fā)展，其檢測(cè)精度一般高于模擬檢測(cè)方法［1］。

FFT是數(shù)字化相位檢測(cè)中應(yīng)用最為廣泛的方法，但該方法存在較嚴(yán)重的頻譜泄漏效應(yīng)，所以一般要求比較大的采樣點(diǎn)數(shù)，采樣點(diǎn)數(shù)越大檢測(cè)精度越高。正交變換是時(shí)變信號(hào)相位檢測(cè)的方法之一，一般采用最小均方自適應(yīng)算法，其能快速跟蹤信號(hào)變化，隨時(shí)檢測(cè)信號(hào)相位，檢測(cè)精度一般低于FFT算法［2］。對(duì)于微弱信號(hào)的相位檢測(cè)，使用FFT和正交變換均不能得到準(zhǔn)確的相位檢測(cè)結(jié)果［3］。本文提出一種自適應(yīng)陷波方法，針對(duì)石英晶體的微弱輸出信號(hào)相位檢測(cè)，在信噪比為－60 dB下達(dá)到相位檢測(cè)精度為2×10－6的要求。

1 FFT相位檢測(cè)方法

數(shù)字鑒相方法是直接對(duì)信號(hào)采樣，利用采樣得到的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行FFT運(yùn)算，從而得到信號(hào)的離散頻譜，最后根據(jù)頻譜求出信號(hào)的相位。其基本原理如下。

滿足狄里赫利條件的實(shí)域信號(hào)的級(jí)數(shù)展開式為:

式中:a0為直流分量;An為各次諧波幅值分量;φn為各次諧波相位分量;ωn為各次諧波頻率分量。對(duì)式(1)進(jìn)行快速傅里葉變換，得:

則對(duì)應(yīng)每個(gè)頻率的信號(hào)相位為:

通過傅里葉變換可以提取各個(gè)頻率分量的相位和幅度參數(shù)。諧波干擾的存在不影響其他頻率信號(hào)的檢測(cè)，所以諧波的存在對(duì)檢測(cè)相位幾乎沒有影響。對(duì)于噪聲干擾，只有當(dāng)高斯白噪聲的頻率成分接近被檢測(cè)頻率時(shí)才會(huì)影響到相位，所以應(yīng)用FFT法檢測(cè)相位差能有效地抑制高斯白噪聲的干擾。

應(yīng)用FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行變換，采樣的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度總是有限的。對(duì)信號(hào)的采樣實(shí)際上相當(dāng)于采用了一個(gè)時(shí)間窗。該窗口的持續(xù)時(shí)間決定了信號(hào)樣本長(zhǎng)度，不同的樣本長(zhǎng)度會(huì)影響FFT的結(jié)果，尤其是樣本長(zhǎng)度和被測(cè)信號(hào)頻率不成整倍數(shù)關(guān)系時(shí)影響最大。此時(shí)，如何對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣是實(shí)現(xiàn)基于離散傅里葉變換的高精度相位差檢測(cè)的關(guān)鍵。采用增加采樣點(diǎn)數(shù)和加窗處理可以有效降低非整周期采樣引入的誤差。

為了驗(yàn)證基于FFT檢測(cè)相位的有效性，定義正弦信號(hào)如下:

式中:φ為信號(hào)的初始相位差;f為信號(hào)的頻率;N為高斯分布白噪聲，信噪比為10 dB。采樣頻率為4f，采樣8192點(diǎn)數(shù)據(jù)，得到的信號(hào)時(shí)域波形和頻譜如圖1所示。

圖1 信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜Fig.1 Time-domain waveform and spectrum of the signal

圖1(a)為信號(hào)的時(shí)域波形，為方便查看，只畫出了前100個(gè)采樣數(shù)據(jù)。從時(shí)域波形上看，由于噪聲影響，信號(hào)已經(jīng)被干擾。圖1(b)為信號(hào)頻譜圖，最大值對(duì)應(yīng)的頻譜為信號(hào)頻譜，信噪比約為10 dB。針對(duì)以上信號(hào)，增大噪聲，降低信噪比，通過FFT變換檢測(cè)不同信噪比下信號(hào)的相位，則測(cè)量的數(shù)據(jù)如表1所示。表1中數(shù)據(jù)均為10次蒙特卡洛法測(cè)量取均值。

表1 相位差檢測(cè)結(jié)果Tab.1 Test results of phase difference detection

從表1可以看出，基于FFT的相位檢測(cè)在強(qiáng)信號(hào)下具有非常好的檢測(cè)精度，隨著信噪比的下降，其檢測(cè)精度也逐步降低。當(dāng)信噪比大于－20 dB時(shí)有比較好的相位檢測(cè)精度，在－30 dB時(shí)檢測(cè)精度明顯下降，此時(shí)檢測(cè)結(jié)果已經(jīng)無法使用;當(dāng)信噪比小于－35 dB時(shí)，測(cè)量結(jié)果離散性很大，無法得出準(zhǔn)確的相位結(jié)果。

