祝德春，張 方，姜金輝

(南京航空航天大學 機械結(jié)構(gòu)力學及控制國家重點實驗室教育部重點實驗室，南京 210016)

近年來，隨著人類對結(jié)構(gòu)動力學研究的進一步加深，動態(tài)載荷識別技術(shù)也得到了快速發(fā)展?，F(xiàn)今為止，比較成熟的動態(tài)載荷識別技術(shù)是頻域法和時域法，一些新興的如基于神經(jīng)網(wǎng)絡和遺傳算法的動載荷識別方法也逐漸發(fā)展起來，橋梁移動載荷識別技術(shù)［1］也得到了很好的發(fā)展。以往這些研究，大都是在已知載荷激勵位置的情況下進行的識別。例如，Bartlett和Flannelly［2］對直升機槳轂中心動載荷識別方法研究展開了模型驗證，開創(chuàng)了動態(tài)載荷識別的先河。英國帝國學院Ewins和Hillary［3］較系統(tǒng)地建立了頻域載荷識別方法。在沖擊載荷位置識別方面，國內(nèi)外學者也開展了一些研究。東京工業(yè)大學Inoue等［4］應用Gabor小波分解技術(shù)將時域散射波作時頻變換，通過確定各頻率彎曲波在梁內(nèi)傳播的時間來確定沖擊位置。德國Stuttgart大學Gaul和Hurlebaus［5］等基于小波變換，通過確定不同頻率彎曲波的到達時間和與優(yōu)化方法相協(xié)同的技術(shù)，識別了沖擊作用位置。以上兩種方法利用了小波的時頻分析特性，能夠較好的確定振動波的傳播時間和頻率分布情況，但是對于振動傳遞路徑復雜的復雜模型仍然難以實現(xiàn)載荷位置的識別。周晚林等［6］將神經(jīng)網(wǎng)絡和反分析法相結(jié)合，提出了用于反求載荷位置的有限元逆逼近方法，用于識別載荷位置。嚴剛、周麗［7］將沖擊載荷識別問題轉(zhuǎn)換為優(yōu)化問題，以模型計算結(jié)果與實際量測信息之差作為最小化理論目標函數(shù)，提出了一種基于遺傳算法自適應搜索的沖擊載荷識別方法。對沖擊時刻未知和量測信息缺失的情況，他們還提出了一種同時識別沖擊時刻和沖擊位置并近似重建沖擊載荷歷程的方法［8］。但是，他們的方法不足之處在于難以保證優(yōu)化過程中的每一步計算都能順利獲得準確的振動響應(即計算任意位置的振動響應)，另外量測數(shù)據(jù)的真實性與可靠性也是影響載荷識別正確與否的重要因素。侯秀慧等［9］基于HPD－S格式的精細積分法，建立了梁上移動載荷識別方法，提高了大步長情況下移動載荷的識別精度。張方等［10］研究了基于有限元模型的復雜結(jié)構(gòu)分布動載荷識別問題，為復雜結(jié)構(gòu)確定性分布的穩(wěn)態(tài)振動載荷識別奠定了基礎。

本文通過對簡支梁振動特性進行研究，根據(jù)動態(tài)載荷識別頻域法(以下簡稱頻域法)的基本原理，采用梁上任意兩組不同振動響應在載荷作用位置處識別的一組動載荷在量值上相等的原則，提出了梁上動態(tài)載荷激勵位置識別的“最小判定系數(shù)法”。

1 載荷識別頻域法

所謂頻域法，就是指用頻響函數(shù)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的響應信息求解系統(tǒng)外載荷的方法。一種頻響函數(shù)矩陣求逆法，即假設系統(tǒng)所需確定的載荷數(shù)為P，響應的測點數(shù)為L，則有載荷與響應之間的關系:

其中，X(ω)為響應譜向量，F(xiàn)(ω)為載荷譜向量，H(ω)為頻響函數(shù)矩陣，式(1)寫成復數(shù)形式為:

若待定的載荷數(shù)與響應的測點數(shù)相等，即L=P，則H(ω)為方陣，式(2)的求解在理論上非常簡單，由下式即可求得:

在L＞P的情況下，H(ω)不是方陣，則對頻響函數(shù)求廣義逆，此時載荷識別的公式就變?yōu)?

