☉江蘇省盱眙縣第二中學(xué) 莊億農(nóng)

如何解決幾何動(dòng)點(diǎn)型問題

☉江蘇省盱眙縣第二中學(xué) 莊億農(nóng)

動(dòng)點(diǎn)型問題就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中相伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系進(jìn)行研究考查.常見的動(dòng)點(diǎn)型問題有單動(dòng)點(diǎn)型和多動(dòng)點(diǎn)型兩類.當(dāng)一個(gè)問題是求有關(guān)圖形的變量之間關(guān)系時(shí)，通常建立函數(shù)模型或不等式模型求解；當(dāng)求圖形之間的特殊位置關(guān)系和一些特殊的值時(shí)，通常建立方程模型去求解.

圖1

一、單動(dòng)點(diǎn)型

例1 已知，如圖1，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（8，0），B（8，10），C（0，4），點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿折線OABD的路線移動(dòng)，移動(dòng)的時(shí)間為t秒.

（1）求直線BC的解析式.

（2）若動(dòng)點(diǎn)P在線段OA上移動(dòng)，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形OPDC的面積是梯形COAB面積的？

（3）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿折線OABD的路線移動(dòng)過程中，設(shè)△OPD的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量t的取值范圍.

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即18≤t＜23時(shí)（可以用勾股定理求出BD=5），△OPD的面積S=S△OPC－S△OCD=－1.6t+36.8.

點(diǎn)評(píng)：這是一道以直角坐標(biāo)系為載體，通過一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在直角梯形邊上的運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成面積與圖形的形狀問題，主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理等有關(guān)知識(shí).

二、雙動(dòng)點(diǎn)型

例2 如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12.動(dòng)點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿DC以每秒1個(gè)單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB以每秒2個(gè)單位的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng).兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）求梯形ABCD的面積.

（2）當(dāng)PQ∥AB時(shí)，P點(diǎn)離開D點(diǎn)的時(shí)間等于多少秒？

（3）當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，P點(diǎn)離開D點(diǎn)多少時(shí)間？

圖2

圖3

（3）當(dāng)P，Q，C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時(shí)，有兩種情況：

圖4

圖5

點(diǎn)評(píng)：解有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)型問題，先弄清楚兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)各自運(yùn)動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)、路線、終點(diǎn)以及運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間，然后在假設(shè)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在某處不動(dòng)的情況下，對(duì)圖形進(jìn)行分析與探究，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)求解.