周 宇，陳 進，董廣明，肖文斌，王志陽

(上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

滾動軸承是機械設備中的易損零件。在使用滾動軸承的旋轉(zhuǎn)機械中，大約有30%的故障是由軸承引起的。所以如何提取滾動軸承的微弱故障特征，揭示其早期、微弱、潛在故障及其發(fā)生、發(fā)展和轉(zhuǎn)移，對于設備狀態(tài)監(jiān)測和故障診斷意義重大［1］。

近幾年，研究者發(fā)現(xiàn)滾動軸承發(fā)生故障時，由于滾珠與滾道間的相對滑移，其振動信號的特征參數(shù)呈現(xiàn)周期時變的特點，即循環(huán)平穩(wěn)性。國內(nèi)外有很多專家對具有循環(huán)平穩(wěn)性的滾動軸承故障特征提取做了研究，但主要都是集中在低階循環(huán)平穩(wěn)分析方法的研究和應用上。

在滾動軸承的早期故障監(jiān)測過程中，由于微弱損傷激發(fā)的能量很小，易于淹沒在背景噪聲和干擾之中，使得故障信息提取的難度加大，因此采用的信號分析方法的抗噪性能將會顯得尤為重要。由于高斯噪聲的高階循環(huán)統(tǒng)計量等于零，所以高階循環(huán)平穩(wěn)具有天然的抗噪性。

國內(nèi)外已經(jīng)有研究者對此做了深入的研究。先后有專家對循環(huán)雙譜，即最低階的高階循環(huán)平穩(wěn)分析方法——三階循環(huán)累積量譜進行了深入的研究［2－4］。但是其算法所需計算量大，而且所得的最終圖譜結(jié)果不直觀，所包含信息的冗余量比較大。

本課題組在已經(jīng)對循環(huán)雙譜做了中心頻率切片分析的基礎上，將嘗試對循環(huán)雙譜進行進一步簡化——對循環(huán)雙譜做二次切片。也就是對循環(huán)雙譜在循環(huán)頻率等于信號中心頻率處的切片譜再次做切片，來分析早期滾動軸承的點蝕故障。通過簡化，不僅計算量大大減小，而且所得的結(jié)果也將更加直觀和有效。我們將通過仿真和實驗分析來論證對循環(huán)雙譜做二次切片將有實際、有效的價值和意義。

1 循環(huán)雙譜二次切片

1.1 循環(huán)雙譜

從理論角度來說，循環(huán)平穩(wěn)信號x(t)的循環(huán)雙譜，是三階循環(huán)累積量的兩維傅里葉變換。

其中:α 是該信號的循環(huán)頻率，τ=(τ1，τ2，…，τk－1)。對于零均值的循環(huán)平穩(wěn)信號x(t)，三階循環(huán)累積量Cα3x等于三階循環(huán)矩，即:

循環(huán)雙譜還可以通過對使用直接算法得到的雙譜引入一個循環(huán)頻率 α的方法得到［2］。所以，一個離散信號x(n)的循環(huán)雙譜還可以被定義為:

其中:x(n)，n=0，1，2，…，N 是時間序列，X(f)是信號x(n)的傅里葉變換。而f，f1，f2是頻率。*表示共軛。

循環(huán)雙譜表示循環(huán)頻率下的循環(huán)累積量的譜對雙頻率軸的分布。從式(3)，可以看到循環(huán)雙譜是個關(guān)于頻率f1，f2和循環(huán)頻率α的三維分布。循環(huán)雙譜是個多維函數(shù)，除了利用理論推導之外，用傳統(tǒng)的譜分析表述方法很難將循環(huán)雙譜表述清楚。實際上的循環(huán)雙譜是一系列對某一循環(huán)頻率的循環(huán)雙譜。稱這樣得到的某一循環(huán)頻率對應的循環(huán)雙譜為某循環(huán)頻率下循環(huán)雙譜一次切片。

某一循環(huán)頻率α對應的循環(huán)雙譜一次切片具有極強的對稱性:

1.2 循環(huán)雙譜二次切片:即循環(huán)雙譜中心頻率處切片譜的水平切片

由于循環(huán)雙譜具有極大的對稱性，圖譜上重復冗余的信息比較多。另外循環(huán)雙譜特定頻率下的切片譜是雙頻率軸的三維圖譜，即便做成等高線圖，對于故障特征的展示也不清晰和直接。嘗試按照傳統(tǒng)的雙譜的分析方法，對特定循環(huán)頻率α對應的循環(huán)雙譜切片做進一步的切片，使其成為一個清晰的二維圖譜。對循環(huán)雙譜中心頻率切片譜做三種切片譜的研究:水平切片，垂直切片和對角切片。循環(huán)雙譜的切片分析原理如圖1所示。從圖1可以直觀的看到切片的研究也就是個降維的過程。

圖1 循環(huán)雙譜二次切片分析原理圖Fig.1 The schematic diagram of the second slice of the cyclic bispectrum

