李九天, 羅亞中, 唐國金

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

路徑約束的時間最短多脈沖交會全局優(yōu)化

李九天, 羅亞中, 唐國金

(國防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 航天與材料工程學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

不同于現(xiàn)有的多脈沖最優(yōu)交會研究多集中于交會時間固定的最省燃料優(yōu)化,研究了路徑約束和脈沖受限的多脈沖最短時間交會問題。綜合考慮了交會測量視場角、脈沖總量和脈沖作用時刻等約束,基于Lambert交會算法,建立了多脈沖交會最短時間優(yōu)化的非線性規(guī)劃模型。為了高效獲得全局最優(yōu)解,采用了模擬退火算法用于非線性優(yōu)化問題的求解。最后,通過解決一個尋的三脈沖交會問題驗證了模型和算法的有效性。該研究方法可尋找滿足特定約束條件的最優(yōu)交會軌道。

多脈沖交會; 最短時間; 模擬退火算法; 視場約束

引言

多脈沖最優(yōu)交會是交會問題研究中的一個重要方面,國內(nèi)外學(xué)者在此方面取得了豐碩的研究成果[1-2]。目前的研究多集中于交會時間固定的燃料消耗最省,對于空間救援活動等實際交會問題,滿足一定燃料消耗約束的最短時間交會研究則具有一定意義。雖然文獻[3]等基于C-W方程研究了脈沖總量和最大脈沖受限的時間最短線性交會問題,但是目前最短時間多脈沖交會問題的研究仍較少。

本文考慮了更為實際的測量視場約束,基于非線性二體方程研究了最短時間多脈沖交會問題。

1 多脈沖交會問題

航天器交會起動的初始條件是t0,r0,v0,終端條件是tf,rf,vf。假定航天器軌道機動過程中滿足中心反平方引力場假設(shè),則動力學(xué)方程為:

(1)

脈沖施加時,施加前的狀態(tài)用“-”表示,施加后的狀態(tài)用“+”表示,則有:

(2)

為便于表示,不加區(qū)分地令

(3)

并令r(t+Δt)=f(r(t),v(t),t,t+Δt)和v(t+Δt)=g(r(t),v(t),t,t+Δt)為式(1)的解。則對于一個中間脈沖(i≠1,i≠n,n>2),滿足如下條件:

(4)

第一脈沖作用前狀態(tài)滿足如下條件:

(5)

式中,t1為第一個脈沖作用時刻。

終端約束如下:

(6)

式中,t0和tf為給定多脈沖交會的起始和結(jié)束時刻。

(7)

通常選擇總的速度增量為優(yōu)化指標(biāo):

(8)

2 基于Lambert算法的可行解迭代規(guī)劃模型

式(7)和式(8)表示了非線性最優(yōu)交會優(yōu)化問題,其規(guī)劃模型可分為可行解迭代規(guī)劃模型和非可行解迭代規(guī)劃模型[2]。構(gòu)造非線性交會可行解迭代規(guī)劃模型的一個重要問題就是選擇合適的獨立變量,同時通過引入Lambert算法用于自動滿足終端條件,Hughes等[4]對此進行了較為詳細的討論。本文選用了其中一個優(yōu)化模型,簡述如下。

優(yōu)化變量選為脈沖時刻和脈沖矢量:

(9)

(10)

3 最短時間多脈沖交會規(guī)劃模型

3.1 優(yōu)化變量

由于是最短時間交會,tf為設(shè)計變量。式(9)所表示的脈沖點火時刻ti(i=1,2,…,n)和脈沖矢量Δvj(j=1,2,…,n-2)也為優(yōu)化變量。為有效提高優(yōu)化性能,對脈沖變軌時刻進行歸一化處理。令αi=(ti-t0)/(tf-t0),并限定αi≤1。因此,本文選擇的優(yōu)化變量x包括:

x=[tf,α1,…,αn,Δv1,…,Δvn-2]T

(11)

3.2 目標(biāo)函數(shù)和約束條件

本文研究的最短時間交會,目標(biāo)函數(shù)不同于式(8),而是交會的總時間:

J=min (tf-t0)

(12)

約束主要考慮三個方面:變軌時刻、脈沖總量約束和測量視場約束等。變軌點時刻滿足的約束條件為:

t0≤t1

(13)