該方法思路簡單，通過優(yōu)化選取響應測點，可以有效地識別動態(tài)載荷，其工程應用較為廣泛。

2 簡支梁動力學模型

建立簡支梁模型如圖1所示。

圖1 簡支梁模型圖Fig.1 The model of simply supported beam

假設該模型為Bernoulli-Euler梁(不考慮剪切變形與轉(zhuǎn)動慣量的影響)，具有均勻橫截面A，且質(zhì)量均勻分布(單位長度梁的質(zhì)量ρ為常數(shù))，截面彈性模量為E，截面慣性矩為I，梁的運動滿足小變形理論并在彈性范圍內(nèi)，則其動力學運動方程為:

其中，w=w(x，t)為梁的橫向變形，c0為梁的外部介質(zhì)阻尼系數(shù)，c1為梁的內(nèi)阻尼系數(shù)，P為梁所受的外載荷向量。

根據(jù)模態(tài)疊加理論，梁的橫向變形可表示為:

其中qr(t)為第r階廣義模態(tài)坐標，φr(x)為第r階模態(tài)陣型，對于簡支梁，可用如下形式表示:

根據(jù)模態(tài)正交性，式(5)可以變換為模態(tài)空間下解耦的微分方程組:

由式(8)可得梁上xa處激勵，任意位置的頻響函數(shù)為:

通過仿真計算或?qū)嶒灉y試獲得響應測點與外載荷激勵點之間的頻響函數(shù)，構(gòu)造載荷識別標定矩陣，根據(jù)頻域法，即可識別出動載荷的幅值大小。

3 動載荷位置識別的最小判定系數(shù)法

根據(jù)梁的振動特性，在梁上某一點或幾點作用集中載荷時，梁上任意點的響應是唯一的。因此，識別動載荷激勵位置時，在排除結(jié)構(gòu)對稱性影響的情況下，任意假定一組載荷可能的作用位置，稱之為虛擬激勵位置，再在梁上選取一組動響應，則根據(jù)頻域法可以識別出一組當量動載荷，記為當量動載荷一;再選取另外一組響應，同樣可以識別出一組當量動載荷，記為當量動載荷二。理論表明，當虛擬激勵位置位于載荷的真實激勵位置時，識別出的兩組當量動載荷量值相等。實際上，由于標定矩陣以及響應信息的噪聲和量測誤差難免存在，使得兩組當量動載荷在數(shù)值上往往存在微小的差別。此時，可以將動載荷激勵位置識別問題轉(zhuǎn)化為求滿足兩組當量動載荷差值最小時所對應的假設激勵位置的最優(yōu)化問題，即本文提出的“最小判定系數(shù)法”。

假設梁上動載荷個數(shù)為N，根據(jù)兩組響應可以識別一組載荷激勵位置的原則，所需的響應個數(shù)為L≥2N。實際上，只要從可測的響應中，依據(jù)頻域識別法的基本原理，選取并構(gòu)造兩組不完全相同的響應向量，即可識別載荷激勵位置。以載荷數(shù)N=2為例，通常情況下識別2個動載荷至少需要2個響應，即2個響應構(gòu)成一組用于識別的響應向量。那么，此時，在梁上選取3個不同位置的響應，從中任意選取兩個響應組成元素不完全相同的響應向量即可進行動態(tài)載荷激勵位置識別。

從而，從L個響應中選取M(M≥N)個響應構(gòu)造成一組響應向量，根據(jù)頻域法識別理論有:

為了建立載荷激勵位置的識別模型，需從L個響應中選取另外M(M≥N)個響應作為另一組識別響應向量，同樣可以識別出一組當量動載荷:

為描述方便，將(10)、(11)兩式簡記為:

則在頻域下識別載荷激勵位置的問題就轉(zhuǎn)化為求兩組當量動載荷差值最小的優(yōu)化問題，最優(yōu)化函數(shù)可用如下表達式表示:

式(14)即為識別載荷激勵位置的最優(yōu)化函數(shù)表達式，Coe稱為判定系數(shù)，當 x=xi，i=1，2，…，N 時，即虛擬激勵位置位于梁上 xi時，對應的判定系數(shù)為Coe(xi)。每取一組虛擬激勵點，就可獲得一個(或一組)判定系數(shù)，判定系數(shù)最小值對應的虛擬激勵位置即為載荷的真實激勵位置。

通過式(14)識別載荷激勵位置的關鍵是當對任意一個假設激勵位置進行識別計算的時候，要求能夠準確地獲得其頻響函數(shù)值。通常情況下，通過模型的動力學運動方程可以準確地計算出任意位置的頻響函數(shù)，從而可以比較方便地識別出載荷激勵位置。但是，對工程中的復雜結(jié)構(gòu)，建立一個準確的數(shù)學模型是相當困難的，通常需借助數(shù)值計算的手段如有限元法來解決這個問題。本文以簡支梁為例，探討了有限元技術(shù)在動載荷激勵位置識別中的應用。

利用有限元技術(shù)將梁離散成若干個自由度，則每個單元上的節(jié)點(簡支端外除外)即為假設的激勵位置，在MSC Patran＆Nastran中建立有限元模型并計算各虛擬激勵點與響應測點之間的頻響函數(shù)。通常情況下，虛擬激勵點可以根據(jù)經(jīng)驗作出選擇，否則，將整個模型上所有節(jié)點作為虛擬激勵點。確定虛擬激勵點后，根據(jù)式(14)依次計算載荷位置識別的判定系數(shù)。