首先用一個包含三個頻率成分的雙線性相位耦合信號來展示循環(huán)雙譜的特征循環(huán)頻率處切片的結(jié)果。以此來清楚地展示循環(huán)雙譜某一循環(huán)頻率切片圖的結(jié)構(gòu)特點。從而來判定應該進一步在哪個變量處做切片。

該雙線性相位耦合信號為:

式中:a(t)，b(t)，c(t)為獨立的隨機窄帶幅值調(diào)制，φ1，φ2，φ3是隨機平穩(wěn)的，且 f1+f2=f3，φ1+ φ2= φ3。取f1=1 Hz，f1=0.25 Hz。采樣頻率等于1。采樣點數(shù)為1 024點。當循環(huán)頻率α=f1，α=f2，α=f3時的循環(huán)雙譜切片圖分別如圖2所示。

圖2 當(a) α=f1，(b) α=f2，(c) α=f3時雙線性相位耦合信號的循環(huán)雙譜一次切片圖Fig.2 Contour representation of the once slice of the CBS of the signal for

當α=f1時，循環(huán)雙譜切片圖上的峰值集中在(f1，f1)，(f1，f2)，(f1，f3)，(f2，f1)，(f3，f1);

當α=f2時，循環(huán)雙譜切片圖上的峰值集中在(f2，f2)，(f2，f1)，(f2，f3)，(f1，f2)，(f3，f2);

當α=f3時，循環(huán)雙譜切片圖上的峰值集中在(f3，f3)，(f3，f1)，(f3，f2)，(f1，f3)，(f2，f3)。

從圖2可以看到，當循環(huán)頻率α等于信號中所包含的特定頻率成分時，每一個頻率成分fi和循環(huán)頻率α組成了一系列的頻率對(α，fi)和(fi，α)。這些頻率對分布在平行于頻率軸的平面上，并且關(guān)于對角線對稱。所以，循環(huán)雙譜特定循環(huán)頻率處切片譜的對角切片不能夠包含所有有效的頻率成分，而對其做水平切片H－H和垂直切片V－V包含所有有效的信息。另外水平切片和垂直切片存在明顯的對稱性，包含的信息一樣，二者是等效的。故此處只做水平切片。

對于滾動軸承振動信號的循環(huán)雙譜的分析，已經(jīng)有前期的研究［2］證明了當循環(huán)頻率等于中心頻率fc時得到的循環(huán)雙譜切片譜具有特殊的頻譜結(jié)構(gòu)，比較適用于做特征提取。

將滾動軸承循環(huán)雙譜的水平切片定義為在循環(huán)雙譜中心頻率切片譜上經(jīng)過點(α，α)的垂線的法平面。

1.3 滾動軸承振動信號的循環(huán)雙譜二次切片的實現(xiàn)

將α=fc，f2=α代入式(3)中，則滾動軸承振動信號的循環(huán)雙譜二次切片，即循環(huán)雙譜中心頻率切片譜的水平切片可表示為:

由式(6)看出，循環(huán)雙譜中心頻率切片譜的水平切片已經(jīng)降維成一個只有一個參變量f1的兩維圖譜。便于直觀的提取故障特征。

2 仿真分析

2.1 滾動軸承的模型

滾動軸承的工作機理使其初期故障往往表現(xiàn)為內(nèi)圈、外圈或者滾動體上的局部點蝕。點蝕部位對與其接觸的軸承其他部件產(chǎn)生沖擊作用。定義T為沖擊發(fā)生的平均周期，h(t)為點蝕故障產(chǎn)生的某次沖擊振蕩，第i次沖擊的幅值為Ai。s(t)為由一系列h(t)組成的沖擊串。滾動軸承的工作環(huán)境較為惡略，一般存在較強的環(huán)境噪聲，因此，模型中考慮加性噪聲n(t)的干擾，假定n(t)為零均值平穩(wěn)隨機信號。此外，由于轉(zhuǎn)速的波動和滾動體所在承載區(qū)位置的不同都會引起承載角的改變，從而使得沖擊周期T產(chǎn)生微小的改變。滾動軸承點蝕故障的信號模型為:

式中:τi表示第i次沖擊相對于平均周期T的微小波動。φA和CA為任意常數(shù)，randn(t)為零均值的隨機信號。根據(jù)故障的位置不同，{Ai}均值的調(diào)制頻率fA可以為0(外圈故障)，或者fA等于轉(zhuǎn)頻fr(內(nèi)圈故障)，或者fA等于保持架旋轉(zhuǎn)頻率fc(滾動體故障)。

2.2 仿真分析結(jié)果

當軸承外圈點蝕時，設定采樣頻率fs=4 000 Hz，軸承外圈通過頻率為fop=50 Hz，中心頻率fc=1 000 Hz。故障周期 T的微小波動{τi}的標準差 σ等于0.015 5 T。為了驗證新方法對于降噪的有效性，將分別研究無噪聲和信噪比SNR=10lg(σ2s/σ2n)=－13 dB的兩種情況的滾動軸承點蝕故障振動信號。其中，和σ2n表示s(t)和n(t)的方差。分別將上述參數(shù)代入方程(7)有以下分析結(jié)果:

圖3為無噪聲的仿真信號分析。當沒有噪聲的時候，信號的功率譜圖3(b)和包絡譜圖3(c)能清晰的辨識特征頻率，從而確定故障類型。而從圖3(f)，即循環(huán)雙譜的二次切片同樣能有效提取出故障的特征頻率。如低頻段的fop，2fop，3fop和中心頻率附近的fc－2fop，fc－ fop，fc+fop。

圖4為信噪比等于－13 dB時的仿真信號的分析結(jié)果。此時功率譜圖4(b)和包絡譜圖4(c)都已經(jīng)失效。從圖4(d)可看到，在 α=fc時的循環(huán)雙譜一次切片上同樣可在(fc，fc)點附近找到與之間距為故障通過頻率f0的六個點。這六點圍繞(fc，fc)成一規(guī)則六邊形結(jié)構(gòu)。對這個循環(huán)雙譜中心頻率切片譜做經(jīng)過(fc，fc)的水平切片譜，也就是對循環(huán)雙譜做二次切片，如圖4(f)所示。此時，在水平切片譜的中心頻率兩側(cè)找到諧波成分:fc－fop，fc+fop，fc+2fop。這些個諧波成分與fc的間距為外圈故障通過頻率50 Hz的一倍和兩倍頻成份。依次，可以判定故障的類型為外圈故障。

隨著噪聲的不斷加大，包絡譜逐漸失效。隨著噪聲的不斷加大，信號的循環(huán)雙譜中心頻率切片譜的水平切片低頻部分的能量成分逐漸被噪聲淹沒，但是在中心頻率附近，由于其信噪比始終比較高，仍然能夠在中心頻率的左右兩側(cè)找到等間隔的諧波成分，而這些諧波成分的間距等于故障通過頻率。依次可以判定故障類型。

3 實驗分析

滾動軸承的實際振動信號來自于實驗室的滾動軸承振動測試臺，該實驗臺如圖7所示。轉(zhuǎn)子兩端分別由兩個滾動軸承支承，其中一個便于更換滾動軸承試件。測試臺自帶液壓定位與夾緊裝置，用于固定軸承試件的外圈。該實驗臺由交流電機驅(qū)動，通過聯(lián)軸器帶動轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)。

圖6 滾動軸承實驗臺Fig.6 The test bench

在測試過程中，滾動軸承的外圈固定在實驗臺架上，內(nèi)圈隨工作軸同步轉(zhuǎn)動。工作軸的轉(zhuǎn)速 n720 r/min。本次實驗分析采用GB203的滾動軸承試件外圈點蝕故障振動加速度。試件的基本參數(shù)如表1所示。計算得到的滾動軸承故障通過頻率如表2所示。

表1 滾動體結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Bearing parameters

表2 GB203滾動軸承的故障通過頻率(單位:Hz)Tab.2 Character frequencies of the bearing

從該外圈故障振動信號的功率譜上可以得到中心頻率fc，它對應于功率譜上最大峰值處。然后取循環(huán)雙譜中心頻率切片譜，如圖6(c)所示。由圖6(d)可以看到和仿真信號同樣的結(jié)論:圍繞 (fc，fc)點，有一個以上的六邊形結(jié)構(gòu)分布的點陣，這些點陣距離中心點的距離為故障通過頻率fop的倍頻。但是這樣的結(jié)果還是不夠直觀，而且圖譜上面點陣比較復雜，如果不仔細分析難以直接提取出故障特征。而從圖6(e)，對循環(huán)雙譜的中心頻率切片譜做水平切片，即做該故障信號的循環(huán)雙譜的二次切片。在二次切片圖上，看到在中心頻率兩側(cè)分別有一系列的諧波成分:fc－4fop，fc－3fop，fc－2fop，fc－fop，fc+fop。得到這些特征頻率成分，也就可以判定故障類型了。由此，對該信號的循環(huán)雙譜做二次切片可以得到更加清晰、直觀的故障特征提取結(jié)果。

4 結(jié)論

通過上述的分析知，當滾動軸承產(chǎn)生早期故障時，由于微弱損傷激發(fā)的能量很小，被淹沒在背景噪聲和干擾中。此時，由于中心頻率處具有相對較高的信噪比，應用循環(huán)雙譜的二次切片，即循環(huán)雙譜的中心頻率切片譜的水平切片能夠有效抑制噪聲的干擾。在此切片的高頻部分的中心頻率兩側(cè)均勻分布著間隔為故障通過頻率的諧波?？山栌纱颂攸c做故障特征的提取。其優(yōu)越的抗噪性及較少的計算量使得該方法在旋轉(zhuǎn)機械領(lǐng)域具有廣闊的應用前景。但是也存在著一定的缺陷，即在實際中振動信號的噪聲比較大的情況下，如果在功率譜上沒有顯著的中心頻率峰值，中心頻率的確定比較困難?？梢試L試采用加速度傳感器的共振頻率作為軸承振動信號的中心頻率來做切片分析。當然，這只適用于一階振動系統(tǒng)，將在以后的研究中仔細的探討這一問題。

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