董 毅

（蚌埠學(xué)院，安徽 蚌埠 233050）

工程化背景下概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)的思路

董 毅

（蚌埠學(xué)院，安徽 蚌埠 233050）

概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中要重視合情推理、辯證思想、實(shí)驗(yàn)方法，關(guān)注結(jié)果的直觀想法、產(chǎn)生的過(guò)程，突出知識(shí)的融會(huì)貫通，以促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力。

工程化；概率統(tǒng)計(jì)；教學(xué)設(shè)計(jì)

與確定性數(shù)學(xué)學(xué)科相比，概率統(tǒng)計(jì)這一學(xué)科的研究?jī)?nèi)容、研究的方法和思維方式，有其自身的特點(diǎn)。在工程化背景下應(yīng)用型人才培養(yǎng)中，在課程的學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性、全面性、辯證性，發(fā)展學(xué)生的能力。概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，特別不能只注重理論，只關(guān)注結(jié)果，只重視解析式的嚴(yán)密推導(dǎo)，把概率統(tǒng)計(jì)課上成了數(shù)學(xué)分析課或代數(shù)課，而要重視合情推理、辯證思想、實(shí)驗(yàn)方法，關(guān)注結(jié)果的直觀想法、產(chǎn)生的過(guò)程，突出知識(shí)的融會(huì)貫通，充分發(fā)揮這門(mén)課程對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的作用。

1 重視合情推理的運(yùn)用

1.1 凸現(xiàn)合情推理意識(shí)和方法

合情推理是數(shù)學(xué)研究的方法之一。在數(shù)學(xué)中，合情推理多用于“猜想”。學(xué)生長(zhǎng)期學(xué)習(xí)確定性數(shù)學(xué)，習(xí)慣于嚴(yán)格的推理，缺乏合情推理意識(shí)。而運(yùn)用合情推理解決問(wèn)題、作出決策卻是概率統(tǒng)計(jì)的一個(gè)特點(diǎn)。比如，“袋中有紅黑兩種顏色的球，從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，發(fā)現(xiàn)是紅球，問(wèn)袋中是紅色球多，還是黑色球多？”這個(gè)問(wèn)題就是利用概率中的一個(gè)合情推理——小概率原理來(lái)解決的。根據(jù)小概率原理，在一次試驗(yàn)中發(fā)生的事件，我們應(yīng)當(dāng)合情推出其發(fā)生的概率較大，即取得紅球的概率較大，故認(rèn)為袋中紅球多。教學(xué)中，特別是在點(diǎn)估計(jì)的“極大似然法”教學(xué)中，要注意凸現(xiàn)合情推理思想，培養(yǎng)學(xué)生合情推理的意識(shí)和能力。

1.2 注重邏輯推理和合情推理的綜合

概率統(tǒng)計(jì)中常常通過(guò)邏輯推理和合情推理的綜合運(yùn)用來(lái)解決問(wèn)題。比如，假設(shè)檢驗(yàn)中作出“拒絕”推斷的推理過(guò)程是邏輯推理，類(lèi)似于數(shù)學(xué)中的“反正法”，推理的依據(jù)是小概率原理。而作出“接受”的推斷，則是因?yàn)椤皼](méi)有理由拒絕”而作出的，是合情推理。因此，概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中，在有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生合情推理的同時(shí)，要強(qiáng)調(diào)邏輯推理和合情推理的綜合運(yùn)用，促使學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)更合理，更完善。

2 重視辯證思維的培養(yǎng)

