溫忠麟 羅冠中

試卷中的模塊是指一組題目，模塊化科目的試卷含有多個模塊，其中有一個模塊是該科考生必答的，另有若干模塊，由學生自行選答。不論是必考科目還是選考科目，都可以設計模塊化試卷，成為模塊化科目。2012年開始的香港中學文憑考試（HKDSE）①2012年之前，香港的學制和英國的一樣，中學5年，預科2年，大學本科3年。2012年開始改為和內地學制一樣，即初中3年，高中3年，大學本科4年。之前的會考和高考則合并成一次考試“中學文憑考試”。，許多科目都是模塊化科目。例如，英語是必考科目，有4個分卷（閱讀、寫作、聆聽和口語），其中閱讀和聆聽都是模塊化設計。以閱讀為例，其中有一個模塊是必答的，另有兩個模塊讓考生選擇其中一個。兩個選答模塊中，一個模塊比較容易，另一個模塊則比較難。顯然，這樣的模塊化設計是不能使用原始分的，一定要解決模塊之間的分數等值轉換問題。又如，資訊與通訊科技是選考科目，有4個選答模塊。雖然事先不知道哪個模塊比較難，但可以肯定的是難易程度不會是相同的，除非碰巧。所以，只要有模塊化科目或者模塊化分卷設計，就需要等值轉換。

因為模塊化科目有一個模塊是必答的，所以等值轉換的思路是以必答模塊為“橋梁”，實現選答模塊的等值，相應的等值設計為通常教科書上說的鉚測驗—非等組設計（漆書青，戴海崎，丁樹良，2002），其中必答模塊題目為鉚題。相對于整份試卷，每個模塊的題目往往較少（甚至只有一個題目），并且是在原始分數處理的早期階段，所以模塊之間的分數通常都不會使用項目反應理論（IRT）進行等值。一種常規(guī)方法是等百分位等值（equipercentile；漆書青等，2002）。和其他等值方法一樣，等百分位等值也需要假設不同模塊都是測試相同的能力。

等百分位等值原理容易理解，簡單說就是，比較同一組考生在模塊A和模塊B的表現，將兩個模塊中百分等級（percentage rank）相同的分數作為是等值的，這樣就實現了模塊A和模塊B的分數等值。例如，同一組考生在模塊A中分數低于25的有40%，在模塊B中分數低于30的有40%，則認為模塊A的25分與模塊B的30分等值。

對于等百分位等值，無論是從統(tǒng)計原理的描述還是對原理的理解都沒有多少問題，問題在于針對具體考試中不同的設計，如何實現等值的具體計算。本文以香港中學文憑考試為例，介紹不同設計情況下模塊之間的實際等值轉換方法，但首先要介紹如何實現等百分位等值的計算。

1 兩個模塊的等百分位等值轉換計算方法

在考慮將兩個模塊分數等值時，所謂的考生是指同時參加了兩個模塊考試的考生。下面是等百分位等值的具體步驟，可以實現模塊A分數到模塊B分數的等值轉換：

第1步：頻數分析

分別對模塊A和模塊B做頻數分析，得到頻數表：

（1）將考生按分數由低到高（升序）排隊；

（2）對每個可能的分數（0分到滿分），計算得到該分數的考生人數；

（3）對每個可能的分數，計算低于該分數的考生人數。

第2步：計算每個考生的百分等級

分別對模塊A和模塊B計算每個考生的百分等級。如果有多個考生獲得相同的分數，如何計算比其分數低的考生人數呢？如果理解為嚴格低于該分數的考生人數百分比，可以想到，有時候分數變化一分，百分等級會激烈變化。比較合理的做法是，將同樣分數的考生，視為有一半人低于該分數，另一半人則高于該分數。這樣，一個給定分數x的百分等級為：