更進一步考慮實際要求,如考慮脈沖機動的調(diào)姿準(zhǔn)備需要,要求任意兩個脈沖作用時刻的間距大于一定的值。該約束表述如下:

ti+1-ti≥Δt(i=1,2,…,n-1)

(14)

脈沖總量約束如下:

(15)

式中,Δvtotal為最大允許脈沖總量。

在現(xiàn)有的自主交會導(dǎo)航敏感器中,大多均受到測量視場的限制,并且具有隨相對距離減少視場范圍不斷減少的特點。因此,通常采用圓錐體模型近似表達受限條件,其中錐頂為目標(biāo)航天器質(zhì)心,軸線為接近軸方向,即目標(biāo)航天器運動速度方向,錐頂角θ表示視場受限角。視場角(FOV)定義如下[2]:

θ(t)=arctan|y(t)/x(t)|

(16)

則視場角約束表述如下:

(17)

一個典型的測量視場角受限示意圖如圖1所示。

圖1 測量視場受限與相對位置軌跡之間的關(guān)系

采用一個簡化的方法計算θm。在[t0,tf]等距離選擇m個點(t1,t2,…,tm),計算θ(ti),令θm=max (θ(t1),…,θ(tm))。

3.3 優(yōu)化算法

最短時間多脈沖交會問題本質(zhì)上是一個終端時刻可變的最優(yōu)控制問題,該類問題屬于最優(yōu)控制問題中較難解決的一類。

本文綜合考慮各類型約束條件,建立多脈沖最短時間交會的非線性規(guī)劃模型。根據(jù)數(shù)值試驗,經(jīng)典的非線性規(guī)劃算法如序列二次規(guī)劃算法(Sequential Quadratic Programming, SQP)和單純形法很難獲得該問題的最優(yōu)解。本文采用全局收斂性較好的模擬退火算法[2]和遺傳算法進行求解,取得了較好的應(yīng)用效果,其中約束條件處理采用罰函數(shù)法。遺傳算法基本配置如下:實數(shù)編碼、算術(shù)交叉算子、非均勻變異算子、基于最優(yōu)保留策略的聯(lián)賽競爭算子為選擇算子。

4 計算結(jié)果及分析

假設(shè)目標(biāo)航天器在400 km高度的圓軌道上運行,采用建立在目標(biāo)航天器質(zhì)心上的軌道坐標(biāo)系描述交會問題,其中x沿速度反向,y沿地心向上,z由右手法則確定,如圖1所示。算例為尋的段交會問題。在尋的段,兩個航天器由相距幾十千米經(jīng)過若干次軌道機動到相距幾千米處,在此階段的導(dǎo)航由星載測量設(shè)備完成。通常受視場角限制,綜合考慮燃料最優(yōu)和誤差修正因素,該階段的軌道機動次數(shù)(n)通常為3～4次。追蹤航天器在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系中的初始相對狀態(tài)為(65 000 m,-22 000 m,0 m,-4 m/s,0 m/s,0 m/s),交會終端相對狀態(tài)為(3000 m,0 m,0 m,0 m/s,0 m/s,0 m/s)。交會過程中,n=3,Δvtotal=15 m/s,Δt=100 s,θFOV/2=40°。

為了測試優(yōu)化算法的有效性,測試對比了模擬退火算法、遺傳算法、單純形算法和序列二次規(guī)劃算法的性能,隨機產(chǎn)生初始點,每類算法都隨機運行30次。表1給出了算法的統(tǒng)計結(jié)果。

表1 不同優(yōu)化算法的優(yōu)化統(tǒng)計結(jié)果

注:交會時間是針對所有可行解的統(tǒng)計結(jié)果;遺傳算法和模擬退火算法均以目標(biāo)函數(shù)計算次數(shù)為20 000作為終止條件;收斂概率是指獲得可行解的概率。

由表1可知,經(jīng)典的優(yōu)化算法(包括單純形算法和序列二次規(guī)劃算法)收斂可靠性非常低;遺傳算法表現(xiàn)出了100%的收斂可靠性,稍高于模擬退火算法的90%,但解的最優(yōu)性顯著差于模擬退火算法。根據(jù)數(shù)值實驗和相關(guān)分析,因為引入了視場角約束,使得該問題具有強約束、非光滑特性,所以序列二次規(guī)劃算法這一對光滑約束問題非常有效的算法在求解該問題時難以收斂。應(yīng)用遺傳算法和模擬退火算法時,采取了罰函數(shù)法處理約束。一般而言,模擬退火算法收斂性受罰函數(shù)影響更大一些,對罰函數(shù)進行精細調(diào)整可以提高模擬退火算法的優(yōu)化效果。對于實際求解,推薦采用模擬退火算法。