思維的辯證性在概率統(tǒng)計(jì)中十分顯著。比如：隨機(jī)現(xiàn)象具有偶然性，但大量的偶然性又蘊(yùn)含著必然性，概率統(tǒng)計(jì)理論就是通過(guò)對(duì)表面顯現(xiàn)的偶然性的研究，來(lái)達(dá)到認(rèn)識(shí)本質(zhì)的必然性的目的；特定事件的發(fā)生與否不能確定，但結(jié)果的規(guī)律性卻可以通過(guò)觀察、歸納、類(lèi)比、聯(lián)想、猜測(cè)等合情推理進(jìn)行預(yù)測(cè)、估算，體現(xiàn)了可能性與不可能性的辯證統(tǒng)一；事件的頻率是事件的概率的近似，事件的概率是同一事件眾多頻率的穩(wěn)定值，是從這些頻率中抽象出來(lái)的，反映了頻率與概率之間的具體與抽象關(guān)系；小概率事件雖然有發(fā)生的可能性，但概率太小，人們認(rèn)為它是不可能事件，但并不是絕對(duì)不發(fā)生，這里反映了相對(duì)與絕對(duì)的辯證關(guān)系；隨機(jī)事件是從靜態(tài)觀點(diǎn)研究隨機(jī)想象，隨機(jī)變量是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)研究隨機(jī)現(xiàn)象，體現(xiàn)了概率研究方法中動(dòng)和靜的辯證統(tǒng)一；總體特征要通過(guò)樣本來(lái)研究，說(shuō)明每一事物內(nèi)部不僅包含矛盾的特殊性而且包含了矛盾的普遍性；數(shù)據(jù)的特征數(shù)反映的是數(shù)據(jù)“群體”的特征，它來(lái)自于各個(gè)數(shù)據(jù)的信息，又不同與各個(gè)數(shù)據(jù)，體現(xiàn)了個(gè)體與整體的關(guān)系；統(tǒng)計(jì)推斷的方法是科學(xué)的，但其作出的結(jié)論卻可能犯錯(cuò)誤，這兩者是辯證統(tǒng)一的。作出的結(jié)論可能會(huì)犯錯(cuò)誤的方法是科學(xué)的，就在于犯錯(cuò)誤的概率很??；回歸方程反映了兩個(gè)高度線性相關(guān)變量之間的近似關(guān)系，是從這兩個(gè)變量的數(shù)據(jù)對(duì)群體抽象出來(lái)的，它來(lái)自于它們又不同于他們；等等。概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中要注重闡述這些辯證的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的辯證性思維的能力。

3 重視實(shí)驗(yàn)研究的方法

觀察法和實(shí)驗(yàn)法是自然科學(xué)研究中十分重要的方法，也是基本的數(shù)學(xué)方法。歐拉說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科，需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn)?！痹诟怕式y(tǒng)計(jì)教學(xué)中，這一點(diǎn)更加突出。一方面，我們需要讓學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)感受數(shù)學(xué)知識(shí)，比如去體驗(yàn)“頻率的穩(wěn)定性”，感受大量偶然性后面的必然性，去體驗(yàn)事件概率的客觀性等等。由于概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用極廣，學(xué)生切實(shí)可做的實(shí)驗(yàn)很多，如生日問(wèn)題、抽簽問(wèn)題、擲色子等。另一方面，概率論教學(xué)中的有些問(wèn)題，也需要用實(shí)驗(yàn)的方法去研究，例如，對(duì)“隨機(jī)擲兩枚均勻硬幣，出現(xiàn)“一正一反”的概率是1／2還是1／3”的問(wèn)題，就要通過(guò)實(shí)驗(yàn)去統(tǒng)計(jì)頻率并由頻率估計(jì)概率來(lái)解決。再者，據(jù)我們的調(diào)查表明，學(xué)生很少知道數(shù)學(xué)需要實(shí)驗(yàn)方法，更沒(méi)有用實(shí)驗(yàn)法研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)。因此，在教學(xué)中有意識(shí)地突出實(shí)驗(yàn)方法，利用實(shí)驗(yàn)教學(xué)，十分重要。

4 重視直觀意義的說(shuō)明

理論大多是由直觀想法所猜測(cè)的結(jié)果經(jīng)加工、修改或證明得出的。所以，在教學(xué)中要注重理論的直觀解釋、概率意義，關(guān)注理論是“如何想到的”，這有利于放飛學(xué)生的想象，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新的意識(shí)。同時(shí)這種直觀教學(xué)思路，深入淺出，通俗易懂。概率統(tǒng)計(jì)中的大部分內(nèi)容都可以結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行直觀說(shuō)明。比如：

