洪燕君，熊謀舉，穆永芳，陸瓊(石河子大學(xué)師范學(xué)院，新疆石河子832003)

例談變式教學(xué)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計中的融入
——以“圓的標(biāo)準方程”為例*

洪燕君，熊謀舉，穆永芳，陸瓊
(石河子大學(xué)師范學(xué)院，新疆石河子832003)

我國數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式教學(xué)已經(jīng)成為一種較為成熟的教學(xué)理論，也是一種較為有效的教學(xué)方法，更可以作為一種教學(xué)理念融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計。本文以我們參與調(diào)研的一堂課“圓的標(biāo)準方程”作為課例，從教學(xué)目標(biāo)的定位、例題的精選精講、教學(xué)的后期拓展等方面闡述了變式教學(xué)融入的課堂教學(xué)設(shè)計，為中學(xué)教師設(shè)計變式教學(xué)的數(shù)學(xué)課堂提供一個有益的參考。

變式教學(xué);理念;融入

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)一般多采取演繹的方式，通過由概念引出概念，由思想引出思想，由命題引出命題，進行純思想上、語言上的邏輯推理。雖然這種方法比較注重知識的科學(xué)性，但引入新概念、新定理或證明的動機是隱藏的，學(xué)生不容易對知識點獲得深層次的理解，且這個教學(xué)形式很容易蛻變?yōu)椤皾M堂灌”的課堂，從而使學(xué)生出現(xiàn)無意義的和機械的學(xué)習(xí)。［1］新課程標(biāo)準指出:“應(yīng)為學(xué)生探索求知創(chuàng)設(shè)合適的情境，重視從問題出發(fā)，設(shè)計以解決問題的活動為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)認識過程;要建立合理的數(shù)學(xué)訓(xùn)練系統(tǒng)，要向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源”。

為了改變傳統(tǒng)課堂生硬抽象的教學(xué)弊病，更為了真正貫徹新課程理念，越來越多先進的教學(xué)理論和教學(xué)方法應(yīng)運而生，走進數(shù)學(xué)課堂。其中，變式教學(xué)的理論就是近年來廣受關(guān)注的研究課題，目前已經(jīng)被許多一線的數(shù)學(xué)教師們廣泛接受和應(yīng)用，成為中國數(shù)學(xué)教學(xué)的特征之一。

一、變式教學(xué)研究概述

最早接觸到“變式”一詞，是邵瑞珍等(1982)編著的《教育心理學(xué)》，描述為“變式指概念的肯定例證在無關(guān)特征方面的變化?！保?］在曹才翰、蔡金法(1989)的《數(shù)學(xué)教育學(xué)概論》中，把“變式”作為“影響數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的因素”之一“感性材料或感性經(jīng)驗”的一個方面，描述為“變式是通過變更對象的非本質(zhì)屬性的表現(xiàn)形式，變更人們觀察事物的角度或者方法，突出對象中隱蔽的要素，讓學(xué)生在變式中思維，從而突出一類對象的本質(zhì)屬性?！保?］這在我國算是較早把“變式”引進數(shù)學(xué)概念教學(xué)的理論。但在實踐中最早實施數(shù)學(xué)的變式教學(xué)，并把變式教學(xué)從理論到實踐進行拓展、推進、發(fā)揚光大的，當(dāng)首推數(shù)學(xué)教育專家顧泠沅先生和他的青浦縣數(shù)學(xué)教改實驗小組。早在1980年代初，他們就先進行了“利用變式圖形進行幾何概念教學(xué)”的實驗，后又“把變式移植到代數(shù)的教學(xué)之中”，最后又“采用變式訓(xùn)練的方法開展數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)”，成果豐碩。［4］這些年來，顧先生對變式教學(xué)的關(guān)注和研究一直沒有中斷過。2003年，他的學(xué)生鮑建生等(其實也都是著名的數(shù)學(xué)教育專家)撰文《變式教學(xué)研究》［5］，對顧先生的變式教學(xué)理論進行了全面而深刻的梳理和拓展，并找到國外相應(yīng)心理學(xué)理論支撐，使得變式教學(xué)真正成為我國具有特色的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，作為我國數(shù)學(xué)教育走向世界的一個成功案例。變式教學(xué)其實不僅限于數(shù)學(xué)教學(xué)，但在數(shù)學(xué)教學(xué)中變式教學(xué)卻遍地開花，一片欣欣向榮。所以變式教學(xué)被張奠宙先生描述為“依靠變式提升演練水平”作為中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的四大特征之一［6］。

