線性分布載荷作用下功能梯度簡(jiǎn)支梁彎曲解析解

李華東，梅志遠(yuǎn)，朱錫，張穎軍

(海軍工程大學(xué)船舶與動(dòng)力學(xué)院，湖北武漢430033)

功能梯度材料(functionally graded materials，F(xiàn)GM)的概念是1984年，由日本材料學(xué)者平井敏雄等針對(duì)航天技術(shù)中出現(xiàn)的高落差溫度(＞1 000℃)現(xiàn)象提出的［1］.其材料屬性在剖面上連續(xù)變化，基本消除了宏觀界面，F(xiàn)GM有效地實(shí)現(xiàn)了材料內(nèi)部功能的漸變，達(dá)到了緩和熱應(yīng)力、避免或降低應(yīng)力集中的目的［2］，同時(shí)，這種材料具有很好的可設(shè)計(jì)性，設(shè)計(jì)人員可以通過(guò)優(yōu)化方法有目的地改變材料組成，以獲得所期望的性能:減小最大撓度、增大基頻或減小最大主應(yīng)力［3］.FGM良好的物理性能和獨(dú)特的設(shè)計(jì)思想引起了國(guó)際學(xué)術(shù)界和工程界的廣泛關(guān)注，其在裝甲防護(hù)、熱力機(jī)械及人體醫(yī)學(xué)等工程分支和系統(tǒng)內(nèi)都得到了廣泛的應(yīng)用.

由于FGM是一種非均質(zhì)材料，所以其材料基本物理性能的表述與均質(zhì)材料不同，其結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析方法也不同于均質(zhì)結(jié)構(gòu).用于FGM結(jié)構(gòu)的主要理論分析方法［4］有:層合模型法、簡(jiǎn)化模型法與精確解法(解析法)，其中，解析法是嚴(yán)格求解問(wèn)題的控制方程和邊界條件，求出FGM結(jié)構(gòu)的應(yīng)力與應(yīng)變分布的完全解析解.目前，對(duì)于功能梯度梁的求解能得到解析解的僅是極少數(shù)的情況.基于應(yīng)力函數(shù)的半逆解法，于濤與仲政等［4-5］分別得出了均布載荷、端部集中力與力矩作用下的功能梯度懸臂梁的彎曲問(wèn)題的解析解.Sankar等［6］假設(shè)梁的彈性模量在厚度上呈指數(shù)變化，得到了橫向載荷作用下功能梯度梁的彈性解.而同樣采用應(yīng)力函數(shù)法，黃德進(jìn)等［7］則將任意載荷利用正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到了任意載荷作用下各向異性功能梯度梁的解析解和半解析解.

本文基于應(yīng)力函數(shù)法，研究了線性分布載荷作用下材料屬性在厚度方向上任意變化的功能梯度簡(jiǎn)支梁的彎曲問(wèn)題，通過(guò)推導(dǎo)得到了適合線性載荷作用下功能梯度簡(jiǎn)支梁的更簡(jiǎn)潔的應(yīng)力函數(shù)φ的表達(dá)形式，并給出了滿足邊界條件的各向應(yīng)力應(yīng)變和位移的顯式解析表達(dá)式.

1 相容方程與平衡方程

1.1 載荷分布與材料屬性假設(shè)

如圖1所示，考慮一個(gè)矩形截面的簡(jiǎn)支梁，其深度為h，長(zhǎng)度為l，體力忽略不計(jì)，在上表面承受線性分布載荷:

由于泊松比對(duì)功能梯度結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)的影響較?。?］，假設(shè)其在整個(gè)結(jié)構(gòu)上保持恒定于μ.材料的彈性模量只在厚度方向上發(fā)生變化，其分布采用如下函數(shù)進(jìn)行表述:

式中:E1為上表層材料的彈性模量，E(z)為坐標(biāo)z的任意函數(shù).

圖1 功能梯度簡(jiǎn)支梁Fig.1 Simp ly supported functionally graded beam

1.2 基本微分方程

各應(yīng)力與應(yīng)變分量應(yīng)滿足以下平衡方程和相容方程［8］.