其中B為低于分數x的考生人數，E為等于分數x的考生人數，N為所有考生人數。

第3步：建立模塊A到模塊B的分數轉換公式

為了容易區(qū)分，將模塊A的分數x的百分等級記為PrA（x），模塊B的分數y的百分等級記為PrB（y）。通常，模塊A的一個分數x（百分等級為PrA（x），在模塊B中未必剛好有現成的一個分數y，其百分等級PrA（y）與PrA（x）正好相等。但我們可以在模塊B中找到兩個相鄰的分數y1和y2（其中y1＜y2），使得相應的百分等級滿足PrB（y1）≤PrA（x）＜PrB（y2），然后用線性插值方法計算與x對應的等值分數f（x）。計算y1、y2和線性插值公式如下：

y=f（x）就是模塊A的分數x在模塊B中的等值分數。顯然，當PrB（y1）=PrA（x），f（x）=y1。一些特殊點的轉換如下：

（1）f（0）=0;

（2）如果PrA（x）＜PrB（0），則f（x）=0;

（3）如果PrA（x）≥PrB（full_B），則f（x）=full_B，其中full_B是模塊B的滿分值。

第4步：將模塊A的每個分數轉換到模塊B的等值分數

使用上面建立的公式y(tǒng)=f（x），就可以將模塊A的每個分數，都轉換到模塊B中的一個分數，轉換后的分數四舍五入后，稱為模塊B等值分數，以區(qū)別于模塊B分數。

通過上述步驟，就可以實現一個模塊到另一個模塊的分數等值轉換，這是模塊化試卷等值轉換的基礎。

需要注意的是，零分考生通常只是寫個名字什么都不做，反映不了真實能力。如果零分考生不是偶然的一兩個，應當先將所有零分考生剔除后再進行等值轉換。

2 普通選答模塊的分數轉換

一般的模塊化試卷，兩個或多個選答模塊處于平等地位，事先不會有意地讓某個模塊更難或者更易，而是盡可能使不同選答模塊的難度相當，這樣的選答模塊稱為普通選答模塊，簡稱為選答模塊。例如，香港中學文憑考試選考科目中，“企業(yè)、會計與財務概論”有2個選答模塊，必答模塊占40%，選答模塊占60%。“資訊與通訊科技”有4個選答模塊，必答模塊占55%，選答模塊占25%，校本評核占20%。“設計與應用科技”是5個選答模塊任選其中2個，必答模塊占30%，選答模塊占30%，校本評核占40%。這種選答模塊進行等百分位等值時，不宜采用通常教科書中的“鏈等百分位等值”。

所謂鏈等百分位等值（漆書青等，2002），是將選答模塊甲分數等值到必答模塊分數（用模塊甲考生數據），再將必答模塊分數等值到選答模塊乙分數（用模塊乙考生數據），實現模塊甲與模塊乙的等值。這種鏈等百分位等值的缺點是模塊甲考生分數需要經過兩次轉換才能轉換到模塊乙等值分數，而模塊乙考生分數是原來的分數，這樣兩個模塊就不平等。如所知，分數轉換其實是一種估計，會有估計誤差，兩次轉換的估計誤差還可能會累積。

比較公平的做法是，將每個選答模塊分數都轉換到必答模塊等值分數，做法是將選答模塊視為模塊A，將必答模塊視為模塊B，使用同時參加了選答模塊和必答模塊的考生數據，按上一節(jié)的步驟，就可以實現選答模塊到必答模塊的分數轉換。這樣做，每個選答模塊的分數都轉換了一次，然后按預設的權重（必答模塊和選答模塊權重）計算全卷分數。

3 包含難易選答模塊的分數轉換

出于特殊的考慮，有的科目可能會有難易不同的選答模塊，并且命題的時候就明確了哪個模塊易、哪個模塊難。例如，香港中學文憑考試的英語，閱讀分卷和聆聽分卷都有三個模塊：必答模塊、易模塊和難模塊。這時，如果還是將易模塊和難模塊分數都等值轉換到必答模塊，對于易模塊而言，問題不大，但對于難模塊，轉換的時候就會出現所謂的“天花板效應”，即在難模塊排名靠前的許多考生分數，轉換到必答模塊后都變成了（必答模塊的）滿分或接近滿分，這部分考生在難模塊上的不同表現難于區(qū)分，設置難模塊失去了意義。