顧先生及其團隊對變式教學(xué)的持續(xù)研究自然是我國數(shù)學(xué)變式教學(xué)的經(jīng)典權(quán)威之作。也有少數(shù)數(shù)學(xué)教育研究人員對數(shù)學(xué)變式教學(xué)的理論有所拓展，如孫旭花、黃毅英、林智中關(guān)于“數(shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)性變式的研究”等。而更多的中小學(xué)數(shù)學(xué)教師則是領(lǐng)會數(shù)學(xué)變式教學(xué)的理論和方法，將其直接應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，這一類的相關(guān)研究就比較多了。但縱觀這些變式教學(xué)的實踐和理論研究，幾乎都是將變式作為一種理論方法來進行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)或者數(shù)學(xué)習(xí)題例題的教學(xué)等某個側(cè)面的教學(xué)，比較少見的是，將變式教學(xué)作為一種思想理念貫穿于整個數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計中。本文就以我們參與調(diào)研的一堂高中數(shù)學(xué)課:人教A版必修2中“圓的標(biāo)準方程”這節(jié)課的為例，談?wù)勛兪浇虒W(xué)作為理念在數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計中的融入。

二、變式教學(xué)融入“圓的標(biāo)準方程”課堂教學(xué)設(shè)計

1.準確定位教學(xué)目標(biāo)，為變式教學(xué)立穩(wěn)標(biāo)桿

變式教學(xué)融入數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計，首先要考慮的就是課堂教學(xué)目標(biāo)的設(shè)計問題。變式教學(xué)中教師會有意識變換問題的角度和形式，讓學(xué)生在變化中積極思考、歸納、比較，從而掌握事物的本質(zhì)和規(guī)律。但同時我們要注意，無論如何變換問題的角度和形式，總有一點宗旨不能變，那就是:一切都必須圍繞教學(xué)目標(biāo)而行。所以我們在設(shè)計學(xué)習(xí)目標(biāo)時，一定要準確定位，把握重點，找準難點，這樣才能為變式教學(xué)立穩(wěn)標(biāo)桿，更好的把握新課程理念，做到“萬變不離其宗”。

“圓的標(biāo)準方程”這節(jié)課是在學(xué)習(xí)了直線與方程的基礎(chǔ)上，來學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的標(biāo)準方程，因此我們設(shè)置如下教學(xué)目標(biāo):

(1)掌握圓的標(biāo)準方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準方程，也能從給出的圓的標(biāo)準方程中識別出圓心、半徑，并能判斷任意點與圓的位置關(guān)系。

(2)會用待定系數(shù)法和定義法求圓的標(biāo)準方程，在這個過程中要進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。

(3)能用所學(xué)知識解決實際問題，增強數(shù)學(xué)應(yīng)用意識。

其中，教學(xué)重點為圓的標(biāo)準方程的建立與應(yīng)用，教學(xué)難點為體會形成用代數(shù)方法解決幾何問題能力的思想，并會用數(shù)形結(jié)合的思想解決與圓有關(guān)的實際問題。準確定位了教學(xué)重點和難點，教師做到心中有數(shù)，在穩(wěn)定的教學(xué)目標(biāo)指導(dǎo)下，無論如何實施變式教學(xué)也都不會偏離正題。

2.精心選取課堂例題，多重變式達多維目標(biāo)

眾所周知，課堂教學(xué)中有許多的關(guān)鍵點，教師只有把握了教學(xué)的關(guān)鍵點，才能達到在有限的時間內(nèi)不但能圓滿地完成教學(xué)任務(wù)，而且還產(chǎn)生教學(xué)效益最大化。其中例題的選擇和設(shè)計就是這樣一個關(guān)鍵點，所以說例題的選擇至關(guān)重要。

首先本著數(shù)學(xué)來源于生活，學(xué)數(shù)學(xué)是為了會用數(shù)學(xué)的觀點，教師在圓的標(biāo)準方程定義給出之后，可以選擇具有生活情境的例題進行教學(xué)，比如我們選擇書本中如下這道具有實際背景的練習(xí)題。

題目情境:趙州橋，建于隋煬帝大業(yè)年間(595－605年)，至今已有1400年的歷史，出自著名匠師李春之手，是今天世界上最古老的單肩石拱橋，是世界造橋史上的一個創(chuàng)造。若河水的水面跨度為20米，拱高4米?，F(xiàn)有一船，寬10米，水面上高3米。

