韓 偉

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)研究

韓 偉

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本人通過教學(xué)實(shí)踐，深感概率統(tǒng)計(jì)教與學(xué)之難，通過隨機(jī)變量函數(shù)的分布這一具體內(nèi)容，分析了學(xué)生普遍認(rèn)為概率統(tǒng)計(jì)比較難學(xué)的原因，探討了概率統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)內(nèi)容、方法等方面的教學(xué)改革思路，以期為數(shù)學(xué)課程教學(xué)方法改革實(shí)踐提供一些參考.

概率統(tǒng)計(jì)；隨機(jī)變量；函數(shù)；教學(xué)改革

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一門十分活躍的理論性和實(shí)踐性都很強(qiáng)的學(xué)科，其知識(shí)和方法在各個(gè)領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)滲透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的很多領(lǐng)域.在高等學(xué)校，它是理、工、農(nóng)、醫(yī)、經(jīng)管等許多專業(yè)的一門必修基礎(chǔ)課，正在逐漸成為文史、軍事、教育等專業(yè)的選修課.通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本理論和方法，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力，這一點(diǎn)在注重應(yīng)用型人才培養(yǎng)的今天，顯得尤為重要.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)與學(xué)生前期所學(xué)的其他數(shù)學(xué)課程具有不同的特點(diǎn)：由于隨機(jī)現(xiàn)象的不確定性，使人感到把握不定，主要表現(xiàn)在概念難以建立，方法難以掌握，思維難以展開，習(xí)題無從下手等困惑.在教學(xué)中應(yīng)循序善誘，層層剖析，深入淺出，學(xué)用結(jié)合.下面就隨機(jī)變量函數(shù)分布的教學(xué)談一點(diǎn)粗淺的體會(huì).

1 概念理論要清楚

對(duì)于隨機(jī)變量X和連續(xù)函數(shù)Y=g(X)求隨機(jī)變量Y的分布函數(shù)的一般方法是FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，再轉(zhuǎn)化成含有X的事件，利用X的分布即可求解.而離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率一般使用求和符號(hào)表示的，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率一般使用積分符號(hào)表示的，因此又演變出了求離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)或概率的具體方法.

1.1 對(duì)于離散型隨機(jī)變量X，P{X=xi}=pi，i=1,2,…，求Y的分布.

1.1.1 若yi=g(xi),i=1,2,…，為單射時(shí)，則有

1.1.2 若yi=g(xi),i=1,2,…，不為單射時(shí)，即若xi≠xj時(shí)，不一定有yi≠yj，則應(yīng)分別把那些相等的值合并，并根據(jù)概率加法公式把相等的pi相加，就得到 的分布列.

1.2 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，設(shè)p(X)為隨機(jī)變量X的密度函數(shù)，Y=g(X)為連續(xù)函數(shù)，求Y的分布函數(shù)或密度函數(shù).

1.2.1 分布函數(shù)法 也是求Y=g(X)的分布函數(shù)（或密度函數(shù)）的通用方法

a）先求Y的分布函數(shù)

b）若求Y的密度函數(shù)，需對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)

1.2.2 公式法 對(duì)于單調(diào)可微函數(shù)Y=g(X)，Y的分布函數(shù)（或密度函數(shù)）可用下面公式求得

其中 x=g-1(y)是 y=g(x)的反函數(shù)，α=min{g(-∞),g(+∞)}，β=max{g(-∞),g(+∞)}

在計(jì)算隨機(jī)變量的函數(shù)的分布時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

1）首先要準(zhǔn)確求出Y的取值范圍.一般地，由Y=g(X)和X的取值范圍即決定了Y的取值范圍.但是對(duì)于離散型隨機(jī)變量，要注意相同值的合并，相同值之間是“或”的關(guān)系.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，若Y=g(X)不是單調(diào)函數(shù)時(shí)，往往需要將區(qū)間化成有限個(gè)或可列個(gè)單調(diào)區(qū)間.然后在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上應(yīng)用公式；

2）應(yīng)正確計(jì)算Y的分布.對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，若Y=g(X)為一般的連續(xù)函數(shù)時(shí)，要使用公式（3），先求出FY(y)，再求pY(y)；

3）在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)的分布函數(shù)（或密度函數(shù)）時(shí)，得到的往往是分段函數(shù)，一定要注意討論.

2 例題要由淺入深，富有代表性

離散型的題目較簡(jiǎn)單，在此不述.