在上述測試中,獲得最優(yōu)解對應(yīng)的交會時間為2 973.5 s,對應(yīng)的總的速度增量為14.97 m/s,實際最大視場角為39.994°,最優(yōu)解是在接近約束邊界處獲得的。

圖2給出了該最優(yōu)解對應(yīng)的相對速度變化曲線,圖3給出了在目標(biāo)航天器軌道平面內(nèi)的追蹤航天器接近示意圖。

根據(jù)數(shù)值實驗和相關(guān)分析,得到了如下一些基本結(jié)論:

(1)視場角和脈沖總量約束的最短時間最優(yōu)交會問題求解非常困難,經(jīng)典的優(yōu)化算法收斂性很差,引入模擬退火算法和遺傳算法則可以取得較好的效果;

(2)當(dāng)視場角和脈沖總量約束均為有效約束時,最優(yōu)解通常在邊界處獲得;

(3)脈沖數(shù)目的增大可保證視場角約束得到滿足,對于本文測試的尋的交會問題,其燃料最優(yōu)解多數(shù)是二脈沖解,但是二脈沖由于對自身飛行軌跡的調(diào)整有限,難以滿足視場角約束。

圖2 相對速度隨時間變化曲線

圖3 軌道面內(nèi)追蹤接近目標(biāo)位置變化示意圖

5 結(jié)束語

本文研究了含測量視場約束的最短時間多脈沖交會問題,建立起了考慮測量視場、脈沖總量和脈沖機動時刻約束的非線性規(guī)劃模型,采用模擬退火算法作為優(yōu)化算法,通過算例驗證了模型和算法的有效性。研究成果可尋找滿足特定約束條件的最優(yōu)交會軌道,揭示交會軌道整體性能指標(biāo)如交會時間、燃料消耗和測量視場角等之間的關(guān)系。

[1] Jezewski D J,Brazzel J P,Prust E E,et al.Survey of rendezvous trajectory planning [J].Advances in the Astronautical Sciences,1992,76:1373-1396.

[2] 唐國金,羅亞中,張進.空間交會對接任務(wù)規(guī)劃[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[3] Luo Ya-zhong,Tang Guo-jin,Li Hai-yang.Optimization of multi-impulse minimum-time rendezvous using a hybrid genetic algorithm [J].Aerospace Science and Technology,2006,10(6):534-540.

[4] Hughes S P,Mailhe L M,Guzman J J.A comparison of trajectory optimization methods for the impulsive minimum fuel rendezvous problem [J].Advances in the Astronautical Sciences,2003,113:85-104.

Globaloptimizationoftime-optimalmultiple-impulserendezvouswithpathconstraints

LI Jiu-tian, LUO Ya-zhong, TANG Guo-jin

(College of Aerospace and Material Engineering, NUDT, Changsha 410073, China)

Different from the current studies on optimal multiple-impulse rendezvous that always concentrate on fuel-optimal time-fixed rendezvous, this paper studies time-optimal multiple-impulse rendezvous with path constraints and impulse constraints. Considering the constraints such as the measure sight-angle, the total impulse magnitude and the time of imposing impulse, a nonlinear programming model for time-optimal multiple-impulse time-optimal rendezvous was established using the Lambert algorithm. In order to obtain the global solution efficiently, a simulated annealing algorithm was employed to resolve the resulting nonlinear optimization problem. The effectiveness of the proposed optimization model and algorithm was testified by solving a three-impulse homing rendezvous problem. The proposed method can be employed to seek the optimal rendezvous trajectory satisfying special constraints.

multiple-impulse rendezvous; time-optimal; simulated annealing algorithm; sight-angle constraint

2011-09-09;

2011-12-05

國家自然科學(xué)基金資助(10902121)

李九天(1975-),男,河南正陽人,博士研究生,研究方向為航天飛行任務(wù)規(guī)劃。

V412.4

A

1002-0853(2012)02-0185-04

(編輯：崔立峰)