程樹林

數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的研究

程樹林

高等數(shù)學(xué)是高等院校中非常重要的一門基礎(chǔ)課程，由于學(xué)習(xí)方法的問題，很多學(xué)生認(rèn)為這門課難學(xué)。針對這些問題，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模方法，改進(jìn)高數(shù)教學(xué)。

高等數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模思想；數(shù)學(xué)軟件；結(jié)合實例

一、在數(shù)學(xué)概念講解中融入數(shù)學(xué)建模思想

高等數(shù)學(xué)中的很多概念都是非常抽象的，比如極限、導(dǎo)數(shù)、定積分和積分等，大多院校部分專業(yè)，千篇一律講授同樣的數(shù)學(xué)理論。筆者主張分專業(yè)，結(jié)合實際講授理論。比如在工科專業(yè)講授極限定義時，找到與專業(yè)相關(guān)的一些模具，如圓環(huán)，講解以多邊形近似代替圓形。最早并沒有出現(xiàn)圓形，人們就用正多邊形去逼近圓形，發(fā)現(xiàn)邊數(shù)越多，變長就越短，近似效果就越好。若用S表示圓面積，Sn表示圓內(nèi)接正n邊形的面積，顯然，正多邊形的邊數(shù)n越多，正 邊形的面積Sn就越接近于圓的面積S，當(dāng)邊數(shù)n無限增加時，正n邊形的面積Sn就無限接近于圓的面積S。分析：Sn=1/2*R2*sin(2π/n)= πR2*sin(2π/n)/(2π/n)，當(dāng) n趨近于正無窮大時，Sn就無限接近于圓的面積S。上述分析中，Sn是n的函數(shù)，我們關(guān)注的焦點是當(dāng)自變量n趨近于正無窮大這個“目標(biāo)”時，函數(shù)Sn無限地接近于S。與之區(qū)分的是，同樣的內(nèi)容在經(jīng)貿(mào)專業(yè)中可以用實例講授極限定義：晚上，當(dāng)你走在大街上，會發(fā)現(xiàn)你的影子時長時短，當(dāng)你從任何方向走近路燈時，你的影子都會隨著你與路燈距離的接近而越來越近，此現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)上就是極限。對于航空電子專業(yè)而言，由于該專業(yè)是與加拿大聯(lián)合辦學(xué)，學(xué)生畢業(yè)要去加拿大學(xué)習(xí)深造，所以在講授極限定義時，要結(jié)合國外的講課思路，我們首先選取幾個有代表性的數(shù)列，通過研究數(shù)列極限的方法，得到函數(shù)極限的定義，同時所有內(nèi)容使用中英結(jié)合的方式講授。再如，講述定積分概念時，在工科專業(yè)中我們大膽創(chuàng)新，將不定積分和定積分結(jié)合在一起將，同時給出不定積分與定積分的定義，讓學(xué)生自己看出二者的不同，發(fā)現(xiàn)問題，所以在計算結(jié)果中自然不定積分得到的是全體原函數(shù)，而定積分得到的是一個數(shù)字。二者在計算方法上是極為相似的，我們正是從這一點出發(fā)，結(jié)合二者教學(xué)的。在經(jīng)貿(mào)專業(yè)中，筆者在講完導(dǎo)數(shù)和微分后，馬上講不定積分，讓學(xué)生充分了解二者的互逆運算，并利用整體法模型，講授第一換元法，而學(xué)好第一換元法是學(xué)習(xí)第二換元和分部積分的前提。

