周益君，關富玲

(浙江大學建筑工程學院，310058杭州)

隨著航天科技的快速發(fā)展，對可展機構的動力學性能要求越來越高.機構展開過程中，由于間隙的非線性影響，常會出現伸展機構失穩(wěn)、定位精度不夠、天線打開失靈等情況，導致航天器失效.如Hubble望遠鏡由于間隙引起太陽能帆板沖擊和振動［1］.同時隨著部件尺寸增大，結構重量減輕，剛度減弱，構件的彈性影響不容忽視，1958年美國發(fā)射的第一顆人造衛(wèi)星“EXPLORER－I”，由于在動力學建模時沒有計及4根鞭狀天線的彈性影響，導致衛(wèi)星入軌后翻滾、失控［2］.針對可展機構中常見的旋轉鉸節(jié)點間隙，Dubowsky等［3－5］進行了長期的理論和實驗研究，提出目前常用的非線性彈簧阻尼模型;占甫等［6］考慮了三維鉸節(jié)點中軸向和徑向間隙的影響，但沒有考慮桿件的彈性效應;陳濱等［7］只考慮結構中的一個平面間隙鉸和一根柔性桿件的影響;閻紹澤等［8－9］對含間隙鉸結構進行了動力學實驗，但只是測量了結構展開終了后的動力學特性，沒有在展開過程中測試，同時缺乏與理論分析的對比.

為了更準確考察機構在太空中的展開動力學特性，本文從實際的三維間隙鉸節(jié)點出發(fā)，同時考慮桿件彈性效應，建立動力學模型，對可展機構的展開過程進行仿真分析.為了使仿真分析更加可靠，將理論和實驗兩者結合.設計了一個動力學實驗，通過加速度響應反映含間隙鉸和桿件彈性對構件展開過程的非線性影響［9-12］，實驗加速度值與數值仿真進行對比，來初步驗證仿真分析中動態(tài)特性的正確性.

1 含三維間隙鉸動力學模型

1.1 鉸間間隙描述

理想的旋轉鉸沒有間隙，銷軸和軸套只存在繞公共軸線的相對轉動.如圖1所示的二維平面鉸，銷軸與軸套之間存在沿銷軸徑向的間隙.而實際的鉸節(jié)點是三維的，同時存在軸向和徑向間隙［6］，見圖2.軸套沿軸向在左右擋塊之間可以晃動，當軸套與銷軸擋塊發(fā)生該方向碰撞時，稱之為軸向碰撞(圖3(a));同時軸套沿徑向也能晃動，當軸套與銷軸發(fā)生該方向碰撞時，稱之為徑向碰撞(圖3(b));而且軸向和徑向碰撞還可能同時發(fā)生(圖3(c)).

圖1 只考慮徑向間隙的平面鉸節(jié)點

圖2 三維間隙鉸節(jié)點

圖3 碰撞形式

1.2 鉸接觸力模型

間隙鉸在運動過程中分為“自由運動”和“接觸變形”兩種狀態(tài)，本文中采用Lankarani和Nikravesh［4－5］在赫茲接觸力模型基礎上提出的非線性彈簧阻尼模型，在這個模型中法向接觸力FN表示為穿透深度δ和接觸點法向相對速度的˙δ函數:

兩接觸面還存在相對滑動，選擇庫侖摩擦模型來模擬切向碰撞接觸力Ff，即滑動摩擦力與正壓力成正比，其方向與相對滑移速度方向相反.

式中:Ff為接觸處滑動摩擦力，μd為動摩擦系數，ν(q，˙q，t)為接觸點處的相對滑移速度.

1.3 “T”字形模型

根據文獻［6］，通過含間隙鉸節(jié)點的銷軸和軸套端點坐標可以得到最小距離及接觸碰撞的穿透深度δ，為了能夠表達節(jié)點的“實體”特征，通過“T”字形桿單元模型來簡化模擬三維間隙鉸節(jié)點，見圖4.桿件13代表銷軸(或軸套)，桿件24是與之相連的桿件，點1與點3是銷軸(或軸套)的端點.

圖4 “T”字型單元模型

桿12與桿23在同一直線上，同時桿12⊥桿24，桿23⊥桿24，得約束方程:

Xi= ［xi，yi，zi］T(i=1，2，3，4)為點 1、2、3、4的坐標向量.

“T”字形模型保留了銷軸和軸套的端部節(jié)點信息，同時增加實際運動約束相應的約束方程，通過仿真得到各時刻節(jié)點位置，從而可以求得各時刻銷軸和軸套的最小距離，為判斷間隙節(jié)點狀態(tài)提供保證.

1.4 含三維間隙鉸分離接觸切換點判別

數值計算中需要對“接觸”和“分離”過程的切換點進行判別.從三維間隙鉸節(jié)點幾何構形出發(fā)，得到銷軸和軸套間在銷軸軸向和徑向最小距離的解析表達，構造三維間隙鉸節(jié)點接觸與分離的切換點判別條件［6］.銷軸和軸套在銷軸軸向和徑向的拓撲識別方程為 Si(t)=0(i=1，2)，i=1和2分別表示銷軸和軸套在銷軸軸向和徑向的拓撲結構轉換識別方程.

