蘇 鐵，董朝陽，侯硯澤

(北京航空航天大學a.航空科學與工程學院;b.自動化科學與電氣工程學院，北京 100191)

變體無人機能夠通過在飛行過程中的結(jié)構(gòu)變形來拓寬其飛行包線，同時在飛行包線內(nèi)的不同區(qū)域都能擁有較高的氣動效率［1］。然而，飛行過程中的結(jié)構(gòu)變形會引起重心位置、轉(zhuǎn)動慣量、機翼展長、機翼面積等構(gòu)型參數(shù)的改變，還會引起氣動力與力矩，慣性力與力矩的非線性變化，導(dǎo)致模型具有較強的時變性和不確定性。變體無人機的動力學建模及控制系統(tǒng)設(shè)計存在諸多問題和難點，國內(nèi)外學者對其進行了多種建模與控制方法的研究。文獻［2］通過多體假設(shè)及柔體假設(shè)對變體飛行器進行了動力學建模，文獻［3］在此基礎(chǔ)上基于線性變參(LPV)系統(tǒng)理論提出了一種變體飛行器的穩(wěn)定性分析方法。文獻［4］針對Z型翼變體無人機，對機翼折疊過程中的氣動特性進行了數(shù)值模擬。文獻［5］提出一種多環(huán)的控制器設(shè)計方法，內(nèi)環(huán)提供飛機的定常穩(wěn)定性，外環(huán)采用LPV設(shè)計方法保證變體飛機在時變氣動特性下的魯棒穩(wěn)定性。本文擬采用切換控制方法對變體無人機控制系統(tǒng)設(shè)計進行嘗試。切換系統(tǒng)是由一組連續(xù)微分方程描述的子系統(tǒng)集合以及各子系統(tǒng)之間的切換規(guī)則組成的混合動力學系統(tǒng)，能對參數(shù)大范圍變化的系統(tǒng)進行描述和分析［6］，在航空航天領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如垂直、短距起降飛行器的切換控制［7］，飛機大迎角機動跟蹤控制［8］，高超聲速飛行器的自適應(yīng)控制［9－10］等。

飛行器的縱向穩(wěn)定性與縱向短周期運動直接相關(guān)，因此在飛行器控制領(lǐng)域往往使用短周期特性來分析縱向穩(wěn)定性。在本文中，針對能進行機翼結(jié)構(gòu)變形的變體無人機Fire-Bee，在質(zhì)點系假設(shè)條件下得出其縱向短周期動力學模型;將其視作一類線性切換系統(tǒng)，選擇若干設(shè)計點，針對各點設(shè)計單點控制器;確定控制器切換方案，建立能夠在不同的控制器之間進行切換的切換控制系統(tǒng);通過構(gòu)造公共Lyapunov函數(shù)，利用線性矩陣不等式(LMI)證明系統(tǒng)的一致有界性。最后，基于非線性運動方程，對控制方案進行仿真驗證。

1 動力學建模

變體無人機Fire-Bee在飛行過程中能夠在“巡航”和“高速”兩種形態(tài)間進行機翼結(jié)構(gòu)變形，如圖1所示。

圖1 變體無人機Fire-Bee平面圖

變體無人機Fire-Bee機翼后掠角變化范圍為15°～60°，機翼面積、平均氣動弦長、展長隨之連續(xù)變化，一個后掠角對應(yīng)于一種固定構(gòu)型，變體無人機的氣動數(shù)據(jù)根據(jù)不同的構(gòu)型給出，也就是說，它們都是后掠角χ的函數(shù)。在進行縱向短周期動力學建模時，有如下簡化條件:

(1)準定常假設(shè):忽略由飛行中的變形動態(tài)過程引起的非定常氣動力與力矩，假設(shè)變體飛行中的氣動力與力矩等同于當前瞬態(tài)結(jié)構(gòu)下飛行的氣動力與力矩;

(2)質(zhì)點系假設(shè):在變體無人機相對于機體軸進行結(jié)構(gòu)變形時，將各變形結(jié)構(gòu)的運動視為質(zhì)點的運動，只考慮由其質(zhì)心運動引起慣性力與力矩的非線性變化，忽略其轉(zhuǎn)動及其他變形形式的影響;

(3)在縱向運動方程中，不考慮發(fā)動機推力引起的俯仰力矩，并假定發(fā)動機安裝角為零;

(4)變體無人機Fire-Bee上有質(zhì)量為ma的配重，位于機體縱軸(x軸)上，坐標為xa，它能在無人機變后掠過程中隨著機翼(質(zhì)量為mw)的重心位置(x軸坐標為xw)移動而移動，從而始終保持全機重心位置不變。