平衡微分方程:

相容方程:

假設(shè)梁處于平面應(yīng)力狀態(tài)，采用平面應(yīng)力本構(gòu)關(guān)系，其通用表達(dá)式為

式中:

2 應(yīng)力函數(shù)法求解

2.1 應(yīng)力函數(shù)Φ

首先，引入以下形式的應(yīng)力函數(shù)［10］Φ:

Φ與各應(yīng)力滿足以下關(guān)系式:

式中:φ0(z)、φ1(z)、φ2(z)與 φ3(z)均為待定函數(shù)，則可以得出各向應(yīng)力的表達(dá)式為

從式(6)可以看到，φ0中的常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)、φ1中的常數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)力沒(méi)有影響，可以忽略.

2.2 邊界條件

1)梁的上表面(z=-h/2):

2)梁的下表面(z=h/2):

3)梁的兩端:在梁的兩端，根據(jù)圣維南原理，可以得出以下邊界條件:σx在2個(gè)邊界上均合成平衡力系，現(xiàn)在只給出x=l一端的，在后面將會(huì)發(fā)現(xiàn)其對(duì)于x=0處也是自然成立的，即

而切應(yīng)力在梁的兩端合成向上的反力:

4)位移邊界條件:

將式(6)代入式(7)和(8)，得

則可以得出:

2.3 平衡方程與求解

將式(4)和(6)代入相容方程式(3)，并合并化簡(jiǎn)得

式(14)對(duì)于任意x均是成立的，所以其系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)必為0，最終得出4個(gè)平衡方程:

先求解式(17)，得

式中:I1(z)= ∫E(z)z d z，I12(z)= ∫I1d z，I0(z)=∫E(z)d z，I02(z)= ∫I0(z)d z.

由式(18)得

由式(16)得

式中，因?yàn)棣?(z)的常數(shù)項(xiàng)對(duì)各應(yīng)力分量的分布沒(méi)有影響，所以可以設(shè)C12=0.各積分函數(shù)如下:

由式(15)得

式中，φ0(z)的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)對(duì)各應(yīng)力的分布沒(méi)有影響，因而可以設(shè)C15=C16=0.

將式(19)代入式(12)所示的邊界條件得

解之得

同樣，將式(20)代入式(12)所示的邊界條件，可以得出

解之得

式中:

將式(21)代入式(12)、(13)中其滿足的邊界條件得

解之得

式中:

將式(22)代入式(13)中其所滿足的邊界條件得

解之得

2.4 應(yīng)力應(yīng)變表達(dá)式

通過(guò)2.3節(jié)的求解，得出了參數(shù)Ci(i=1～16)的數(shù)值，可以得出φ0(z)=φ2(z)=0，而由式(6)可以得出σx在x=0處是為0的，所以在x=0處σx也會(huì)合成平衡力系，邊界條件式(9)也是成立的.

同時(shí)可以得出，對(duì)于線性分布載荷作用下的功能梯度簡(jiǎn)支梁，可直接采用如式(23)所示的更為簡(jiǎn)潔的應(yīng)力函數(shù)Φ進(jìn)行求解.

最終，得到各應(yīng)力的表達(dá)式為

根據(jù)式(1)、(4)、(5)，即可得出各向應(yīng)變的分布如下:

2.5 各向位移的求解

根據(jù)位移-應(yīng)變的微分關(guān)系:

可以得出

式中:

由式(24)及式(27)、(28)，得

從式(29)可以看出，等式左邊只是x的函數(shù)，等式右邊只是z的函數(shù)，要使得兩者相等，只有兩邊都等于同一常數(shù)a.于是可得

式中:u0、w0為待定的常數(shù)，積分函數(shù)如下:

考慮位移的邊界條件式(11)，則可以得出

解之得，可以求出各常數(shù)的數(shù)值:

將式(30)、(31)代入式(28)，即可得出軸向位移和撓度在整個(gè)梁上的分布.

3 功能梯度簡(jiǎn)支梁在線性載荷作用下的彎曲分析

算例1 計(jì)算彈性模量在厚度方向上呈線性分布的功能梯度簡(jiǎn)支梁在線性載荷作用下的變形，此時(shí)對(duì)應(yīng)的彈性模量分布函數(shù)為

式中:E1、E2分別為上下表層材料的彈性模量，λ=E2/E1為下表層與上表層材料彈性模量的比值，當(dāng)λ為1時(shí)表示均質(zhì)各向同性梁.采用如下材料參數(shù):E1=210 GPa，μ =0.3，p=1 kPa，l=10 m，h=1 m，b=1 m，λ =1/1 000.

