齊 輝，郭 晶，楊 杰

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，哈爾濱 150001)

研究SH波對(duì)局部地形的散射問(wèn)題，不僅具有理論價(jià)值而且在實(shí)際工程中具有非常廣泛的應(yīng)用前景。近幾十年里，人們做了大量的研究并取得了許多有價(jià)值的研究成果［1－5］。凸起地形或結(jié)構(gòu)對(duì)地震動(dòng)的影響也一直是地震工程學(xué)中的重要研究課題，主要包括圓弧形凸起、含圓形孔洞的半圓形凸起及三角形凸起［6－8］。其中對(duì)三角形凸起結(jié)構(gòu)的研究空間主要集中在彈性半空間，對(duì)直角域中含三角形凸起地形或結(jié)構(gòu)的研究卻很少見(jiàn)。本文利用復(fù)變函數(shù)及移動(dòng)坐標(biāo)技術(shù)研究了直角域非等腰三角形凸起對(duì)SH波的散射問(wèn)題，并給出了本問(wèn)題的解析解。該問(wèn)題與以往半空間問(wèn)題的最大區(qū)別在于垂直邊界的出現(xiàn)，當(dāng)彈性波入射時(shí)，將導(dǎo)致彈性波在直角域自由表面及缺陷附近產(chǎn)生多次的散射和反射，使得滿足直角域自由邊界的應(yīng)力自由條件的散射波場(chǎng)解析表達(dá)式很難給出，因此為了解決這一難題，本文引入“鏡像”疊加原理構(gòu)造滿足需要的散射波場(chǎng)。同時(shí)求解該問(wèn)題時(shí)，主要采用“分區(qū)”的思想，將理論模型劃分為兩個(gè)區(qū)域，區(qū)域Ⅰ為含有半圓形弧底的非等腰三角形凸起，區(qū)域Ⅱ?yàn)楹邪雸A形凹陷的直角平面區(qū)域。其中關(guān)鍵問(wèn)題是構(gòu)造區(qū)域Ⅰ中滿足三角形凸起兩斜邊應(yīng)力自由的駐波解答和構(gòu)造區(qū)域Ⅱ中由半圓形凹陷引起的滿足直角域兩自由邊界的散射波表達(dá)式。最后給出地表位移幅值的具體算例，討論了入射角度，入射波數(shù)以及直角域垂直邊界等因素對(duì)地表位移幅值的影響。

1 基本理論

1.1 理論模型

圖1所示SH波入射直角平面區(qū)域中含非等腰三角形凸起模型，入射角度為α0。非等腰三角形凸起的定點(diǎn)為O1，兩斜邊分別用CA和CB表示，其斜度分別為1∶n1和1∶n2，凸起高度為 d1，底邊中點(diǎn)記為 O，O 點(diǎn)距O1在三角形底邊上投影距離為，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直角域垂直邊界距離為h1。介質(zhì)Ⅰ材料的密度和剪切彈性模量分別為ρD和μD，介質(zhì)Ⅱ材料的密度和剪切彈性模量分別為ρs和μs。

該問(wèn)題屬于混合邊值問(wèn)題，為此采用“分區(qū)”思想求解，即將整個(gè)求解區(qū)域分割成兩部分來(lái)處理，如圖2所示。區(qū)域Ⅰ為含有半圓形弧底的非等腰三角形，區(qū)域Ⅱ?yàn)楹邪雸A形凹陷的直角域。

如圖3所示，分別以三角形底邊中點(diǎn)O和三角形頂點(diǎn) O1為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系 xoy和 x1o1y1，其中o1x1為頂點(diǎn)的平分線。

1.2 基本方程

其中，k=ω/cs為波數(shù)，ω為位移函數(shù)圓頻率，cs=是介質(zhì)的剪切波速。

相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為:

1.3 輔助函數(shù)Ⅰ

在區(qū)域Ⅰ內(nèi)構(gòu)造一個(gè)駐波解，使其滿足圓弧形上位移、應(yīng)力不受約束，且滿足如下邊界條件:

其中:

式中:W0為駐波的最大幅值，D1m，D2m為待求常數(shù)，同

則滿足控制方程及上述邊界條件的位移函數(shù)可以寫(xiě)成［9］:時(shí)分別為 2mp，(2m+1)p階Bessel函數(shù)。由于 z1=(z+d1)eiq，q=(arctann2－，則利用坐標(biāo)移動(dòng)技術(shù)，上述駐波解在復(fù)平面上的表達(dá)式為:

其中:

式(8)相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式為:

其中:

1.4 輔助函數(shù)Ⅱ

圖4 鏡像模型Fig.4 The model of“image”

求解本文問(wèn)題的關(guān)鍵在于散射波表達(dá)式的構(gòu)造，其需要滿足控制方程(1)，同時(shí)要滿足直角域邊界Γ1、Γ2應(yīng)力自由條件。因此采用文獻(xiàn)［10］的“鏡像”方法，把直角空間向走拓展為半空間模型，如圖4所示。在區(qū)域Ⅱ中，構(gòu)造的散射波W(s)如下:

其中:

相應(yīng)的應(yīng)力可以表示為:

其中:

1.5 入射波與反射波

入射波與反射波在彈性半空間的表達(dá)式可以表示如下:

其中:假設(shè)入射波最大幅值 W0=1。當(dāng)m=0時(shí)，εn=1，當(dāng)m ＞1時(shí)，εn=2。

然而，在直角域中入射波與反射波將在其兩個(gè)垂直邊界上發(fā)生多次反射，為了滿足直角域邊界應(yīng)力自有條件，仍然采用“鏡像”方法構(gòu)造等效的位移表達(dá)式，在復(fù)數(shù)坐標(biāo)系)下，上式可以表示為:

其中，

相應(yīng)的應(yīng)力表達(dá)式如下:

其中:

1.6 定解積分方程組

利用區(qū)域Ⅰ、Ⅱ公共邊界S上位移、應(yīng)力連續(xù)性條件，有:

2 地表位移幅值

在區(qū)域Ⅰ中的總波場(chǎng)為W(D)，而在區(qū)域Ⅱ中的總波場(chǎng)為:

上式可以寫(xiě)成:

同時(shí)，入射波數(shù)表示為:

其中:λ為入射波波長(zhǎng)，或者寫(xiě)成:

3 算例分析與討論

當(dāng)區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ介質(zhì)完全相同時(shí)，即kD=kS，μD=μS，問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為直角域含非等腰三角形凸起地形對(duì)SH波的散射問(wèn)題。當(dāng)區(qū)域Ⅰ和區(qū)域Ⅱ介質(zhì)不同時(shí)，即kD≠kS或μD≠μS，問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為直角域含非等腰三角形凸起壩體結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)的相互作用問(wèn)題。

(1)圖5給出了當(dāng)SH波以角度α0=0°入射時(shí)，地表位移的變化情況。材料參數(shù)μD=μS=0.1。當(dāng)h1足夠大時(shí)(本文取h1=500.0時(shí))，直角域含三角形凸起地形問(wèn)題可近似看成半空間中含三角形凸起地形問(wèn)題。當(dāng)入射波數(shù)η=0.1，三角形凸起地形頂角θ1=θA+θB=138.2°一定且 Δθ= θB－ θA=0°，10°，20°時(shí)，圖5(a)所示圖形與文獻(xiàn)［11］相符，由此說(shuō)明本文方法的正確性。而圖5(b)～圖5(d)給出當(dāng)三角形凸起頂角θ=140°一定，Δθ= θB－ θA=0°，10°，20°且 h1=3.0，η =0.1，0.5，1.0，2.0 時(shí)地表位移的變化情況。由圖 5(b)可以看出，當(dāng)SH波以η=0.1入射時(shí)，即準(zhǔn)靜態(tài)情況，地表位移幅值變化并不明顯，顯示出一定的靜態(tài)特性，而由圖5(c)～圖5(d)可以看出，隨著入射波數(shù)的增加，圖形的變化越來(lái)越明顯，顯示出動(dòng)態(tài)特性。同時(shí)，由于直角平面垂直邊界的影響，靠近直角域垂直邊界一側(cè)的地表位移幅值要大于另一側(cè)，這說(shuō)明直角域垂直邊界的影響也應(yīng)給予考慮。對(duì)于Δθ=0°情況時(shí)，相當(dāng)于是等腰三角形凸起地形問(wèn)題，一般情況下，其地表位移幅值小于非等腰三角形凸起地形情況。

