張碧陶 皮佑國

(華南理工大學自動化科學與工程學院，廣東廣州510640)

永磁同步電機(PMSM)伺服系統(tǒng)中的參數(shù)變化和外部負載擾動等因素影響著控制系統(tǒng)的性能．滑?？刂萍夹g(shù)具有對系統(tǒng)參數(shù)時變和外部擾動的強魯棒性，但傳統(tǒng)的滑?？刂葡到y(tǒng)存在抖震問題［1］．比較流行的削減滑模抖震的方法主要有3種:邊界層內(nèi)的正側(cè)化方法［2］、基于觀測器的調(diào)節(jié)方法(利用狀態(tài)觀測器來觀察抖震，實現(xiàn)滑?？刂破鞯膭討B(tài)調(diào)節(jié)［3-4］)、高階滑?？刂扑惴ǎ?］．這 3 種方法在一定程度上能減弱抖震，但前2種方法不具有傳統(tǒng)滑?？刂破鞯聂敯粜?，使得系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差［6-7］;后一種算法復雜，在低階(一階或二階)系統(tǒng)的控制律中存在控制器輸出信號與其導數(shù)的耦合，不利于滑?？刂坡傻脑O(shè)計．模糊控制雖然具有強魯棒性且不依賴系統(tǒng)模型、能充分利用專家信息等優(yōu)點，但模糊控制系統(tǒng)存在較大的靜差［8］．減小模糊控制的靜差的方法有:(1)細化模糊規(guī)則，但會造成規(guī)則數(shù)目“爆炸”而且效果并不明顯［9-10］;(2)針對不同的誤差等級采用不同分辨率的模糊集［9，11］，但是當偏差和偏差變化范圍很大時，會造成計算量和存儲器的花費呈指數(shù)增長;(3)在控制規(guī)則中采用3維比例－積分－微分(PID)型模糊控制器，但會降低系統(tǒng)的動態(tài)性能［9，12］．

針對永磁同步電機伺服系統(tǒng)的參數(shù)時變和外部負載擾動，文中結(jié)合滑?？刂坪湍：刂频膬?yōu)點，把分數(shù)階微積分理論引入到控制系統(tǒng)中，提出了模糊分數(shù)階滑?？刂撇呗裕：？刂葡到y(tǒng)的輸入是滑模面，有利于減少常規(guī)模糊控制的靜差;模糊推理輸出能柔化控制作用，削減常規(guī)滑?？刂频亩墩穑：？刂葡到y(tǒng)保持了模糊控制的不依賴系統(tǒng)數(shù)學模型的優(yōu)點并具有滑?？刂频膹婔敯粜裕謹?shù)階微積分是整數(shù)階微積分的擴展，有利于系統(tǒng)達到更好的控制性能．

1 永磁同步電機模型描述

永磁同步電機在旋轉(zhuǎn)坐標系中的數(shù)學模型為［13］

電磁轉(zhuǎn)矩方程為

動力方程為

式中，Tl為負載力矩，Bm為摩擦系數(shù)，J為轉(zhuǎn)動慣量，ωr為電機轉(zhuǎn)速．

通過應用矢量控制，動力方程可以簡化為

把動力方程(4)代入電磁轉(zhuǎn)矩方程(2)，可得

式中，a=Bm/J，b=kp/J，c=Tl/J．

考慮電機參數(shù)變化，式(5)可以表示為

其中，Δa、Δb、Δc為系統(tǒng)參數(shù)攝動．

假設(shè)總的攝動滿足:

2 模糊分數(shù)階滑模控制器的設(shè)計

文中選擇如下分數(shù)階切換流形面(s):

式中:ki為滑模面增益為分數(shù)階微分算子，t為積分上限，r為分數(shù)階微積分，定義為

Γ(z)為Gamma函數(shù)．

采用的模糊規(guī)則為

模糊輸入輸出對應的推理規(guī)則和隸屬度函數(shù)分別如表1和圖1所示．

表1 模糊輸入輸出規(guī)則表Table 1 Rule-base of fuzzy inputs and outputs troller

圖1 模糊輸入輸出的隸屬度函數(shù)Fig．1 Membership functions of fuzzy inputs and output

使用重心法對模糊輸出Δu進行解模糊計算:

式中，kj為第j個論域的中心值．

3 系統(tǒng)性能分析

的狀態(tài)穩(wěn)定地收斂到零點的充要條件是

式中，arg(·)為相角，spec(A)為矩陣A的特征向量．

對于文中提出的控制系統(tǒng)，當系統(tǒng)進入滑模狀態(tài)(s=0)時，有

因為ki∈R+，故有 arg(－ki) =π ＞ rπ/2．因此，分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)能穩(wěn)定地收斂到零點．

分數(shù)階方程(12)的解為

可見，整數(shù)階系統(tǒng)的指數(shù)收斂性是分數(shù)階系統(tǒng)的特殊形式．在分數(shù)階系統(tǒng)中，可以通過調(diào)節(jié)階數(shù)r來改變系統(tǒng)的收斂性，以達到更好的控制性能．

