趙小瑩 柯騰龍 丁憶涵

（北京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，北京100191）

引 言

采用陣列天線可以提高天線增益和輻射效率，控制波束、降低副瓣電平，或是對(duì)某個(gè)特定方向產(chǎn)生零陷抑制，使系統(tǒng)達(dá)到更好的電磁兼容性［1－2］。因此，陣列天線方向圖的綜合技術(shù)和相關(guān)優(yōu)化算法越來(lái)越受到重視。陣列天線方向圖綜合一般是通過(guò)改變陣元激勵(lì)的幅度、相位或位置等多個(gè)參量使天線陣的遠(yuǎn)區(qū)方向圖滿足所需要求。

陣列天線綜合的傳統(tǒng)方法有Chebyshev綜合法和Taylor綜合法［2］，但是由于天線優(yōu)化過(guò)程中的目標(biāo)函數(shù)或約束條件呈多參數(shù)和非線性的特點(diǎn)，傳統(tǒng)的陣列天線綜合方法無(wú)法有效地求得工程上的滿意結(jié)果。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，近幾年來(lái)應(yīng)用仿生優(yōu)化算法對(duì)陣列天線進(jìn)行綜合已成為研究的熱門課題［15］。 遺傳算法 （GA）［8－10，13］和粒子群算法（PSO）［12，14］已被廣泛地應(yīng)用到優(yōu)化陣列天線的方向圖綜合領(lǐng)域。作為另一種智能仿生算法，本文采用蟻群算法［3］（ACO），以天線陣元的激勵(lì)為待優(yōu)化變量，以陣列天線副瓣電平和給定方向產(chǎn)生零陷抑制為設(shè)計(jì)目標(biāo)，對(duì)陣列天線的方向圖進(jìn)行優(yōu)化。

蟻群算法是一種基于蟻群在覓食過(guò)程中尋找食物與蟻巢間最短路徑的原理而發(fā)展起來(lái)的一種智能仿生算法。蟻群算法由Marco Dorigo于1992年在他的博士論文中提出，一直受到廣大學(xué)者的研究和關(guān)注。蟻群算法收斂速度快，魯棒性強(qiáng)，在解決旅行商問(wèn)題［4］（TSP）、車業(yè)作業(yè)調(diào)度問(wèn)題［5－6］（JSP）等問(wèn)題中都取得了不錯(cuò)的效果。在優(yōu)化天線陣列領(lǐng)域，文獻(xiàn)［7］中，將天線陣陣元的激勵(lì)置成1或0（即只有‘開’和‘關(guān)’兩種狀態(tài)），利用蟻群算法，優(yōu)化了稀布陣問(wèn)題。由于傳統(tǒng)蟻群算法對(duì)離散問(wèn)題非常有效但難以優(yōu)化連續(xù)函數(shù)問(wèn)題，所以目前將蟻群算法應(yīng)用到陣列天線綜合領(lǐng)域還極少見(jiàn)文獻(xiàn)報(bào)道，而連續(xù)函數(shù)優(yōu)化是現(xiàn)代陣列天線綜合技術(shù)必需解決的問(wèn)題。其他智能仿生算法大部分本就適用于連續(xù)函數(shù)優(yōu)化，例如文獻(xiàn)［13］［14］通過(guò)優(yōu)化可連續(xù)改變陣元的激勵(lì)幅度，達(dá)到降低副瓣電平并且對(duì)某些特定方向產(chǎn)生零陷抑制的天線陣方向圖設(shè)計(jì)的目的。

為了解決傳統(tǒng)蟻群算法對(duì)于構(gòu)建螞蟻路徑時(shí)的離散性和陣列天線函數(shù)的連續(xù)變量之間的矛盾，本文提出一種改進(jìn)型的蟻群算法，該算法將函數(shù)的連續(xù)變量進(jìn)行不整編碼，并根據(jù)連續(xù)變量的特點(diǎn)，在變量鄰域內(nèi)同樣更新信息素。針對(duì)于傳統(tǒng)蟻群算法易于收斂到局部最優(yōu)解的缺點(diǎn)，引入最優(yōu)點(diǎn)鄰域搜索［11］，在提高算法的收斂速度的同時(shí)，也在一定程度上提高了算法的最優(yōu)解搜索能力。