較好的做法是，采用鏈等百分位等值，將易模塊分數轉換到必答模塊等值分數（用易模塊考生數據），再將必答模塊分數轉換到難模塊等值分數（用難模塊考生數據）。最后，每個考生都有一個必答模塊分數和一個難模塊分數（或者等值分數），將兩種分數按預設的權重（必答模塊權重和難模塊權重）計算全卷分數。具體步驟如下：

第1步：將易模塊的每個分數轉換為必答模塊等值分數

將易模塊作為模塊A，必答模塊作為模塊B，利用同時參加了這兩個模塊的考生數據，按第一節(jié)中的步驟，就可以將每個易模塊分數，轉換為必答模塊等值分數。為了減少誤差，轉換后的分數暫時不要四舍五入。

第2步：將必答模塊的每個分數轉換為難模塊等值分數

將必答模塊作為模塊A，難模塊作為模塊B，利用同時參加了這兩個模塊的考生數據，按第一節(jié)中的步驟，就可以將每個必答模塊分數，轉換為難模塊等值分數。為了減少誤差，轉換后的分數暫時不要四舍五入。

第3步：將易模塊的每個分數轉換為難模塊等值分數

根據第1步結果，對于易模塊的每個分數Ei，都有一個必答模塊等值分數Equa_Ei（帶有小數），可以找到必答模塊的兩個相鄰分數Ci1和Ci2，使得Ci1≤Equa_Ei＜Ci2。而根據第2步結果，必答模塊分數Ci1和Ci2在難模塊有相應的等值分數，分別記為Equa_Ci1和Equa_Ci2。用線性插值方法，易模塊分數轉換為難模塊等值分數的公式為：

顯然，當Equa_Ei=Ci1時，f（Ei）=Equa_Ci1。如果Equa_Ei超過了必答模塊的滿分值，則f（Ei）等于必答模塊滿分值對應的難模塊等值分數。

和前面說過的一樣，鏈等百分位等值使得易模塊分數被轉換了兩次，誤差會累積，但為了將高能力考生區(qū)分出來，避免“天花板效應”，將易模塊分數轉換到難模塊等值分數是比較好的做法。此外，易模塊排名靠后的一些考生分數，轉換到難模塊等值分數后都變成了（難模塊的）零分或接近零分，出現所謂的“地板效應”，這部分考生在易模塊上的不同表現難以區(qū)分。不過，根據“兩害相權取其輕”的原則，情愿出現“地板效應”也要避免“天花板效應”，因為高考的作用是選拔人才，很有必要區(qū)分能力高端的學生，而沒有太多必要區(qū)分能力低端的考生，無論用什么方法轉換分數，這部分考生都會落榜。

說明一下，香港中學文憑考試的每一科，都會按考生分數評級，包括1～5級，其中5級中排名最靠前的10%評級為5**，接下來的30%評級為5*，剩下的60%評級就是5。還有一個規(guī)則是，選答易模塊的考生，在該分卷最高只能達到4級。這些都是考試設計的政策規(guī)定。

4 全科—半科分數轉換

香港中學文憑考試的選考科目中，不僅有物理、化學和生物這些人們熟悉的科目，還有一個特殊的科目，叫做組合科學（Combined Science），考生可以選擇物理、化學和生物三科中的任何兩科，其中的任何一科只是組合科學這個科目的半科，考試范圍占了全科的一半左右，即組合科學是由兩個半科組成。半科的題目大多數來自全科，這些題目就成了全科（如物理）和相應半科（如組合科學中的半科物理）的共同題，簡稱為全科—半科共同題。

這種全科—半科設計，還是使用等百分位等值方法進行分數轉換。不過，單單用半科考生的數據是不夠的，需要用到全科考生的數據。以物理全科—半科為例說明分數轉換的步驟。第一步是使用物理半科考生數據，將半科分數轉換到共同題分數；第二步是使用物理全科考生數據，將共同題分數轉換到全科分數。這樣，就將半科分數轉換到全科分數了。