“A，B獨(dú)立，則ˉA，B獨(dú)立”直觀解釋?zhuān)阂驗(yàn)锳，B獨(dú)立即A發(fā)生的可能性與B發(fā)生的可能性無(wú)關(guān)，而A完全決定了ˉA，既然A與B獨(dú)立，故ˉA與B也獨(dú)立；DX＝D（－X），DX＝（X＋A）直觀解釋?zhuān)悍讲钍欠从畴S機(jī)變量取值差異的，X與－X（X與X＋A一樣）取值不同，但取值的差異沒(méi)變，故他們的方差相等；DC＝0：隨機(jī)變量總是取常數(shù)C，取值間彼此無(wú)差異，故差異量為；算術(shù)平均數(shù)利用了數(shù)據(jù)的全部信息，中數(shù)（四分位數(shù)及百分位數(shù)類(lèi)似，只是利用的更多）只利用了數(shù)據(jù)的大小順序信息，而眾數(shù)只利用了數(shù)據(jù)中的最大頻數(shù)信息，所以算術(shù)平均數(shù)反映集中趨勢(shì)最好，中數(shù)其次，眾數(shù)再次。

另外，Φ（x）＝1－Φ（－x），開(kāi)方檢驗(yàn)的思想——比較理論頻數(shù)與實(shí)際頻數(shù)，算術(shù)平均數(shù)性質(zhì)的意義，等等，都可以直觀解釋。

5 重視結(jié)果產(chǎn)生的過(guò)程

重視結(jié)果產(chǎn)生的過(guò)程，關(guān)注“知其所以然”，有利學(xué)生深刻地理解理論，更好地應(yīng)用理論，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力十分重要。應(yīng)當(dāng)指出的是，教師在教學(xué)中展示理論產(chǎn)生的過(guò)程，未必是“原汁原味”的，那倒不一定適合學(xué)生。教師有時(shí)要按照“建構(gòu)主義”思想，采取教育數(shù)學(xué)方法，從學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以能被學(xué)生所感悟?yàn)槟繕?biāo)，來(lái)“創(chuàng)造”理論的產(chǎn)生過(guò)程，借此過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生的能力。比如，對(duì)離散型隨機(jī)變量期望定義，我們?cè)O(shè)計(jì)了下面“產(chǎn)生”的思考過(guò)程：

第一步：1，2，1，3，2，2，3這7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為

第二步：設(shè)X是從這7個(gè)數(shù)中任意取出的一個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量X取值的平均數(shù)是什么？按（1＋2＋3）／3顯然不對(duì)，因?yàn)閄雖然只取這三個(gè)數(shù)，但取各個(gè)值的機(jī)會(huì)不同。

將第一步中式子變形為

可見(jiàn)，X取值的平均數(shù)是X的取值按概率的加權(quán)平均，從直觀上看，這是合理的。

第三步：X的期望是其取值的平均數(shù)。設(shè)取X的值N次，其中k出現(xiàn)Nk次，k＝1，2，3。由頻率是概率的近似值得

從而X的N次取值的平均數(shù)為

此結(jié)果與第二步相同，與N無(wú)關(guān)。由此得出期望定義，再加上為保證期望唯一性的“絕對(duì)收斂”條件，將定義完善。

又如，在方差分析教學(xué)中，我們采用下面直觀講法，幫助學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造思路：樣本間的誤差，是由諸水平效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差和由隨機(jī)因素引起的隨機(jī)誤差兩部分組成。因此，要研究“諸水平無(wú)顯著差異”的假設(shè)是否成立，就要研究在假設(shè)成立條件下，由諸水平效應(yīng)引起的系統(tǒng)誤差相對(duì)于由隨機(jī)因素引起的隨機(jī)誤差的大小，由此，再用樣本均值代替相應(yīng)的總體均值并稍作修改，得到方差分析中所用的統(tǒng)計(jì)量。這種直觀的講法，注重了結(jié)果產(chǎn)生的過(guò)程，不僅講了是什么，而且交代了為什么。

6 重視縱橫貫通的聯(lián)系

教學(xué)中重視縱橫貫通的聯(lián)系，對(duì)學(xué)生融會(huì)貫通、形成知識(shí)建構(gòu)，真正掌握理論，提高運(yùn)用知識(shí)去解決問(wèn)題的能力，是十分重要的。概率統(tǒng)計(jì)中這種聯(lián)系是多方面的。

6.1 聯(lián)系離散講連續(xù)

6.2 聯(lián)系一維講多維

多維隨機(jī)變量的概念和結(jié)果大多和一維隨機(jī)變量是平行的，形式上是相似的，思想方法上是類(lèi)同的。一般只要注意一元函數(shù)與多元函數(shù)的對(duì)應(yīng)，相應(yīng)地，一重極限與多重極限、一重求和或積分與多重求和或積分、導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的對(duì)應(yīng)，就可由一維隨機(jī)變量的概念和結(jié)果類(lèi)似建立多維的。這方面的例子很多。值得注意的是，正象一元函數(shù)與多元函數(shù)一樣，一維隨機(jī)變量與多維隨機(jī)變量存在很多不同之處，比如，分布函數(shù)的性質(zhì)。這一點(diǎn)在聯(lián)系中應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)。