二、在定理公式證明中融入數(shù)學(xué)建模思想

高職院校高等數(shù)學(xué)課時有限，許多定理和公式都讓學(xué)生直接記憶，造成學(xué)生很難理解，這樣效果很不好。實際上，數(shù)學(xué)定義和定理都有它實際的自然背景或者間接的背景，經(jīng)過抽象之后成為了定理.結(jié)合數(shù)學(xué)建模的思想方法，把定理的條件看作模型假設(shè)，根據(jù)預(yù)先設(shè)置的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)定理的結(jié)論，不但使學(xué)生學(xué)到知識，也讓他們體驗到探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，讓學(xué)生產(chǎn)生成就感，同時也讓學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣.例如，在講授兩個重要極限時，工科專業(yè)可以從它的“0/0”，“1∞”的形式讓學(xué)生自己分析極限類型，然后做出判斷，再套用重要極限得出結(jié)果。但是對于經(jīng)貿(mào)專業(yè)，學(xué)生我們就要對于這兩個極限，先有規(guī)律的對x選取不同的值，直至x趨近于0通過計算軟件得出結(jié)果，讓學(xué)生觀察結(jié)果的趨勢，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x趨近于0時，sinx/x的結(jié)果是無限趨近于1的。先讓學(xué)生表面上知道這個極限的趨勢，然后提供給學(xué)生模型， 如 “上下一致”“內(nèi)外一致”，“倒數(shù)關(guān)系”“符號一致”等口訣或竅門供學(xué)生記憶，在求極限時，可以利用口訣往模型里代，即可算出結(jié)果。同樣，在航空電子專業(yè)加拿大班的教學(xué)中，我采用數(shù)學(xué)軟件的方法進(jìn)行極限計算，學(xué)生在學(xué)過筆算極限后，通過計算機(jī)計算，很快得到結(jié)果，這就使學(xué)生產(chǎn)生一種創(chuàng)造極限計算的思想，通過計算機(jī)，學(xué)生可以把平時困擾自己的一些特殊極限或較難極限，通過數(shù)學(xué)軟件得到結(jié)果，同時學(xué)生會根據(jù)結(jié)果的類型，順藤摸瓜，找到正確的求解方法，同樣，這也構(gòu)成一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)模型。在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中，公式提供給我們的是，先將復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解，然后讓每一部分都對中間變量進(jìn)行求導(dǎo)，最后在一層一層的帶回去，這樣計算起來很麻煩.那我在教學(xué)過程中，先讓學(xué)生熟記最基本最簡單的求導(dǎo)公式，然后對于復(fù)合函數(shù)，只要求學(xué)生分清層數(shù)就行，讓學(xué)生從最外層開始，一層一層求導(dǎo)，每求一層導(dǎo)數(shù)，都要把后面剩下的函數(shù)部分看成一個整體，每一層再相乘.這樣不論多么復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，都可以在第一步中把所有要求的導(dǎo)數(shù)，都求出來，下一步整理好即可，這種方法我們稱為整體模型替代法。就求解取邊梯形面積為例，對不規(guī)則的圖形進(jìn)行劃分，然后在局部用規(guī)則的圖形近似代替不規(guī)則的圖形，用規(guī)則的面積近似代替不規(guī)則的面積，這樣再無窮的劃分下去，結(jié)合極限就可以求出取邊梯形整體的面積，從而引出定積分的定義.這種數(shù)型結(jié)合，從數(shù)學(xué)模型出發(fā)，引出數(shù)學(xué)概念的方法，不僅可以讓學(xué)生先思考如何解決問題，還可以讓學(xué)生更好的理解定積分的概念，從而理解不定積分與定積分的區(qū)別。

三、結(jié)合實際案例，培養(yǎng)學(xué)生建模能力

學(xué)生每學(xué)完一個知識點，做過一些相應(yīng)的習(xí)題后，都應(yīng)該結(jié)合實際問題，通過各種方法才解決貼近生活的各種問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的樂趣和實用。例如，學(xué)完導(dǎo)數(shù)計算后，我在工科專業(yè)中講解利用導(dǎo)數(shù)解決物理問題，如：設(shè)有每米重2kg的均勻桿，其一端用鉸鏈固定于O點，而在離O點1m處，掛著100kg重的物體，問這桿應(yīng)多長，才可以用最小的力把這重物舉起來？這里設(shè)桿長為x(m)，所用的力F=F().對 O點取力矩，得 F()=100*1+2x*x/2，即 F=F()=100/x+x (1〈x〈+∞).由于桿本身具有一定的質(zhì)量，因此，太長或太短，所用的力都不會最小，這里我們對F()求導(dǎo)，的到其導(dǎo)數(shù)為-100/(x2)+1，令導(dǎo)為零，得駐點x=10，,x=-10（舍去），又因為將 x=10 帶入 F（x）二階導(dǎo)數(shù)時，使其大于零，即F=F()在點x=10處取得極小值,即為最小值.因此，當(dāng)桿長為10m時，所用的力為最小.

