李 文

（平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 平頂山 467000）

二元一次不定方程的說課設(shè)計(jì)

李 文

（平頂山學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南 平頂山 467000）

本文從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)方法、教學(xué)過程及設(shè)計(jì)意圖等方面對“二元一次不定方程”的教學(xué)進(jìn)行說課設(shè)計(jì)，并把啟發(fā)式教學(xué)法、類比教學(xué)法和探究教學(xué)法融入到該節(jié)課的教學(xué)過程中；從而突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，使學(xué)生更好地掌握該節(jié)內(nèi)容，同時也為《初等數(shù)論》課程中其它內(nèi)容的教與學(xué)提供參考.

說課；初等數(shù)論；二元一次不定方程

本文以閔嗣鶴、嚴(yán)士健編著的第三版《初等數(shù)論》第二章第1節(jié)“二元一次不定方程”為案例進(jìn)行說課設(shè)計(jì)。下面我將從教材分析、學(xué)情分析、教學(xué)方法、教學(xué)程序四個方面進(jìn)行簡要闡述.

1 教材分析

本節(jié)課的內(nèi)容是二元一次不定方程，它是整冊教材中的重難點(diǎn)之一，這部分內(nèi)容是第一章整除理論中有關(guān)知識的應(yīng)用，是本章第二節(jié)學(xué)習(xí)多元一次不定方程的基礎(chǔ)，同時也為第四章求解一次同余式提供了一種方法.

根據(jù)師范教育的培養(yǎng)目標(biāo)和初等數(shù)論教學(xué)大綱要求,對本節(jié)課我制定了如下教學(xué)目標(biāo)：

基礎(chǔ)知識目標(biāo)：⑴.掌握二元一次不定方程有整數(shù)的充要條件；⑵.理解并掌握在有解的情況下一切整數(shù)解的表達(dá)式；⑶.能熟練求二元一次不定方程的特解、正整數(shù)解和一切整數(shù)解。

能力訓(xùn)練目標(biāo)：鍛煉學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和討論問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生勤于思考、善于歸納總結(jié)、把所學(xué)知識融會貫通的能力。

情感態(tài)度目標(biāo)：讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中探索與發(fā)現(xiàn)的樂趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲；讓學(xué)生體驗(yàn)解決問題的過程，培養(yǎng)科學(xué)探究精神。

根據(jù)教材內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)我確定本節(jié)課的重點(diǎn)是二元一次不定方程有解的充要條件、一切解的表達(dá)式及求解方法。而難點(diǎn)是二元一次不定方程一切解的表達(dá)式及推導(dǎo)過程.

2 學(xué)情分析

學(xué)生在中學(xué)階段已經(jīng)接觸到了二元一次不定方程；第一章又研究了整除、最大公因數(shù)、輾轉(zhuǎn)相除法等理論知識，而二元一次不定方程一切整數(shù)解的結(jié)構(gòu)與《高等代數(shù)》中非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)，以及《常微分方程》中常系數(shù)非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)有著類似之處，因此，學(xué)生具有學(xué)習(xí)本節(jié)課的知識基礎(chǔ)。大二的學(xué)生具有較強(qiáng)的抽象思維和邏輯思維能力，具備學(xué)習(xí)這節(jié)課的認(rèn)知基礎(chǔ).

3 教學(xué)方法

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教材內(nèi)容以及學(xué)生的認(rèn)知情況，我采用啟發(fā)式教學(xué)法、類比教學(xué)法和探究教學(xué)法相結(jié)合的教學(xué)方法.

4 教學(xué)程序

為了實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，在教學(xué)過程中注意突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，我將從以下六個環(huán)節(jié)來進(jìn)行教學(xué)，具體過程如下：

4.1 創(chuàng)設(shè)情境——提出問題

在這一環(huán)節(jié)，首先介紹中國古代數(shù)學(xué)中著名的“百雞問題”。該問題學(xué)生在中學(xué)時就已經(jīng)有所了解。學(xué)生通過分析，設(shè)出未知數(shù)x,y,z，可得不定方程組，進(jìn)而消去未知數(shù)z，得到7x+4y=100.讓學(xué)生回顧中學(xué)所學(xué)解法。由此引出二元一次不定方程的一般形式

其中 a，b，c是整數(shù)，b≠0.

在引出新概念后，向?qū)W生提問：不定方程(1)一定存在整數(shù)解嗎？給出兩個簡單例子（如：2x+3y=5，2x+4y=1），學(xué)生通過觀察，可知答案是不一定的。在此基礎(chǔ)上，向?qū)W生提出本節(jié)課所要解決的兩個核心問題：

問題一：不定方程(1)在什么情況下，有整數(shù)解?

問題二：如果不定方程(1)有解，如何求出其一切整數(shù)解？

下面的環(huán)節(jié)將圍繞這兩個問題展開.

4.2 啟發(fā)探究——突出重點(diǎn)

這一環(huán)節(jié)中主要解決“二元一次不定方程有解的充要條件”這一問題.