2 自適應(yīng)陷波方法

2.1 陷波方法的基本原理

陷波器的基本要求分為以下兩點(diǎn)。

①傳遞函數(shù)的零點(diǎn)應(yīng)在單位圓上，以使陷波的陷阱深度為無窮大。滿足這一要求的多項(xiàng)式系數(shù)應(yīng)具有鏡像對(duì)稱形式［4］，即:

式中:z為復(fù)數(shù)變量;n為陷波頻率的個(gè)數(shù)。不失一般性，本文只討論陷波一個(gè)信號(hào)的情況，即設(shè)定n=1，則式(5)變?yōu)?

②傳遞函數(shù)的極零點(diǎn)必須匹配。這樣除了陷波的頻率之外，其余的頻率完全不受陷波的影響。結(jié)合式(5)，陷波器的傳遞函數(shù)可以表示為:

式中:ρ為一個(gè)接近但略小于1的常數(shù)。引入ρ保證了在H(z－1)的每一個(gè)零點(diǎn)附近有一個(gè)極點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，表現(xiàn)在單位圓上，即極點(diǎn)在作為零點(diǎn)的相同半徑線上。

若采樣時(shí)間間隔為TS，可以證明式(7)中的常數(shù)α與陷波頻率的關(guān)系為:

直接使用式(7)和輸入信號(hào)進(jìn)行卷積運(yùn)算，就可以實(shí)現(xiàn)陷波。將原始信號(hào)和陷波后的信號(hào)進(jìn)行相減，就可以得到被陷波的信號(hào)［5］。

2.2 陷波器的寬度和深度

陷波器的理想幅頻特性如圖2所示，圖中陷波頻率為40 kHz，ρ=0.85。由式(7)可知，ρ值的大小決定著陷波頻率的寬度和深度:ρ值越接近于1，則陷波的深度越深，寬度越窄;反之亦然［4］。

圖2 陷波器的理想幅頻特性Fig.2 Ideal amplitude-frequency characteristics of notching filter

實(shí)際檢測(cè)中，如果陷波寬度太窄，需要陷波的信號(hào)可能落在陷波器之外，起不到陷波效果;如果陷波深度太淺，陷波器對(duì)陷波信號(hào)的削弱程度將減小，也達(dá)不到陷波效果。根據(jù)表2，同時(shí)考慮寬度和深度，一般選擇ρ值在0.95～0.98之間。如果陷波信號(hào)落在陷波器的中心頻率處，可以將信號(hào)幅度削弱到0.005倍以下，以完全達(dá)到陷波效果。同時(shí)，在陷波深度為0.5處的頻率寬度為150 Hz以下，即對(duì)于遠(yuǎn)離陷波信號(hào)150 Hz以上的其他信號(hào)都不會(huì)產(chǎn)生較大的影響。

ρ值、頻率寬度和陷波深度三者之間的關(guān)系如表2所示。

表2 ρ值、頻率寬度和陷波深度對(duì)應(yīng)關(guān)系Tab.2 Relationships among frequency width，notching filtering depth and ρ-value

以上分析表明，如果期望信號(hào)正好為陷波器的中心頻率，則陷波器能對(duì)期望信號(hào)起到最大的削弱作用，而對(duì)其他信號(hào)的削弱最小。將原始信號(hào)減去陷波后的信號(hào)即可得到被陷波的信號(hào)，即期望信號(hào)。

2.3 信噪比

陷波器提取出的期望信號(hào)，只是將信號(hào)從一個(gè)較寬的信號(hào)中提取出來，其信噪比(SNR)并沒有改變。因此，需要進(jìn)一步采用香農(nóng)信噪比采樣定理，濾除信號(hào)之外的噪聲，以提高信噪比。香農(nóng)信噪比公式如下［6］:

式中:bit為ADC器件的位數(shù);FS為采樣頻率;B為信號(hào)帶寬。由式(9)可知，由于ADC的位數(shù)由硬件決定，而采樣頻率由ADC決定，因此，為了提高信噪比，只能降低信號(hào)帶寬。在自適應(yīng)陷波之后，真實(shí)信號(hào)已經(jīng)被鎖定到一個(gè)窄帶范圍，所以，可以將信號(hào)帶寬壓縮到非常小，從而提高SNR。根據(jù)式(9)，每降低一倍信號(hào)帶寬，將帶來3 dB的信噪比處理增益，如果將帶寬壓縮1024倍，則信噪比有效提高30 dB，使得－60 dB的信號(hào)提高到－30 dB，從而可以完成相位的穩(wěn)定檢測(cè)。但此時(shí)信號(hào)的采樣頻率必須大于信號(hào)的1024倍，這也是提高信噪比帶來的代價(jià)。如果信號(hào)頻率為10 kHz，按照采樣定理，只要20 kHz的采樣頻率就可以實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的檢測(cè)，而信噪比提高之后，采樣頻率將提高到20 MHz。

3 應(yīng)用實(shí)例

為了驗(yàn)證本文提出的自適應(yīng)陷波方法和壓縮帶寬提高信噪比方法的有效性，采用石英晶體產(chǎn)生各種信噪比下的正弦信號(hào)，研制基于數(shù)字信號(hào)處理器的硬件系統(tǒng)對(duì)相位進(jìn)行檢測(cè)，具體描述如下。

石英晶體具有壓電效應(yīng)，當(dāng)其施加于交變電場(chǎng)中時(shí)，就可以等效于由電阻、電容和電感組成的LC回路。該回路有一固有的串聯(lián)諧振頻率，當(dāng)電路諧振時(shí)，石英晶體對(duì)外呈純電阻狀態(tài)且阻抗最?。?］。檢測(cè)石英晶體輸入和輸出端的相位，如果相位一致(即相位差為0)，則表明石英晶體處于諧振狀態(tài)，從而可檢測(cè)出其諧振頻率。相位差檢測(cè)是石英晶體測(cè)試中關(guān)鍵指標(biāo)之一。由于施加到石英晶體的輸入信號(hào)非常微弱，一般信噪比為－50 dB以下，因此，石英晶體的相位差檢測(cè)一般為微弱信號(hào)檢測(cè)，其硬件框圖如圖3所示［8］。

圖3 石英晶體相位差檢測(cè)框圖Fig.3 Block diagram of quartz crystal phase difference detection

信號(hào)發(fā)生器AD9959產(chǎn)生兩路信號(hào)，其中一路作為石英晶體的輸入信號(hào)，另一路作為混頻器信號(hào)。信號(hào)1與信號(hào)2的頻率相差455 kHz［9］。這樣，混頻器1、2的輸出信號(hào)固定為455 kHz。不停地改變信號(hào)1的頻率，當(dāng)信號(hào)1頻率和石英晶體諧振頻率一致時(shí)，石英晶體為純阻性，混頻器1、2的輸入信號(hào)相位一致，兩個(gè)混頻器的輸出信號(hào)相位差為0。使用雙通道ADC器件AD9269進(jìn)行數(shù)字轉(zhuǎn)換，采樣頻率設(shè)置為45.5 MHz;FPGA芯片EP2C30實(shí)現(xiàn)高速采樣數(shù)據(jù)的存儲(chǔ);DSP芯片C6747實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)陷波算法、帶寬壓縮和FFT，并計(jì)算相位差［10］。調(diào)整信號(hào)發(fā)生器AD9959，改變信號(hào)幅度，將信噪比設(shè)置到－60 dB，進(jìn)行相位差檢測(cè)。直接對(duì)采樣后數(shù)據(jù)進(jìn)行信號(hào)處理，得到的原始信號(hào)頻譜及經(jīng)過自適應(yīng)陷波和壓縮帶寬后的信號(hào)頻譜如圖4所示。

圖4 信號(hào)頻譜圖Fig.4 The spectrum of the signal

從圖4可以看出，由于信號(hào)非常微弱，直接對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行FFT變換后，信號(hào)的頻譜淹沒在噪聲中，信號(hào)的頻率無法檢測(cè)出來，相位就更加無法檢測(cè)。而經(jīng)過自適應(yīng)陷波處理后，噪聲被壓縮到－80 dB以下，信號(hào)的頻譜明顯大于噪聲，可以明顯看到信號(hào)頻譜。對(duì)信號(hào)頻譜進(jìn)行相位檢測(cè)，可以得到準(zhǔn)確的相位結(jié)果。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)微弱信號(hào)的相位檢測(cè)，采用自適應(yīng)陷波方法，將需要進(jìn)行相位檢測(cè)的信號(hào)提取出來，然后采用壓縮帶寬提高信噪比，從而實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)的相位檢測(cè)。采用基于DSP的硬件處理系統(tǒng)對(duì)石英晶體輸出信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，在其輸出信噪比為－60 dB時(shí)，相位檢測(cè)精度達(dá)到2×10－6，滿足應(yīng)用需求。

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