4 仿真算例與實驗驗證

4.1 簡支梁仿真算例

圖2為一簡支梁有限元模型，該梁長l=1 m，寬a=0.02 m，高 h=0.03 m，泊松比 μ =0.3，彈性模量E=210 GPa，密度 ρ=780 kg/m3。在距梁右端 0.3 m處施加一個幅值250 N、頻率51.5 Hz的正弦載荷。

圖2 簡支梁有限元模型Fig.2 FEM model of simply supported beam

將該梁劃分為20個單元，共21個節(jié)點，除簡支端兩個節(jié)點外，假設其余19個節(jié)點均為可能的激勵點，將距梁左端0.2 m和0.4 m處對應的節(jié)點的振動加速度響應作為識別的響應，根據(jù)式(14)對該簡支梁上的載荷激勵位置進行識別。識別的判定系數(shù)變化曲線如圖3所示。

圖3 判定系數(shù)變化曲線Fig.3 Curve of determination coefficient

由圖3可見，最小判定系數(shù)對應的節(jié)點位置距梁左端0.7 m，與載荷激勵位置相同，最小判定系數(shù)為0.837 5，識別成功。

4.2 動態(tài)載荷激勵位置識別實驗

上文通過仿真計算，對動載荷激勵位置識別方法進行了驗證，本文現(xiàn)結(jié)合簡支梁動態(tài)載荷位置識別技術(shù)的實驗研究，探討了識別方法工程應用的可行性。

如圖4所示，一鋁質(zhì)矩形梁，兩端簡支，長l=0.68 m，截面寬 a=0.05 m，厚 h=0.008 m，彈性模量 E=70 GPa，泊松比 μ =0.3，材料密度為 ρ=2 590 kg/m3。建立有限元模型，將其劃分成16個單元共17個節(jié)點，如圖5所示。

圖4 簡支梁實驗模型Fig.4 Experimental model of simply supported beam

圖5 實驗簡支梁有限元模型Fig.5 The FEM model of Experimental beam

根據(jù)實驗獲得的頻響函數(shù)，對該梁的有限元模型進行修正，修正后前五階固有頻率的計算值與實驗值如下表:

表1 固有頻率對照表(單位:Hz)Tab.1 Natural frequency of the beam(Unit:Hz)

(1)在梁上5號節(jié)點和9號節(jié)點對應位置處分別施加頻率為120 Hz、相位為零的正弦載荷。排除兩簡支端受載荷作用的情況，以2－16號節(jié)點作為虛擬激勵位置，以10、12和15號節(jié)點為響應測點。根據(jù)式(14)進行動態(tài)載荷位置識別，識別的判定系數(shù)變化曲線如圖6所示。

從位置識別判定系數(shù)變化曲線可以看出，最小判定系數(shù)組合為［0.012 0，0.007 4］，對應的節(jié)點號組合為［5，9］，分別為梁上距梁左端 0.17 m 和 0.34 m 的載荷真實作用位置，識別結(jié)果與實際激勵位置吻合。

(2)在梁上4號節(jié)點和8號節(jié)點對應位置處分別施加頻率為120 Hz和180 Hz的正弦載荷，以除簡支端外的15個節(jié)點作為虛擬激勵點，響應測點為3、6、10和14號節(jié)點對應的位置。根據(jù)式(14)進行識別，識別結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖6 判定系數(shù)變化曲線Fig.6 Curve of determination coefficient

圖7 載荷一位置識別判定系數(shù)變化曲線Fig.7 First curve of determination coefficient

圖8 載荷二位置識別判定系數(shù)變化曲線Fig.8 Secend curve of determination coefficient

頻率為120 Hz的載荷，其激勵位置識別的最小判定系數(shù)為0.011 5，對應節(jié)點4所在的位置;頻率為180 Hz的載荷識別的最小判定系數(shù)為0.002 6，對應節(jié)點9所在的位置。識別結(jié)果與實際加載位置相同，識別成功。

5 結(jié)論

本文提出的“最小判定系數(shù)法”，通過對結(jié)構(gòu)上動態(tài)載荷分布區(qū)域進行預估計，結(jié)合有限元模型，選取虛擬激勵組合并擇優(yōu)選取響應測點，根據(jù)識別規(guī)模建立一對振動響應組合。通過計算各虛擬激勵點組合對應的判定系數(shù)，以最小判定系數(shù)(或最小判定系數(shù)組合)為目標，該目標對應的虛擬位置(或虛擬位置組合)，即為載荷的真實激勵位置。仿真和實驗結(jié)果證明，“最小判定系數(shù)法”原理簡單，能夠達到識別結(jié)構(gòu)動態(tài)載荷激勵位置的目的。

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