為驗(yàn)證本文方法的正確性，采用有限元仿真軟件進(jìn)行計(jì)算，將簡(jiǎn)支梁在厚度方向上利用20層等厚度的均質(zhì)材料進(jìn)行離散，模擬功能梯度梁彈性模量在厚度方向上的變化.在兩端采用MPC約束方式施加簡(jiǎn)支邊界條件，并采用三維實(shí)體線性縮減單元C3D8R建立有限元計(jì)算模型.將本文方法求得的z=-h/2處的撓度的解析解與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖2所示.

圖2 解析解與有限元解的撓度對(duì)比Fig.2 The comparisons of deflection curves between analytical and FEM solutions

從圖2中可以看出，由本方法求出的撓曲線與有限元仿真結(jié)果十分相近，解析解得出的最大撓度為11.29，而有限元仿真得出的最大撓度為10.27，兩者相差9%，符合工程應(yīng)用要求，這也證明了本文計(jì)算方法的正確性.兩者之所以存在一定的誤差，主要是由于有限元計(jì)算中采用了有限層均質(zhì)材料來(lái)模擬功能梯度材料，當(dāng)采用的層數(shù)越多時(shí)其結(jié)果將和解析解更加相近.

算例2 計(jì)算材料屬性在厚度方向上連續(xù)變化的功能梯度簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力應(yīng)變和位移的分布.其材料屬性(彈性模量)的變化遵循最常用的冪律分布［10-11］，即

式中:n為組分材料體積分?jǐn)?shù)指數(shù)，其他參量的意義與式(32)相同.在計(jì)算中，n 分別取1、2，λ 分別取1、1/100、1/10 000，以研究λ及n對(duì)撓度與應(yīng)力分布影響.

通過(guò)計(jì)算，得出了在各種材料分布狀況下功能梯度梁中的應(yīng)力和位移的分布.分別給出了x=l/2處橫截面上無(wú)量綱 σx、σz與 τxz的分布曲線以及z=-h/2處的無(wú)量綱撓度在整個(gè)梁上的分布曲線，如圖3～6所示.

圖3 x=l/2處，σx在梁厚度上的分布Fig.3 The variation ofσx across thickness at x=l/2

圖4 x=l/2處，σz在厚度上的分布Fig.4 The variation of σz across thickness at x=l/2

圖5 x=l/2處，τxz在厚度上的分布Fig.5 The variation of τxz across thickness at x=l/2

圖6 z=－h(huán)/2處的撓度曲線Fig.6 The curves of deflections at z= －h(huán)/2

從圖3、4可以看出，在功能梯度梁中，當(dāng)材料屬性遵循冪律分布時(shí)，厚度方向上σx、σz均呈現(xiàn)非線性分布;在上表層承受線性分布載荷，且λ＜1時(shí)，梁橫截面內(nèi)的最大x向壓應(yīng)力出現(xiàn)在上表層，而在幾何中面與上表層之間的位置處，x向拉應(yīng)力最大，且其隨著n的增大，不斷向上表層靠近.從圖5中可以看出，在功能梯度梁中，τxz的分布不再關(guān)于幾何中面對(duì)稱，其最大值偏向于彈性模量較大的一側(cè).從圖6中可以看出，在線性載荷作用下，功能梯度梁的最大撓度值出現(xiàn)在偏向較大載荷的一側(cè)，而n與λ對(duì)撓度的影響是相反的，梁的最大撓度值隨著λ值的增大而減小，隨著n值的增大而增大.

4 結(jié)束語(yǔ)

利用應(yīng)力函數(shù)法，研究了線性分布載荷作用下功能梯度簡(jiǎn)支梁彎曲問(wèn)題的解析解，并得到了針對(duì)以上問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式，給出了各向應(yīng)力應(yīng)變與位移的顯式解析計(jì)算式;并分析了材料屬性在厚度方向上遵循冪律分布的功能梯度簡(jiǎn)支梁中，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n和上下表層材料彈性模量比λ對(duì)各向應(yīng)力與位移的影響規(guī)律.可以看出應(yīng)力函數(shù)法不但可以精確地描述功能梯度簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分布和變形問(wèn)題，還可以做進(jìn)一步的推廣和應(yīng)用.

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