銷軸和軸套處于分離狀態(tài)時:

銷軸和軸套處于接觸狀態(tài)時:

理論上對Si(t0)=0(i=1，2)的時刻t0即為切換點，但是數值計算中無法精確找到對應的時刻t0.采用一維搜索的方法:給定足夠小的時間步長Δt，當滿足判別式

由于Δt足夠小，在這區(qū)間內只有一個切換點，式(9)即為分離接觸切換點判別方程.

1.5 彈性機構動力學模型

采用笛卡爾廣義坐標 q=［qT1，qT2，…，qTn］T，在“自由運動”階段，三維間隙鉸節(jié)點處銷軸和軸套不存在約束，此階段動力學方程為［14-16］

式中:M為廣義質量陣，Q為廣義力矩陣，Φq為約束方程的雅可比矩陣，λ為拉各朗日乘子列陣;Φ(q，t)=0為可展機構理想鉸約束方程.

在“接觸變形”階段，間隙鉸中銷軸軸套由分離狀態(tài)切換到接觸變形狀態(tài)，產生了約束條件的變化，解除間隙鉸處的運動學約束，引入非線性彈簧阻尼模型，即以約束力代替［17］，此階段動力學方程為

式中:Fg為接觸力相對于笛卡爾廣義坐標q的廣義接觸力.對于三維間隙鉸節(jié)點，軸套與銷軸間軸向接觸和徑向接觸可能同時發(fā)生，此時對應的廣義接觸力Fg同時包括軸向和徑向的法向接觸力、切向庫侖摩擦力.

2 可展動力學仿真

取某空間可展桁架的一個單元作為計算模型，固定BC桿件，其展開過程見圖5.由伺服電機通過沿斜桿BD方向的驅動索提供驅動力展開到預定位置，電機轉速35r/min.桿件材料為雙向纖維軋制而成的碳素纖維管，桿AB、AD、BC、CD均為長度500mm，外徑10mm，壁厚0.5mm，桿DE、BF長650mm，壁厚0.5mm，外徑分別為9mm、10mm，桿DE和BF形成套筒可相互滑動.關節(jié)采用硬鋁材料.假設節(jié)點B、C、D處為理想鉸節(jié)點，A處鉸節(jié)點中含鉸接間隙，見圖5(a)鉸A詳圖，取銷軸軸向的間隙最大值為δml=0.5mm，沿銷軸徑向的間隙最大值為δmr=0.5mm.當考慮桿件彈性時，桿AB、AD、BC、CD均為彈性桿件.由于可展桁架工作環(huán)境在太空，忽略重力的影響，動力學仿真所需參數見表1.

表1 動力學仿真參數

圖5 含三維間隙模型的展開過程

2.1 間隙鉸碰撞接觸力

機構展開過程中，三維間隙鉸A的徑向和軸向碰撞接觸力見圖6、7.從圖6可知，理想鉸約束力很小，而間隙對展開過程產生了不可忽略的影響.無論是只考慮間隙，還是同時考慮桿件彈性和間隙，三維間隙鉸的徑向碰撞力在整體趨勢上沿著理想鉸間力上下波動.在軸套繞著銷軸從靜止到運動的過程中，間隙鉸發(fā)生較強烈的接觸碰撞，產生最大的接觸碰撞力.只考慮間隙影響時，徑向碰撞力達到最大25.57N，而同時考慮桿件彈性的影響，碰撞力最大為20.34N，因為桿件彈性變形消耗了部分能量，所以最大幅值有所降低.

圖6 鉸A的徑向碰撞接觸力

不考慮桿件彈性效應時，每隔一段時間，徑向接觸碰撞力集中出現，并出現較為劇烈的波動，有一段時間又接近于理想鉸約束力，如5.6～7.2s區(qū)段，11.9～13.6s區(qū)段.考慮桿件彈性影響下，徑向接觸碰撞力頻繁出現，但數值上比只考慮間隙時小，這是彈性桿件引起間隙鉸內高頻振動所致.

理想鉸中沒有軸向約束碰撞力，但對于三維間隙鉸模型，軸套和銷軸擋塊之間還存在軸向間隙，當軸套在擋塊間左右運動時，產生正負軸向碰撞力.從圖7可知，軸向碰撞沒有徑向碰撞頻繁，在整個展開過程中，只考慮間隙時發(fā)生兩處碰撞，而考慮桿件彈性和間隙時，發(fā)生6處碰撞，但碰撞接觸力都較小.由于桿件彈性振動，使得間隙鉸更容易發(fā)生軸向碰撞.雖然軸向力相對于徑向力小，但桁架平面外剛度比平面內剛度要小得多，偶爾較小的軸向接觸力對桁架產生振動，影響機構展開的精度和穩(wěn)定性.所以有必要考慮彈性機構在軸向上引起的碰撞.