例1 已知隨機(jī)變量X的概率密度為

求隨機(jī)變量Y=sinX的概率密度.

接下來求積分，再求導(dǎo)即可.

對(duì)于這樣的問題，要引導(dǎo)學(xué)生作出圖像，簡(jiǎn)單明了.

舉一反三：

1）設(shè)隨機(jī)變量 X在(0,π)內(nèi)服從均勻分布，即 X～U(0,π)，試求Y=sinX的分布函數(shù)G(y)和密度函數(shù)g(y).（課本的練習(xí)題）

2）設(shè)隨機(jī)變量 X 在(-π/2,π/2)內(nèi)服從均勻分布，試求Y=CosX的密度函數(shù)fY(y).

例2 對(duì)球的直徑X做近似測(cè)量，設(shè)其值均勻分布于區(qū)間[a,b]，試求球體積Y的密度函數(shù).

實(shí)驗(yàn)儀器:H 2 S檢測(cè)儀:PN-2000在線式H 2 S檢測(cè)儀;反應(yīng)釜:江蘇海安石油科技耐高溫高壓抗腐蝕不銹鋼反應(yīng)釜;p H計(jì):上海雷磁PHBJ-260便攜式p H計(jì)。

又如：設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的事件X服從指數(shù)分布，平均無故障工作的時(shí)間EX為5小時(shí)，設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)FY(y).

例3 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)FX(x)為嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)，證明Y=FX(X)服從均勻分布.

說明：當(dāng) y<0 時(shí)，F(xiàn)Y(y)=0，當(dāng) y≥1 時(shí)，F(xiàn)Y(y)=1，當(dāng) 0≤y<1時(shí)，

這個(gè)例子說明一維連續(xù)型隨機(jī)變量不同的密度函數(shù)p(x)可以對(duì)應(yīng)同一個(gè)分布函數(shù)FX(x).另一方面，這是一個(gè)十分典型的例題，可以有多種變形，如：

1）設(shè)隨機(jī)變量X服從(a,b)上的均勻分布，令Y=cX+d(c≠0).證明Y服從均勻分布.

2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，Y=1-e-2x，在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布.

例4 設(shè)隨機(jī)變量X服從 (-1,1)上的均勻分布，Y=sgnX，求Y的概率分布.

又如：設(shè)隨機(jī)變量X服從(0,2)上的均勻分布

求Y的分布函數(shù).

顯然，Y不是離散型隨機(jī)變量，Y也不是連續(xù)性隨機(jī)變量.Y的分布函數(shù)FY(y)在Y=1處不連續(xù).

在教材中，一般只討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量，在二者之間還有一種隨機(jī)變量，由于本身較復(fù)雜，應(yīng)用也少，故沒有討論.對(duì)于隨機(jī)變量函數(shù)，若隨機(jī)變量是離散型的，其函數(shù)一定是離散型的；若隨機(jī)變量是連續(xù)型的，其函數(shù)也可是離散型的，也可是連續(xù)型的，也可是非離散非連續(xù)型的.

概率統(tǒng)計(jì)來源于生活，具有深厚的應(yīng)用基礎(chǔ)，其有些內(nèi)容使人感到是實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，有點(diǎn)像文科課程，而不像數(shù)學(xué)；另外，它又具有嚴(yán)密的理論體系，抽象，難于理解.正是這種二重性，使概率統(tǒng)計(jì)成為難教難學(xué)的“邊緣”學(xué)科，因此，在教學(xué)上要把握好利用好它的特點(diǎn)，應(yīng)用性強(qiáng)，要結(jié)合實(shí)踐來學(xué)，學(xué)以致用；理論性強(qiáng)，要把握住它的整體框架，在這個(gè)框架下找準(zhǔn)用好每一個(gè)概念、定理、公式，并掌握好它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.

概率統(tǒng)計(jì)討論的是不確定性問題，它的理論、方法和思維方式與以往所學(xué)的確定性理論都有很大的不同，學(xué)生感到很陌生，難以理解，無從下手，因此，教學(xué)中要注重概念的交代和比較辨析，注重理論的嚴(yán)密和實(shí)用，注重方法的演示和訓(xùn)練.循序漸進(jìn)，由淺入深，層層剖析.使學(xué)生掌握好概率統(tǒng)計(jì)這個(gè)無處不用的“萬能”工具.

〔1〕沈京一.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2008.

〔2〕王麗霞.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2010.

〔3〕茆詩(shī)松.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，2005.

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1673-260X（2012）03-0006-02