6.3 聯(lián)系概率講統(tǒng)計(jì)

6.4 聯(lián)系檢驗(yàn)講估計(jì)

參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)與區(qū)間估計(jì)是密切聯(lián)系的。在學(xué)生了解了區(qū)間估計(jì)的概念、原理及思想之后，可通過(guò)引入構(gòu)造量——含有未知參數(shù)的樣本的函數(shù)的概念，由相應(yīng)的假設(shè)檢驗(yàn)方法，來(lái)得出參數(shù)的區(qū)間估計(jì)：只要將假設(shè)檢驗(yàn)的接受域中的統(tǒng)計(jì)量換成構(gòu)造量，再解出未知參數(shù)即可，限于篇幅，這里不詳述。這種區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)的聯(lián)系，不僅使學(xué)生避免了死記硬背繁雜的區(qū)間估計(jì)公式，而且這里引入的Neyman的由假設(shè)檢驗(yàn)的理論來(lái)建立區(qū)間估計(jì)理論的思想，有利于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

6.5 聯(lián)系現(xiàn)實(shí)社會(huì)生活

概率統(tǒng)計(jì)與日常生活、自然知識(shí)和生產(chǎn)實(shí)踐聯(lián)系密切，教學(xué)中要充分利用。這種聯(lián)系貼近學(xué)生生活，有利于學(xué)生知識(shí)建構(gòu)，增加實(shí)用感，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性。比如安徽體育彩票開(kāi)獎(jiǎng)號(hào)碼的數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析、生日問(wèn)題、保險(xiǎn)問(wèn)題等。

6.6 聯(lián)系學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)

概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)呈現(xiàn)的背景，要聯(lián)系學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)上的問(wèn)題，突出概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在實(shí)踐中的應(yīng)用，使學(xué)生感到需要，提高他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。比如，在師范類(lèi)專(zhuān)業(yè)教學(xué)中，要注意滲透教育統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容和方法，聯(lián)系中學(xué)教學(xué)實(shí)際；在經(jīng)濟(jì)與管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)教學(xué)中，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，介紹概率統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)與管理中的應(yīng)用，如“風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬”分析、“風(fēng)險(xiǎn)決策”分析、需求預(yù)測(cè)等，注重對(duì)學(xué)生應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域中問(wèn)題的意識(shí)與能力。

7 重視思想方法的凸現(xiàn)

概率統(tǒng)計(jì)中蘊(yùn)涵不少很好的思想方法，比如：概率加法公式中體現(xiàn)的“增補(bǔ)原理”，大量現(xiàn)象下呈現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)思想；全概率公式中體現(xiàn)的分解難點(diǎn)、由局部研究整體的思想；乘法公式中體現(xiàn)的“由因索果”思想，貝葉斯公式中體現(xiàn)的“由果索因”思想，等等。在相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)中，不失時(shí)機(jī)地闡述這些思想方法，十分有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］董毅.師范院校概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革初探［J］.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1997，（2）：75－77.

［2］董毅.概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與作業(yè)設(shè)計(jì)［M］.安徽大學(xué)出版社，2009.

［3］王丹華.2002年高考新課程卷中概率解題剖析與思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2003，（3）：36.

Teaching Design Ideas of Probability and Statistics under Engineering Background

Dong Yi

This article points out that the sentiment inference，the dialectical thought，and the experimental technique should be emphasized in the teaching of probability statistics，the direct thought and process concerned with the result are also focused，and knowledge mastered through a comprehensive study is helpful to promote the students＇thought development and to improve their mathematics ability.

engineering；probability statistics；teaching design

C81；O21

A

1673-1794（2012）05-0097-03

董 毅（1957－），男，教授，研究方向：教育統(tǒng)計(jì)學(xué)。

安徽省高等學(xué)校省級(jí)教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)改革工程項(xiàng)目（20101093）；蚌埠學(xué)院重點(diǎn)課程項(xiàng)目（ZDKC1101）

2012-10-13