不過，因為香港中學文憑考試最后是看等級，所以關鍵是如何根據物理全科的等級切分點（cut point，即每個級別的最低分數），去確定物理半科的等級切分點。這樣，轉換分數的問題，變成轉換切分點的問題。但轉換過程與上面說的剛好相反，因為轉換分數是要將每個半科分數轉換到一個全科分數，而轉換切分點卻是要將每個全科切分點轉換到一個半科切分點。思路是，先將全科切分點轉換到共同題切分點，再將共同題切分點轉換到半科切分點。步驟如下：

第1步：得到全科的等級切分點

首先要得到全科（即物理、化學和生物）分數1～5級的切分點。如何得到全科的等級切分點是與模塊化科目等值不同的問題，需要從香港中學文憑考試必考科目中文、英語、數學和通識的等級入手，這里不擬涉及。

第2步：將全科切分點轉換到全科—半科共同題切分點

使用全科考生數據，將全科切分點轉換到全科—半科共同題切分點。這個過程類似于將模塊A的一個分數轉換到模塊B等值分數。

第3步：全科—半科共同題切分點轉換到半科切分點

使用半科考生數據，將全科—半科共同題切分點轉換到半科切分點。這個過程也類似于將模塊A的一個分數轉換到模塊B等值分數。

第4步：得到組合科學切分點

對于某個等級（如3級），將兩個半科的切分點相加，就是該等級的切分點。例如，假設物理半科的3級切分點是70，而化學半科3級切分點是60，則綜合科目（物理和化學）的3級切分點是130。

5 討論

大陸從2004年開始啟動的高中新課程改革，讓學生從高二起，可以根據自己的愛好和能力傾向選擇適合自己的選修課程。本來，作為改革的配套措施，高考科目的模塊化可以說呼之欲出。然而，由于還使用原始分數，使得高考模塊化科目難以推行。有的科目試卷有少量選答題，在沒有分數等值轉換的情況下，只能根據經驗，在命題的時候盡量使得各選答題的難度相當。但經驗有時候是不靠譜的，有模塊化設計的科目，應當有配套的分數等值轉換方法。

無論什么等值方法，都有其前提假設、適用范圍和缺點。沒有一種方法絕對比另一種方法好，需要根據具體的考試科目設計，選擇缺點較小、操作可行、較易為持分者理解和接受的方法。

理論上說，如果兩個模塊的分數分布都服從正態(tài)分布，則等百分位等值就成了線性等值。其實，只要兩個模塊的分數分布完全相同，等百分位等值就是線性等值。但在實踐中，兩個模塊的分數分布很難一模一樣，也不會剛好是正態(tài)分布，有些分數上的頻數明顯偏多或偏少，結果是百分等級不是隨著分數的增加而逐漸上升，而是時快時慢。我們將同樣分數的考生，視為一半低于該分數、一半高于該分數，在一定程度上減輕了百分等級波動幅度。

如果是通過樣本考生分數建立等值轉換關系，但需要對總體考生分數進行等值轉換，等百分位等值也可能有問題，因為樣本考生分數范圍可能比總體考生分數范圍窄，因而總體考生的低分段或者高分段，可能無法確定等值關系。不過，我們不是抽樣建立等值轉換關系，而是使用全體考生分數，除了個別缺考情況外，用來建立等值轉換關系的考生就是需要轉換分數的考生，即總體和樣本是相同的。在香港中學文憑考試英語科有難易模塊設計時，用到了鏈等百分位等值，在建立必答模塊到難模塊的等值轉換時，用的是難模塊考生數據，而需要使用該等值轉換關系的卻是易模塊考生，所以可能出現低分段分數無法區(qū)分的情況，即“地板效應”，這是為了避免“天花板效應”作出的犧牲。

無論是為了減輕百分等級波動幅度，還是為了使轉換關系在低分段或者高分段不會突然失效，都可以預先對頻數分布做光滑化（smoothing）處理（Livingston，2004），然后才計算百分等級。這樣可以保證等值關系是一條光滑上升的曲線。

[1]Livingston，S.A.Equating Test Scores（Without IRT）.Princeton，NJ:Educational Testing Service.2004.

[2]漆書青，戴海崎，丁樹良.現代教育與心理測量學原理[M].北京：高等教育出版社.2002：201-214.