首先，和學(xué)生一起觀察、分析二元一次不定方程的一般形式，引導(dǎo)學(xué)生利用第一章中整除和最大公因數(shù)的性質(zhì)探究ax+by=c有解的必要條件，然后，讓學(xué)生討論該必要條件是否為ax+by=c有解的充要條件，并引導(dǎo)學(xué)生加以驗(yàn)證。進(jìn)而，引入定理2，該定理證明過程的板書，在學(xué)生主動分析問題時，同步完成。至此問題一得到解決.

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是：在講解定理2時，我采用了引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識先尋求有解的必要條件，然后驗(yàn)證其充分性的做法。與直接展示結(jié)論再證明的做法相比，這樣做可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，更有助于培養(yǎng)學(xué)生自主探究問題的能力。讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中探索與發(fā)現(xiàn)的樂趣，培養(yǎng)科學(xué)探究精神.

4.3 類比歸納——突破難點(diǎn)

通過例子使學(xué)生明白：如果二元一次不定方程有解的話，那么一定有無窮多個解。如何求出它的一切整數(shù)解呢？進(jìn)而，讓學(xué)生回顧《高等代數(shù)》中非齊次線性方程組通解的結(jié)構(gòu)，以及《常微分方程》中常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解的結(jié)構(gòu)。引導(dǎo)學(xué)生用類比的方法猜測，二元一次不定方程在有解的情況下一切解的結(jié)構(gòu)——ax+by=0的通解+原方程的一個特解。進(jìn)一步，啟發(fā)學(xué)生利用整除的性質(zhì)，探究ax+by=0的通解.最后歸納總結(jié)二元一次不定方程一切解的表達(dá)式.組織學(xué)生分析討論，尋找證明思路，同時板書證明過程.為了讓學(xué)生加深對定理2的理解，給出一個簡單的二元一次不定方程（如：6x+4y=10），讓學(xué)生寫出該不定方程一切解的表達(dá)式.

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是：通過類比教學(xué)法能激發(fā)學(xué)生把相關(guān)內(nèi)容結(jié)合起來比較學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握從已知到未知探求解決問題的方法。這樣做能加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，使學(xué)生從知識和能力兩個方面得到同步提升.

定理1內(nèi)容說明：如果知道二元一次不定方程的一個特解的話，就可以寫出該方程一切解的表達(dá)式。如果已知二元一次不定方程有解，那么怎樣去求出該方程的一個特解呢？由此，進(jìn)入下一環(huán)節(jié).

4.4 化歸討論——解決問題

引導(dǎo)學(xué)生由定理2充分性的證明過程發(fā)現(xiàn)，在有解的情況下，要求ax+by=c的特解，可轉(zhuǎn)化為求ax+by=(a,b)的特解.進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)ax+by=d 與 a1x+b1y=1（其中(a,b)=d,a=a1d=b1d）同解.最后，組織學(xué)生利用第一章所學(xué)的輾轉(zhuǎn)相除法及其性質(zhì)，分析歸納出求形如不定方程a1x+b1y=1,(a1,b1)=1的特解的方法.至此，第一個環(huán)節(jié)中所提出的兩個問題全部得以了解決.

這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)意圖是：利用化歸思想把要解決的新問題，通過觀察、分析、聯(lián)想等思維過程，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行轉(zhuǎn)化、歸結(jié)為熟悉的問題加以解決。這樣做可以使學(xué)生體驗(yàn)解決問題的樂趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲.

4.5 即時訓(xùn)練——鞏固新知

在這一環(huán)節(jié)中，引導(dǎo)學(xué)生利用以上所學(xué)到的知識，解決“百雞問題”.為了使學(xué)生更好地掌握二元一次不定方程的求解方法，我將和學(xué)生一起分析討論例2：求111x-321y=75的一切整數(shù)解.

通過兩道例題講解，引導(dǎo)學(xué)生對二元一次不定方程的求解步驟進(jìn)行歸納.

首先，利用定理2判斷二元一次不定方程是否有解；其次，若有解，利用輾轉(zhuǎn)相除法求出該不定方程的一個特解；最后，利用定理1寫出不定方程一切解的表達(dá)式.

為了使學(xué)生熟練地掌握二元一次不定方程的求解方法.我將設(shè)置一個課堂練習(xí)題：P31.1(a).讓學(xué)生自己動手完成.為了學(xué)生在課下可以更好的復(fù)習(xí)鞏固本節(jié)課的內(nèi)容，我選擇部分習(xí)題作為課后作業(yè).課后作業(yè)：P31.1(a)、3.

在本節(jié)課結(jié)束之前，向?qū)W生提出課后思考的問題：

問題1：由二元一次不定方程的一般形式寫出n元一次不定方程的一般形式？

問題2：嘗試?yán)帽竟?jié)所學(xué)到的方法，找出n元一次不定方程有解的充要條件？

這部分的設(shè)計(jì)意圖是：對課堂所學(xué)知識進(jìn)行延伸，并為下節(jié)課的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ).

〔1〕閔嗣鶴,嚴(yán)士健.初等數(shù)論[M].北京:高等教育出版社,2003.

〔2〕王丹華,楊海文,劉詠梅.初等數(shù)論[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2008.

〔3〕潘承洞,潘承彪.初等數(shù)論[M].北京:北京大學(xué)出版社,2003.

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1673-260X（2012）06-0239-02

平頂山學(xué)院校級教研項(xiàng)目（2010-YJ14）