本文首先對(duì)基本蟻群算法進(jìn)行簡(jiǎn)介，然后詳細(xì)闡述了改進(jìn)型蟻群算法的技術(shù)要點(diǎn)，最后通過(guò)引入4個(gè)實(shí)例表明采用改進(jìn)型蟻群算法進(jìn)行陣列天線綜合是可行且有效的。并在實(shí)例中與相關(guān)文獻(xiàn)的遺傳算法［13］和粒子群算法［14］進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明本文方法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

1.基本蟻群算法介紹

基本的蟻群算法可以用蟻群算法解決TSP問(wèn)題的例子來(lái)予以說(shuō)明［4］。TSP問(wèn)題是指：在給定的n個(gè)城市，找出一條最短的經(jīng)過(guò)所有城市并且每個(gè)城市都只經(jīng)過(guò)一次的封閉路線。假設(shè)有m只螞蟻，城市i和城市j之間的距離為dij（i，j＝1，2…，n），在t時(shí)刻，城市i和城市j之間的信息素大小為τij（t），螞蟻根據(jù)信息素的大小，來(lái)確定下一步選擇的城市。在t時(shí)刻螞蟻k由原來(lái)的城市i向城市j移動(dòng)的概率表示為（t），概率的計(jì)算公式為

式中：ηij為啟發(fā)因子；這里ηij＝1/ddij；Tabuk表示螞蟻k已經(jīng)走過(guò)的城市；α和β表示用于調(diào)節(jié)信息素強(qiáng)度和啟發(fā)式信息強(qiáng)度的系數(shù)。當(dāng)每只螞蟻都完成一次遍歷之后，需要對(duì)信息素進(jìn)行更新。信息素的更新公式為

式中，ρ為信息素殘留因子，范圍為0到1之間。

基本蟻群算法優(yōu)化的變量都是離散的，而陣列天線方向圖綜合問(wèn)題的待優(yōu)化變量如天線陣元的激勵(lì)，均是連續(xù)性的變量，所以基本蟻群算法并不適用于陣列天線方向圖綜合問(wèn)題。

2.改進(jìn)型蟻群算法

2.1 目標(biāo)函數(shù)分析

本天線陣方向圖綜合的問(wèn)題，考慮為一個(gè)由2n個(gè)各向同性天線陣元組成的等間距直線陣列天線，其陣元的激勵(lì)電流幅度為對(duì)稱的，通過(guò)調(diào)整每個(gè)陣元的激勵(lì)電流的幅度使得天線陣列的方向圖達(dá)到預(yù)期的特性指標(biāo)。天線陣的陣因子可以表示為

式中：Is為在天線陣列中的第s個(gè)陣元的激勵(lì)幅度；d為陣元間的距離；α＝kdcosφ0，當(dāng)且僅當(dāng)φ＝φ0時(shí)F（φ）最大，即主瓣指向的方向?yàn)棣?方向。

對(duì)于本天線陣方向圖綜合，考慮的方向圖的特性指標(biāo)為最大副瓣電平和指定位置上的零陷深度，所以將優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)定義為

式中：SLVL為最大旁瓣電平的期望值；MSLL為計(jì)算得到的實(shí)際方向圖的最大旁瓣電平；NLVL為零陷深度的期望值，并且期望在φi角度上獲得零陷，其中當(dāng)MSLL＜SLVL時(shí)令γ｜MSLL－SLVL｜項(xiàng)為0，當(dāng)（φi）＜NLVL時(shí)令項(xiàng)為0.