4 仿真分析

為說明文中方法的有效性，文中基于永磁同步電機伺服系統(tǒng)速度環(huán)，分別考察模糊分數(shù)階滑?？刂破?0＜r＜1)和模糊一階滑?？刂破?r=1)的階躍響應及抗外部負載擾動．

文中以Matlab軟件為仿真工具，采用圖2所示的仿真平臺．永磁同步電機參數(shù)如下:Rs=1．15 Ω，Ld=Lq=8．5 ×10－3H，np=4，J=2．5 ×10－3kg·m2，Bm=0．8 ×10－3N·m·s，ωr=1000r/min，P=1kW．

圖2 永磁同步電機伺服系統(tǒng)仿真平臺Fig．2 Simulation plant of PMSM servo system

兩種滑?？刂葡到y(tǒng)的單位階躍響應如圖3所示，模糊邏輯推理系統(tǒng)的控制輸出Δu如圖4所示．

從圖3和4可以看出，模糊分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的抖震比常規(guī)模糊一階滑模系統(tǒng)小;模糊分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)階躍響應的穩(wěn)態(tài)誤差為0．系統(tǒng)抗外部負載擾動過程為:利用Matlab的step模塊，空載運行到第12秒時，令step=0．03(突加負載)，當系統(tǒng)運行到第13秒時，令step=－0．03(突減負載)，仿真結(jié)果如圖5所示．

從圖5可以看出模糊分數(shù)階滑模控制系統(tǒng)具有對外部負載擾動的強魯棒性．圖6給出分數(shù)階導數(shù)r對系統(tǒng)性能的影響:隨著r值的增加，系統(tǒng)的抖震幅值不斷加大;當r減小到某值時，抖震再次加強．一般地，r在區(qū)間(0，1)內(nèi)存在一個較優(yōu)的值．

圖6 r對系統(tǒng)性能的影響Fig．6 Effects of r on system performance

5 實驗驗證

采用文中提出的模糊分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)與常規(guī)模糊滑?？刂葡到y(tǒng)在永磁同步電機伺服系統(tǒng)中進行控制性能的比較實驗．此外，通過突加負載擾動實驗來驗證模糊分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的抗外部負載擾動能力．PMSM伺服系統(tǒng)實驗平臺如圖7所示，主控板是基于TMS320F2812的DSP處理器．PC機主要是采集伺服電機反饋回來的數(shù)據(jù)并進行分析比較．永磁同步電機主要參數(shù)同仿真實驗所用參數(shù)．

圖7 PMSM伺服系統(tǒng)的實驗平臺Fig．7 Experimental plant of PMSM servo system

實際伺服系統(tǒng)在空載時的速度環(huán)階躍響應如圖8所示，由于TMS320F2812的DSP處理器是定點DSP，圖中縱坐標響應速度為標么值，而實際速度=標么值×額定轉(zhuǎn)速．從圖8可以看出，模糊分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的抖震幅值比常規(guī)模糊一階滑模系統(tǒng)小，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果一致．因此，文中提出的模糊分數(shù)階滑?？刂破髂芟鳒p傳統(tǒng)滑模控制系統(tǒng)中的抖震，達到較高的綜合控制性能．

圖8 兩種滑模系統(tǒng)的速度環(huán)階躍響應Fig．8 Speed-loop step responses of the two sliding-mode systems

圖9為系統(tǒng)的抗外部負載擾動的魯棒性實驗結(jié)果．實驗過程為:永磁同步電機帶動直流發(fā)電機啟動，負載電流約為0．04 A．當電機速度達到穩(wěn)速400r/min并運行到第1秒時，改變變阻箱的阻值，使得負載電流約為0．12A，作用到第2秒時，再次改變變阻箱的阻值，使負載恢復到啟動時的值．從圖9可以看出，當系統(tǒng)進入滑模運動時，盡管施加3倍原負載的擾動(見圖9(b))，但響應速度基本保持在恒定值(見圖9(a));抗外部負載擾動實驗結(jié)果與仿真結(jié)果一致．因此，模糊分數(shù)階滑模控制系統(tǒng)能保持傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)對外部負載擾動的強抗干擾性．

圖9 抗外部負載擾動的魯棒性實驗結(jié)果Fig．9 Experimental results of robustness rejecting external load disturbance

6 結(jié)語

文中針對永磁同步電機伺服系統(tǒng)的參數(shù)時變和外部負載擾動對系統(tǒng)控制性能的影響，著手解決傳統(tǒng)一階滑模控制系統(tǒng)的抖震和常規(guī)模糊控制器的靜差問題，設(shè)計了模糊分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)．永磁同步電機伺服系統(tǒng)速度環(huán)的仿真和實驗表明，文中提出的模糊分數(shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)不但有效地削減傳統(tǒng)滑?？刂葡到y(tǒng)中存在的抖震，而且系統(tǒng)的輸出能快速地響應指令輸入并在負載擾動下保持恒定值，具有較高的綜合控制性能．

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