圖7 鉸A的軸向碰撞接觸力

2.2 桿件彈性和間隙對機構運動過程的影響

理想鉸，只考慮間隙，同時考慮桿件彈性和間隙這3種模型下的桿件AD質心的加速度和速度曲線分別見圖8、9.與圖6所示的徑向碰撞力相對應，軸向間隙產生的碰撞次數少，碰撞力數值小，對加速度和速度的影響相對徑向間隙要小.桿件彈性和間隙對運動過程產生較大的振動，數值上圍繞理想鉸的加速度和速度上下波動.從圖9可知，考慮桿件彈性效應，構件在整個過程中波動更加頻繁，由于能量的消耗，幅值比只考慮間隙時小.

圖8 桿件AD質心的加速度曲線

圖9 桿件AD質心的速度曲線

圖10所示為銷軸和軸套中心在徑向的相對運動.未發(fā)生碰撞時，銷軸和軸套的中心點相互重合，運動后銷軸和軸套接觸，兩中心點的相互運動限制在以0.25mm為半徑的圓形區(qū)域內，并有穿透現象，即超出圓弧的部分.由于構件展開到指定位置所經過的角度較小，沒有超過90°，發(fā)生單邊碰撞，在這個過程中，運動集中在1/4圓內.可以看出，不考慮桿件彈性時，接觸區(qū)域小而集中，而考慮桿件的彈性效應后，由于桿件彈性振動對間隙鉸軸套和銷軸相對位置產生影響，接觸區(qū)域明顯擴大.

圖10 銷軸和軸套中心在徑向的相對運動

圖11所示為銷軸和軸套中心在軸向的相對運動.銷軸和軸套兩中心點的相互運動限制在±0.25mm的帶狀區(qū)域內.在帶狀范圍內時，軸套與擋塊是分離的，沒有軸向接觸力，運動到邊界時發(fā)生碰撞，有穿透現象，與圖7所示發(fā)生軸向碰撞接觸力的時刻相對應.考慮桿件彈性時，兩中心點的相對運動路徑比只考慮間隙時要復雜，說明桿件彈性引起間隙鉸銷軸和軸套的軸向振動.

圖11 銷軸和軸套中心在軸向的相對運動

3 實驗研究

3.1 實驗系統

制作了一個單元桁架進行實驗研究，桿件和節(jié)點材料與仿真相同.制作過程中，桿件兩端鑲嵌鋁制左右旋螺紋接頭，與轉動鉸關節(jié)相連，其特點是桿長長度可調，便于安裝.轉動副關節(jié)采用硬鋁材料.如圖5鉸A中存在間隙，其他旋轉鉸運動副中引入組合軸承盡可能消除其間隙的影響.其轉動關節(jié)主要由U形接頭、銷軸、組合軸承和柄舌組成，見圖12.組合軸承外圈與柄舌孔之間、銷軸與U形接頭的安裝孔之間、銷軸與組合軸承的內圈之間均為過盈配合.其中，組合軸承加工時，在軸承與軸承轂的配合面上涂敷一層液體膠膜，保證兩者的緊密接觸，消除可能出現的空行程［18］.通過這些措施來達到理想鉸的效果.為了模擬太空環(huán)境，盡可能消除重力影響，使單元水平安裝，每根桿件都用彈性繩懸掛，水平放置時見圖13.

圖12 無間隙轉動關節(jié)組成

實驗中使用CA－YD-117型壓電式加速度傳感器，YE5858A型電荷放大器，CRAS振動及動態(tài)信號采集分析系統.由12V微型直流電機提供驅動力，轉速35 r/min.測展開過程中桿件AD質心在Y向的加速度響應.實驗原理見圖14.

圖13 實驗模型

圖14 實驗原理圖

3.2 實驗結果

圖15為實驗測得的桿件AD質心Y向加速度曲線，圖16為依照前述的理論仿真，同時考慮間隙鉸和桿件彈性得到的桿件AD質心Y向加速度曲線.兩者在運動趨勢上能較好吻合，說明理論分析基本的正確性.但在實際模型中，加工精度不可能做到完全理想的狀態(tài)，這也會影響展開過程中的非線性響應.同時，實驗過程中傳感器的重量和精度等外在條件也使結果有一定的誤差.所以圖15中的加速度曲線波動較圖16所示的理論分析要劇烈.

圖15 實驗中桿件AD質心Y向加速度曲線

圖16 數值仿真桿件AD質心Y向加速度曲線

4 結語

通過建立考慮桿件彈性和三維間隙鉸動力學模型，對可展機構進行展開數值模擬.分析表明，運動副間隙和構件的彈性對機構動態(tài)響應的影響很大，如簡單地按理想機構進行計算，必將引入較大的誤差.碰撞接觸力在考慮桿件彈性時要小于只考慮間隙因素，由于桿件彈性振動效應，使軸套和銷軸的碰撞更加頻繁，軸向碰撞對桁架面外產生波動，影響可展機構的展開過程的穩(wěn)定性.對精密的機構進行動力學分析時，引入實際的間隙鉸模型和考慮桿件彈性效應是必要的.設計了動力學實驗，通過引入組合軸承來模擬理想鉸的效果，可展桁架的動力學實驗結果反映出間隙和桿件彈性帶來非線性的動力學響應，與理論結果趨勢相吻合.目前國內從理論和實驗兩方面同時研究尚且缺乏，亟待進一步深入.

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