其次，在提出問題的層次上一定要注意圍繞教學(xué)目標(biāo)來設(shè)置。

(1)如果我們把趙州橋看成一段圓弧，請建立平面直角坐標(biāo)系。

(2)根據(jù)前面的條件，請求出該圓的標(biāo)準方程，并指出圓心和半徑。

(3)請問，該船能否順利通過該圓拱橋?如果能通過，請求出該船的通過區(qū)域。

我們看到這道例題的三個設(shè)問分別對應(yīng)了該節(jié)課的三個教學(xué)目標(biāo)，并且是由淺至深，層層拓展的。但是，需要注意的是教師在問題解析時，一定要對知識點有深刻的理解。如在處理第一個問題的時候，要分析不同建系方法的利與弊;第二個問題是本節(jié)課的核心，不但要求學(xué)生掌握“已知圓上三點用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準方程”，以及利用三點形成的三角形由其外接圓圓心的定義來求出此圓的標(biāo)準方程的方法，還要明確這兩種方法的本質(zhì)聯(lián)系。提出第三個問題是鍛煉學(xué)生理論聯(lián)系實際的能力，讓學(xué)生進一步明確學(xué)以致用這樣的一個學(xué)習(xí)目的。

最后，我們還要注意選擇的例題結(jié)果的呈現(xiàn)形式應(yīng)該盡可能的簡潔。雖然這道例題來自課后的一道作業(yè)題，但是經(jīng)過計算我們發(fā)現(xiàn)該圓的標(biāo)準方程求出來以后，圓心和半徑都是用分數(shù)表示的，所以教師在備課設(shè)計時要充分考慮這個因素，盡量選擇合適的數(shù)字條件，這樣學(xué)生在計算過程中能把主要精力放在對知識的深層次理解上。

這節(jié)課關(guān)于例題這個環(huán)節(jié)的設(shè)計思路和教材的呈現(xiàn)方式完全不同，教無定法，貴在得法。我們在這個例題的選擇和設(shè)計上，運用了由簡單到復(fù)雜、由一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，通過觀察、歸納比較進行合情推理，有利于培養(yǎng)學(xué)生主動探究問題以及問題解決的能力，進一步地，例題的三個設(shè)問的解答對應(yīng)達成了三個教學(xué)目標(biāo)，不可謂不是精心釀制。

3.深度拓展例題再變式，使知識系統(tǒng)化板塊化

在學(xué)習(xí)了“圓的標(biāo)準方程”以后，緊接著下面會學(xué)到“橢圓”、“雙曲線”、“拋物線”的知識，因為這些知識之間有著本質(zhì)的聯(lián)系，所以我們可以對“趙州橋”的例題進行深度拓展再變式，將其繼續(xù)改編以適應(yīng)新的內(nèi)容，其他條件不變，只需把“圓形拱橋”條件改成“橢圓、雙曲線或拋物線的一段弧”即可。這樣我們的學(xué)生就能體會到學(xué)到的這些知識雖然各有特點，但是又有著千絲萬縷的聯(lián)系的，認識到這些知識原來是屬于同一個系統(tǒng)，同一個知識模塊，提高了學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)意識。

進一步地，在“圓錐曲線”這個單元的復(fù)習(xí)課上，我們通過把趙州橋設(shè)計成是拋物線、圓、橢圓、雙曲線的一段弧長。這些例題得到的結(jié)果用數(shù)形結(jié)合的方式同時呈現(xiàn)在黑板上，然后引導(dǎo)學(xué)生們一起觀察分析其中的區(qū)別，這樣“離心率”的概念就水到渠成了，整個過程一氣呵成，卻又形象生動。此例題的充分變式正印證了著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞形象的觀點:“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能附近就有好幾個”。［5］

從以上對“圓的標(biāo)準方程”課堂教學(xué)設(shè)計的幾個方面的闡述中我們看到，變式教學(xué)的恰當(dāng)融入，不僅可以深化學(xué)生對圓的標(biāo)準方程這個概念的理解，明晰數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，還可以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，活躍課堂氣氛，加強數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系及數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系。所以說，變式教學(xué)對我們廣大一線教師來說應(yīng)該成為一種教學(xué)中的常態(tài)。但是教師平時的教學(xué)不必拘泥于如何使用變式或使用何種變式，不必過于關(guān)注變式教學(xué)的理論如何模式如何等等，教師只需根據(jù)課程具體情況及學(xué)生的實際經(jīng)驗，把變式教學(xué)作為一種思想理念有機地融入課堂教學(xué)，就可以起到提高效率的作用。當(dāng)然就一節(jié)課而言，變式也并不是越多越好，俗話說貪多嚼不爛，這樣不僅會加重學(xué)生的負擔(dān)，而且還會使學(xué)生對解題產(chǎn)生厭煩情緒，所以適度的聯(lián)結(jié)知識點才能達到事半功倍的效果。