在準定常假設(shè)和質(zhì)點系假設(shè)條件下，變體無人機多體動力學方程為:

式中，

mT為全機質(zhì)量，

v= ［VTcosαcosβ VTsinβ VTsinαcosβ］T為飛行速度矢量，

ω=［P Q R］T為相對于地面坐標系的轉(zhuǎn)動角速度矢量，

F為氣動力矢量，

M為氣動力矩矢量，

A10為地面坐標系到體軸系的轉(zhuǎn)換矩陣，

Jf為機身(無人機非變形部分)轉(zhuǎn)動慣量，

b1i為動質(zhì)點在體軸系中的位置矢量，

將式(1)中力的方程與力矩的方程展開為標量形式，并將力的方程投影到風軸坐標系Fw上，得到基于假設(shè)條件3的縱向短周期運動方程:

式中，

Jxf為機身俯仰轉(zhuǎn)動慣量，

S為機翼面積，

q為當前動壓，

c為平均氣動弦長，

δe為升降舵偏角。

再由條件4可知mwxw+maxa=0，將式(2)簡化為:

至此便完成了變體無人機Fire-Bee的縱向短周期非線性動力學建模，在采用切換系統(tǒng)理論進行控制系統(tǒng)設(shè)計時，還需要對其進行線性化。在選定的后掠角下對式(3)進行線性化時，xw、xa為常數(shù)，并且力、力矩系數(shù)也具有如下形式:

其中各氣動力、力矩導(dǎo)數(shù)均為后掠角χ的函數(shù)。于是便可得到與固定翼飛機相同形式的小擾動狀態(tài)空間模型:

狀態(tài)變量 x=(α，Q)，控制變量 u 取 δe。Asp、Bsp由變體無人機在某高度、馬赫數(shù)下的氣動參數(shù)、構(gòu)型參數(shù)計算得出，它們隨著無人機的變形而改變，可把Asp、Bsp看作是后掠角的函數(shù)。

2 切換控制研究

2.1 切換系統(tǒng)模型及控制器設(shè)計

在式(4)中，系統(tǒng)矩陣Asp、控制矩陣Bsp隨后掠角χ變化，將其視為一類線性切換系統(tǒng):

式中，下標 σ(t，χ):［0，+∞)? X→ Ω ={1，2…，N}為分段右連續(xù)切換信號，后掠角χ為獨立于切換系統(tǒng)模型的決策變量 X=［15°，60°］，Ω 為模型下標集;{(Asp，iBsp，i)，i∈Ω}為切換系統(tǒng)矩陣集，滿足(Asp，iBsp，i)可控且 Bsp，i列滿秩。

本文中的切換系統(tǒng)決策變量χ在15°～60°之間變化，每5°劃分一個區(qū)間，獲得10個分別對應(yīng)于后掠角15°、20°、…60°的子系統(tǒng);針對每個子系統(tǒng)，在未加入舵面作動環(huán)節(jié)的情況下，采用極點配置方法，選擇配置極點為［－2+2i，－2－2i］，得到狀態(tài)反饋增益向量;加入舵面作動環(huán)節(jié)Ga=20.2/(s+20.2)，將由極點配置得到的狀態(tài)反饋量直接反饋到升降舵偏角指令端，驗證表明帶舵面作動環(huán)節(jié)的閉環(huán)系統(tǒng)主導(dǎo)極點與配置點［－2+2i，－2－2i］臨近，單點控制器設(shè)計結(jié)果滿意;最后，在設(shè)計得到的各子系統(tǒng)控制器上加入切換律(根據(jù)后掠角χ)，得到變體無人機的縱向短周期控制系統(tǒng)，控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 切換控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

2.2 閉環(huán)切換系統(tǒng)穩(wěn)定性

由文獻［6］可知，閉環(huán)切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性可通過如下引理來進行驗證:

則閉環(huán)系統(tǒng)在任意切換律下一致有界。

3 仿真驗證

本文以變體無人機Fire-Bee為例，設(shè)計其縱向短周期切換控制系統(tǒng)，并對其閉環(huán)動態(tài)特性進行仿真驗證。仿真在高度9 150 m，馬赫數(shù)0.5處進行，采用文獻［2］給出的氣動數(shù)據(jù)。表1列出了無人機在“巡航”、“高速”兩種形態(tài)下的構(gòu)型參數(shù)，其他后掠角度下的參數(shù)通過一定方式擬合得到。