(2)圖6給出了直角域非等腰三角形凸起地形地表位移幅值隨入射角度α0的變化情況。三角形凸起頂點(diǎn) θ1=140°一定，μD= μS=0.1，入射波數(shù) η =0.1。圖6(a)～圖6(c)分別對(duì)應(yīng) Δθ=θB－θA=0°、10°、20°情況。由圖中可以看出，當(dāng)α0=0°時(shí)，地表位移最大值一般出現(xiàn)在三角形凸起位置處，而當(dāng)入射波以45°或90°入射時(shí)，地表位移最大值發(fā)生偏移，一般發(fā)生在三角形凸起與水平表面相接處。由此說(shuō)明了入射角度影響地表位移的分布情況。

(3)圖7給出了直角域非等腰三角形凸起地形地表位移隨距離h1的變化情況。三角形凸起頂點(diǎn)θ1=140°一定，μD= μS=0.1，入射波數(shù) η =0.1，入射角度α0=0°。圖7(a)～圖7(c)分別對(duì)應(yīng) Δθ=θB－θA=0°，10°，20°情況。由圖中可以看出，隨著距離 h1的增加，地表位移幅值變小。

(4)圖8給出了直角域含非等腰三角形壩體結(jié)構(gòu)時(shí)地表位移隨三角形頂角θ1的變化情況。這里Δθ=20°一定，入射角度α0=0°，h1=3.0，η =0.1。圖8(a)～圖8(c)對(duì)應(yīng)取材料參數(shù) ρD/ρS=2/3，μD/μS=1/6即壩體結(jié)構(gòu)相對(duì)基礎(chǔ)較軟情況。圖8(d)～圖8(f)對(duì)應(yīng)取材料參數(shù) ρD/ρS=3/2，μD/μS=6 即壩體結(jié)構(gòu)相對(duì)基礎(chǔ)較硬情況。由圖中可以看出三角形壩體結(jié)構(gòu)對(duì)地表位移的影響要比三角形凸起地形情況地表位移變化明顯。同時(shí)，隨著入射波數(shù)的增加，地表位移同樣顯示出動(dòng)態(tài)特性。

4 結(jié)論

本文利用復(fù)變函數(shù)及多極坐標(biāo)方法研究了SH波對(duì)直角域非等腰三角形凸起的散射問(wèn)題。利用“鏡像”思想推導(dǎo)了本文所需解析解表達(dá)式，并給出了地表位移幅值的算例分析。通過(guò)具體算例，了解到直角域非等腰三角形凸起地形受入射波數(shù)，入射角度，三角形凸起夾角以及原點(diǎn)到直角域垂直界面距離的影響。非等腰三角形凸起地形地表位移變化要比等腰三角形凸起地形位移變化復(fù)雜，而非等腰三角形凸起壩體結(jié)構(gòu)位移變化比三角形凸起地形位移變化復(fù)雜。同時(shí)，當(dāng)三角形壩體結(jié)構(gòu)相對(duì)基礎(chǔ)較軟時(shí)，其地表位移幅值大于壩體結(jié)構(gòu)較硬情況。需要指出的是，本文所采用的方法在理論上是沒(méi)有問(wèn)題的，但當(dāng)編程計(jì)算時(shí)，當(dāng)三角形頂角取小于60°時(shí)，計(jì)算精度卻很差，反而當(dāng)頂角角度越大時(shí)，其計(jì)算精度越高。故本文的計(jì)算方法適用于非等腰三角形頂角大于60°情況。同時(shí)，算例結(jié)果可為實(shí)際工程等領(lǐng)域提供理論參考。

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