2.2 不整編碼尋優(yōu)

針對(duì)陣列天線綜合這個(gè)多變量連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題，將每個(gè)天線陣元的激勵(lì)幅度In都限定在0到1之間，在精度允許的情況下，將每個(gè)激勵(lì)變量都分成m等分，于是構(gòu)成了m×n個(gè)離散點(diǎn)，從而將n個(gè)變量的連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為在m×n個(gè)離散點(diǎn)選擇出n個(gè)點(diǎn)的離散優(yōu)化問(wèn)題。

每個(gè)螞蟻都從把第一個(gè)陣元作為起點(diǎn)，將最后一個(gè)陣元作為終點(diǎn)，當(dāng)螞蟻從第一個(gè)陣元走到最后一個(gè)陣元的時(shí)候，每個(gè)螞蟻構(gòu)成一個(gè)解。這里將信息素定義在每個(gè)離散的點(diǎn)上，而不是定義在路徑上。第k只螞蟻，在第i個(gè)陣元上，在m個(gè)點(diǎn)中選擇第j個(gè)點(diǎn)的概率為

式中：α用于調(diào)節(jié)信息素強(qiáng)度；τij表示為在第i個(gè)陣元的第j個(gè)等分點(diǎn)上的信息素，如果在第i個(gè)陣元上選擇了第j個(gè)等分點(diǎn)，就代表螞蟻k在第i個(gè)陣元上選擇的激勵(lì)為j/m.當(dāng)每個(gè)螞蟻都完成各自遍歷之后，將每個(gè)螞蟻的路徑都轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的激勵(lì)，并計(jì)算天線陣的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖，最后計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的值。

2.3 鄰域優(yōu)化

盡管將天線陣列方向圖綜合問(wèn)題進(jìn)行了離散化處理，但其本質(zhì)上仍是連續(xù)性問(wèn)題。在這里，根據(jù)該問(wèn)題連續(xù)性的特點(diǎn)，通過(guò)引入了最優(yōu)解鄰域?qū)?yōu)和鄰域信息素更新，來(lái)進(jìn)一步提高算法的尋優(yōu)能力。

在所有的螞蟻都完成一次遍歷后，進(jìn)行最優(yōu)解的鄰域?qū)?yōu)［11］。最優(yōu)解的鄰域?qū)?yōu)主要是在該次迭代最優(yōu)解的路徑上的一個(gè)鄰域范圍內(nèi)，隨機(jī)選出若干條新的路徑，并計(jì)算這些新路徑的目標(biāo)函數(shù)值，如果在這些新路徑中尋找到了比原來(lái)的最優(yōu)路徑更好的路徑，則用該新路徑替換掉原來(lái)的最優(yōu)路徑。最優(yōu)解的鄰域?qū)?yōu)可以加快算法的收斂速度和尋優(yōu)能力，但是在鄰域范圍內(nèi)搜索過(guò)多的路徑也會(huì)大大增加算法的復(fù)雜度。在這里，假設(shè)一共有ant只螞蟻，則鄰域內(nèi)的搜索路徑條數(shù)應(yīng)該控制在ant/4以內(nèi)。

螞蟻完成遍歷并且完成鄰域?qū)?yōu)后，最后進(jìn)行信息素的更新。信息素的更新分兩個(gè)步驟進(jìn)行。首先進(jìn)行的是信息素的全局更新。假設(shè)共有ant只螞蟻，在第t次迭代中，信息素的全局更新按照如下規(guī)則進(jìn)行

式中：F（k）代表的是第k只螞蟻的目標(biāo)函數(shù)值；ρ為信息素蒸發(fā)系數(shù)。在這里μ可以取10～15之間，另外Q1和Q2為信息素增強(qiáng)系數(shù)，一般取Q1＝3Q2，從而在最優(yōu)的路徑上增加更多的信息素，大大提高算法的收斂速度。在完成信息素的全局更新之后，進(jìn)行信息素的鄰域更新，即在每個(gè)螞蟻的遍歷路徑上經(jīng)過(guò)點(diǎn)的附近，也同樣增加一定的信息素，用來(lái)表示第k只螞蟻鄰域上的信息素增加量

式中χ一般可以取2到5之間。

3.應(yīng)用舉例

優(yōu)化對(duì)象選取為線性對(duì)稱天線陣列，陣元為理想點(diǎn)源，忽略了陣元互耦、陣元通道幅相誤差等因素的影響。算法中權(quán)系數(shù)γ和δ分別取1和0.15，螞蟻數(shù)ant取為60，不整編碼等分?jǐn)?shù)m＝600，調(diào)節(jié)信息素強(qiáng)度系數(shù)α取為1，信息素增強(qiáng)系數(shù)Q1取為1.5.