表1 變體無人機Fire-Bee構(gòu)型參數(shù)

采用2.1節(jié)中介紹的方法，劃分后掠角區(qū)間得到 10 個子系統(tǒng)矩陣集合(Asp，σ，Bsp，σ)，針對各子系統(tǒng)采用極點配置方法得到10個反饋增益向量集合 ksp，σ，為簡單起見將它們表示為 A15、B15、k15，A20、B20、k20，….，A60、B60、k60，分別對應(yīng)于后掠角15°、20°，….，60°。加入舵面作動環(huán)節(jié)后，驗證得到所有閉環(huán)子系統(tǒng)共軛極點均在配置極點(－2，±2i)的R=0.255領(lǐng)域內(nèi)，單點控制器的設(shè)計結(jié)果滿意。在切換控制系統(tǒng)中，設(shè)計切換律為在各相鄰子系統(tǒng)所對應(yīng)的后掠角區(qū)間的中點處進行控制器切換，例如在(A15，B15)、(A20，B20)所對應(yīng)的后掠角區(qū)間［15°，20°］上，切換點為 17.5°，在［15°，17.5°］區(qū)間上使用反饋增益向量 k15，在［17.5°，20°］區(qū)間上使用反饋增益向量 k20。

在采用2.2節(jié)中的定理進行閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析時，為了提高分析精度，以1°為間隔在χ∈［15°，60°］上劃分得到 46 個閉環(huán)切換子系統(tǒng)，系統(tǒng)矩陣分別為 A15x、A16x、A17x、…、A60x，Ajx表示χ=j°時的開環(huán)子系統(tǒng)加上升降舵作動器和最鄰近設(shè)計點處的控制器后的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣，例如在χ=17°處，開環(huán)系統(tǒng)矩陣A17和控制矩陣B17在加入作動器環(huán)節(jié)和反饋增益向量k15后得到閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A17x。通過MATLAB軟件LMI工具箱計算得出令 A15x、A16x、A17x、…、A60x滿足切換系統(tǒng)穩(wěn)定條件(6)的正定解矩陣P存在，且

故由定理1可知閉環(huán)切換系統(tǒng)可在反饋控制律及切換信號作用下保持穩(wěn)定。

選擇后掠角38°作為代表，仿真驗證所設(shè)計的切換控制系統(tǒng)在設(shè)計點之外的工作點處的飛行控制效果。圖3為閉環(huán)系統(tǒng)在后掠角38°靜態(tài)構(gòu)型下的迎角擾動響應(yīng)，包括線性模型和非線性模型的仿真結(jié)果。仿真結(jié)果表明，線性模型對變體無人機的運動描述與非線性模型比較貼近，在給予5°的迎角擾動后，迎角在3 s內(nèi)回到平衡點，俯仰角速度波動幅值不超過6°/s，舵偏角操縱量在1°以內(nèi)，切換控制系統(tǒng)在此構(gòu)型下控制效果良好。

圖3 后掠角38°構(gòu)型下的迎角擾動響應(yīng)

圖4和圖5顯示了閉環(huán)系統(tǒng)在無人機進行變體飛行時的動態(tài)特性，在變體過程中，舵偏指令始終取為當前后掠角度下的平飛配平舵偏角。圖4為Fire-Bee從“高速”形態(tài)向“巡航”形態(tài)進行結(jié)構(gòu)變形時的飛行仿真結(jié)果，無人機從2秒開始變形，后掠角在5秒內(nèi)從60°勻速變化到15°，結(jié)果顯示其在變體過程中對配平迎角跟蹤良好。圖5為Fire-Bee在有迎角擾動的情況下，從“巡航”形態(tài)向“高速”形態(tài)進行結(jié)構(gòu)變形時的飛行仿真結(jié)果，無人機從2秒開始變形，后掠角在5秒內(nèi)從15°勻速變化到60°，在開始變形的同時給予其－5°的迎角擾動，結(jié)果顯示其在變體飛行過程中具有較強的抗擾動能力。

4 結(jié)論

本文針對變體無人機Fire-Bee，在質(zhì)點系假設(shè)條件下建立其動力學模型，并根據(jù)切換系統(tǒng)理論對其進行縱向切換控制系統(tǒng)設(shè)計。通過文中給出的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件驗證表明，設(shè)計得到的控制系統(tǒng)能夠保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。仿真結(jié)果表明:在各固定構(gòu)型下，閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性;切換控制系統(tǒng)能夠保證變體無人機在飛行過程中進行平穩(wěn)的變形，并且在變形過程中具有較強的抗擾動能力。

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