而我在經(jīng)貿(mào)專業(yè)中講解一些導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題，如：已知某產(chǎn)品的成本函數(shù)和價格函數(shù)分別為C(x)=50+2x，P(x)=10-x/5，問生產(chǎn)量為多少時，利潤達(dá)到最大？這里，由所給成本函數(shù)和價格函數(shù)我們首先能夠得到總收入函數(shù)R(x)=xP(x)=10x-x2/5，然后得到利潤函數(shù)L(x)=R(x)-C(x)=8x-x2/5-50，對其求導(dǎo)數(shù)得L(x)的導(dǎo)數(shù)為8-2x/5，令導(dǎo)數(shù)為零，得x=20，進(jìn)而計算L(x)的二階導(dǎo)數(shù)，將x=20代人L(x)的二階導(dǎo)數(shù)，得到其值小于零，所以得到當(dāng)生產(chǎn)量為20單位時，利潤達(dá)到最大。

四、構(gòu)建興趣小組，塑造良好學(xué)風(fēng)

大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)課堂教學(xué)時間十分有限，但數(shù)學(xué)建模所需要的知識又非常豐富，如果想讓學(xué)生透徹了解并掌握知識點，就需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效的課后練習(xí)，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。根據(jù)不同專業(yè)，組織數(shù)學(xué)建模興趣小組，如在工科專業(yè)中，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生分組討論，得到不同的思考方式和結(jié)果。通過鑒別方法優(yōu)勢比較。同時在計算時，筆者讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件求解數(shù)學(xué)問題，鍛煉學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解的能力。而對經(jīng)貿(mào)專業(yè)學(xué)生，根據(jù)相關(guān)企業(yè)生產(chǎn)數(shù)據(jù)，讓學(xué)生分為討論成本小組，討論收入小組和討論利潤小組。通過計算機(jī)模擬，分組建立相應(yīng)數(shù)學(xué)模型，得到各自的結(jié)論。再將三個小組合并在一起，成為一個整體，從而解決了實際問題，教師在其中起到牽線搭橋，貫穿始末的作用。

五、高等數(shù)學(xué)融入數(shù)學(xué)建模的常見問題

在高等數(shù)學(xué)具體教學(xué)中，需要注意幾個問題：（1）對任課教師的要求。教師與其他專業(yè)領(lǐng)域接觸的機(jī)會很少，更不了解其他專業(yè)的學(xué)習(xí)和發(fā)展情況，這就在結(jié)合實例教學(xué)時產(chǎn)生很大的困難，有的題目與本專業(yè)的聯(lián)系不夠，有的題目選取的又不得當(dāng)，所以我們經(jīng)常到相關(guān)專業(yè)去請教，去學(xué)習(xí)，把最適合學(xué)生的題目，最能促進(jìn)學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)習(xí)方法傳授給學(xué)生。（2）將數(shù)學(xué)建模問題融入到高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中要求任課教師具備解決實際問題的能力，教師應(yīng)具備應(yīng)用數(shù)學(xué)決絕實際問題的能力，這就要求我們教師的知識面要廣泛。此外，還應(yīng)掌握Mathematica、Matlab等數(shù)學(xué)軟件，能夠?qū)⑵溥\用于高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中。（3）在授課過程中，教師要把握好進(jìn)度和時機(jī)，根據(jù)課程的教學(xué)進(jìn)展情況和學(xué)生的掌握程度，適時的選取建模案例，讓學(xué)生從建模問題中了解高等數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用，徹底的學(xué)以致用，掌握相關(guān)知識點。

[1]賈曉峰.微積分與數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，2008.

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[3]楊徐昕，莫曉云.數(shù)學(xué)建模與素質(zhì)教育[J].當(dāng)代教育論壇：學(xué)科教育研究，2007（3）.

G642.0

A

1673-1999（2012）06-0180-02

程樹林（1984-），男,天津人,天津開發(fā)區(qū)職業(yè)技術(shù)學(xué)院（天津300457）基礎(chǔ)部助教。

2012-01-11