三、變式教學(xué)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的意義

1.變式教學(xué)的意義

有關(guān)變式教學(xué)的許多研究都表明，變式教學(xué)是促進有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式。無論是概念性變式促進學(xué)生對概念的多角度理解，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)和建立本質(zhì)的聯(lián)系;還是過程性變式促進數(shù)學(xué)活動的有層次推進，構(gòu)建一個活動經(jīng)驗系統(tǒng)，幫助學(xué)生理解知識的不同組成部分和完善知識結(jié)構(gòu)，建立新舊知識的合理本質(zhì)聯(lián)系，在中國目前的大班教學(xué)的情況下都能使表面“灌輸”的課堂學(xué)習(xí)變成有意義學(xué)習(xí)。正如顧泠沅先生所總結(jié):通過對問題多層次的變式構(gòu)造，使學(xué)生對問題解決過程及問題本身的結(jié)構(gòu)有一個清晰的認識，是學(xué)生積累活動經(jīng)驗、提高問題解決能力的一條有效途徑［5］。眾多的中小學(xué)教師的實踐研究也證明，變式教學(xué)能“變出精彩”“提高學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的熱情”“培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性”“培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力”“培養(yǎng)學(xué)生思維的科學(xué)性、變通性、深刻性”“培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識”，提高數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)。

一般而言，變式教學(xué)就是不斷變換問題的條件和形式，而問題的本質(zhì)特征不變的教學(xué)。變式教學(xué)中，一題多用，多題重組，這所有的變式形成一個有層次的經(jīng)驗系統(tǒng)，這是認知結(jié)構(gòu)的一個重要組成部分。這種教學(xué)形式不僅能促進學(xué)生對知識點的理解以及知識點間內(nèi)在聯(lián)系的深刻認識，而且還避免了大量的重復(fù)運算，有效地提高了學(xué)生對知識的化歸能力、分析問題和解決問題的能力，還使我們的數(shù)學(xué)課堂豐富多彩、生機盎然。

2.變式教學(xué)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的意義

由以上對“變式教學(xué)融入圓的標(biāo)準方程的教學(xué)設(shè)計”的分析我們知道，所謂變式教學(xué)融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計，與一般的變式教學(xué)在實踐中的運用從本質(zhì)上說沒有什么不同，也是遵循顧先生及其團隊的研究成果，領(lǐng)悟他們的理論實質(zhì)并在實際教學(xué)中踐行。但在形式上，融入式的變式教學(xué)卻要自由一些，而在思想上卻又深刻一些。因為我們所說的融入，主要是指把變式教學(xué)作為一種思想理念，貫穿于課堂教學(xué)設(shè)計，甚至貫穿于整個的數(shù)學(xué)教學(xué)之中，使之成為教師們教學(xué)的一種常態(tài)，進入潛意識，達到行動自動化，并與其他先進的教學(xué)理念和方法整合，相得益彰，而不必拘泥于我們實際是使用的概念變式還是過程變式還是問題變式。我們認為，這才是變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中運用的較高境界。這樣的融入式變式教學(xué)，操作起來起點較低，因為它可深可淺、可寬可窄，教師教學(xué)設(shè)計時可靈活把握，學(xué)生的學(xué)習(xí)也相應(yīng)具有靈活性。正因為我們不刻意追求理論的高深和模式的規(guī)范，門檻低，教師們把握起來才不會吃力，他們才愿意在日常教學(xué)中應(yīng)用它，日久天長，變式教學(xué)就成為教師們的常態(tài)，自覺自發(fā)自動的進行，教學(xué)效率的提高自是水到渠成。

［1］徐章韜，汪曉勤，梅全雄.發(fā)生教學(xué)法－從歷史到課堂［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，(1).

［2］邵瑞珍.教育心理學(xué)［M］.上海:上海教育出版社，1983.

［3］曹才翰，蔡金法.數(shù)學(xué)教育學(xué)概論［M］.南京:江蘇教育出版社，1989.

［4］青浦縣數(shù)學(xué)教改實驗小組學(xué)會教學(xué)［M］.北京:人民教育出版社，1993.

［5］鮑建生，黃榮金，易凌峰，顧伶沅.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2001，(1－3).

［6］張奠宙.中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)［M］.上海:上海教育出版社，2006.

G633

A

1006－5342(2012)08－0176－03

2012－04－18

石河子大學(xué)SRP課題“課改背景下中學(xué)數(shù)學(xué)課堂設(shè)計的研究”(SRP2012002);石河子大學(xué)師范學(xué)院課題“信息技術(shù)環(huán)境下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計的研究”(SFyj2011－02)