［例1］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，30°方向形成零陷。

在經(jīng)過(guò)1 000次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的 電 流 激 勵(lì) 幅 度 依 次 為 0.94，0.908 33，0.82，0.731 67，0.595，0.48，0.348 33，0.236 67，0.158 33，0.093 33，其方向圖如圖1所示，最大副瓣電平為－40.077dB，零陷深度為－97.776dB，滿足了設(shè)計(jì)指標(biāo)，比基于雙種群遺傳算法的文獻(xiàn)［13］的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了3.421 1dB和6.496 6dB.其迭代過(guò)程圖如圖2所示，在大約150次迭代時(shí)，目標(biāo)函數(shù)f就已經(jīng)收斂到5附近，收斂速度較快。

［例2］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.4λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，30°方向形成零陷。

在這里不整編碼等分?jǐn)?shù)m＝1 000，其他參數(shù)保持不變。在經(jīng)過(guò)1 000次迭代后，在經(jīng)過(guò)1 000次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的電流激勵(lì)幅度依次為0.964，0.96，0.811，0.812，0.551，0.572，0.296，0.312，0.114，0.134，其方向圖如圖3所示，最大副瓣電平為－41.36dB，零陷深度為－95.672dB，比文獻(xiàn)［13］中的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了5.821 8dB和3.737 7dB，方向圖如圖3所示。

［例3］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－40dB，NLVL＝－90dB，在64°、70°和76°三個(gè)位置形成零陷。

在這里不整編碼等分?jǐn)?shù)m＝1 000，其他參數(shù)保持不變。在經(jīng)過(guò)1 000次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的電流激勵(lì)幅度依次為0.923，0.870，0.789，0.691，0.557，0.442，0.322，0.216，0.104，0.70，得到的最大副瓣電平為－39.457dB，3處零陷中絕對(duì)值最小的零陷深度為－91.519dB，比文獻(xiàn)［13］中的最大副瓣電平和零陷深度分別降低了2.800 2dB和2.308 3dB，方向圖如圖4所示。

［例4］設(shè)計(jì)指標(biāo)：n＝10，即天線的陣元個(gè)數(shù)為20個(gè)，陣元間距d＝0.5λ，主瓣對(duì)準(zhǔn)90°方向，SLVL＝－15dB，NLVL＝－95dB，在30°、40°、50°、60°和70°位置形成零陷。

由于需要優(yōu)化的零陷個(gè)數(shù)較多，優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜度較高。為了提高算法的搜索精度，令m＝10 000，ant＝100.在經(jīng)過(guò)100次迭代后，優(yōu)化結(jié)果如下：其陣元的激勵(lì)幅度依次為0.737 7，0.733 6，0.728，0.595 9，0.652 1，0.615 8，0.472 4，0.235 2，0.398 5，0.069 6，得到的各個(gè)角度的零陷深度均在－95dB以下，而且其最大副瓣電平為－20.044 dB，比文獻(xiàn)［14］中同樣采用100個(gè)粒子100次迭代的粒子群優(yōu)化（PPSO）算法優(yōu)化的最大副瓣電平降低了2.213dB.其方向圖如圖5所示。

4.結(jié) 論

采用改進(jìn)型蟻群算法，通過(guò)優(yōu)化天線陣元的電流激勵(lì)幅度，完成天線陣方向圖綜合，效果良好，計(jì)算結(jié)果表明其優(yōu)化結(jié)果優(yōu)于遺傳算法和粒子群算法。改進(jìn)型蟻群算法，通過(guò)加入不整編碼和鄰域優(yōu)化，比傳統(tǒng)的蟻群算法更適合于連續(xù)函數(shù)的優(yōu)化，并且不容易陷入局部最優(yōu)，收斂速度較快，為解決多變量連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題提供了一種新思路新方法。

圖5 0.5λ間距30°、40°、50°、60°和70°方向形成零陷的優(yōu)化方向圖

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