李興敏，宋立軍

(1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022;2.長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022)

旋波近似下的量子Zeno效應(yīng)時(shí)間

李興敏1，宋立軍2

(1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022;2.長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022)

頻繁對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行量子測(cè)量會(huì)產(chǎn)生阻抑不穩(wěn)定量子態(tài)衰減的量子Zeno效應(yīng)。通過(guò)對(duì)哈密頓量以及不穩(wěn)定量子態(tài)進(jìn)行中島變換，在薛定諤繪景下直接計(jì)算出量子Zeno效應(yīng)時(shí)間，得出弱耦合情況下發(fā)生量子Zeno效應(yīng)所需的最基本條件，給出量子Zeno效應(yīng)時(shí)間與測(cè)量光場(chǎng)頻率、耦合強(qiáng)度及不穩(wěn)定量子態(tài)自身能級(jí)間隔之間的關(guān)系。

量子Zeno效應(yīng);中島變換;旋波近似

0 引言

古希臘哲學(xué)家Zeno曾提出著名的“Zeno佯謬”——“阿基里斯追不上烏龜”，這是一個(gè)有趣的哲學(xué)問(wèn)題。Zeno論證到，當(dāng)飛毛腿阿基里斯從后面追趕烏龜?shù)臅r(shí)候總是要到達(dá)他起步時(shí)烏龜所在的位置，當(dāng)他到達(dá)烏龜所在位置時(shí)，烏龜又前進(jìn)了一段距離，如此下去，阿基里斯是追不上烏龜?shù)?。Misra和Sudarshan根據(jù)Zeno佯謬提出頻繁測(cè)量不穩(wěn)定量子態(tài)會(huì)阻抑其衰減速率，也就是量子尺度下的Zeno效應(yīng)——量子Zeno效應(yīng)(Quantum Zeno Effect，簡(jiǎn)稱QZE)［1］，這一效應(yīng)為量子光學(xué)和量子信息的發(fā)展產(chǎn)生了極大影響，同時(shí)也促進(jìn)了量子測(cè)量理論的發(fā)展。

量子Zeno效應(yīng)的提出，使人們?cè)谘芯坎环€(wěn)定量子態(tài)衰減時(shí)有了重要理論依據(jù)。在研究量子態(tài)保持［2］以及保護(hù)糾纏態(tài)［3］等方面，運(yùn)用量子Zeno效應(yīng)理論取得了一系列重要成果。2001年，人們?cè)谘芯渴еC冷原子囚禁［4］時(shí)，發(fā)現(xiàn)冷原子衰減速率出現(xiàn)明顯異常，首次觀察到量子Zeno效應(yīng)出現(xiàn)，但是這觀測(cè)到的量子Zeno效應(yīng)還不能夠?qū)崿F(xiàn)人為操控。

人為控制量子態(tài)衰減能否在實(shí)驗(yàn)上取得成功，很大程度上依賴于量子Zeno效應(yīng)時(shí)間，所以有關(guān)量子Zeno效應(yīng)時(shí)間研究越來(lái)越引起人們廣泛關(guān)注。在二能級(jí)系統(tǒng)中，理論研究已經(jīng)給出了相互作用繪景中氫原子在旋波近似和非旋波近似(弱耦合情況)下的量子Zeno效應(yīng)時(shí)間［5，6］，然而這兩種量子Zeno效應(yīng)時(shí)間的計(jì)算方法都需要進(jìn)行繪景變換，并不是十分方便與直接。本文通過(guò)對(duì)哈密頓量和量子態(tài)進(jìn)行幺正變換［7］，取得有效哈密頓量和有效量子態(tài)，進(jìn)而給出在薛定諤繪景中旋波近似條件下量子Zeno效應(yīng)時(shí)間計(jì)算的方法，并給出了量子Zeno效應(yīng)時(shí)間與各個(gè)參量之間的離散數(shù)值關(guān)系，該方法具有一定普適性，豐富了量子Zeno效應(yīng)時(shí)間計(jì)算方法，對(duì)于指導(dǎo)弱耦合情況實(shí)現(xiàn)人為控制量子態(tài)衰減速率具有重要意義。

1 二能級(jí)系統(tǒng)

在量子光學(xué)二能級(jí)系統(tǒng)中，如果原子與輻射場(chǎng)之間耦合強(qiáng)度很小，通?？紤]旋波近似，采用Jaynes－Cummings(J－C)模型［8］來(lái)描述原子與輻射場(chǎng)之間的相互作用。在本文中，我們考慮弱耦合情況，并且采用JC模型來(lái)描述哈密頓量(h=1)。

經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，直接計(jì)算量子態(tài)仍處于原狀態(tài)的概率需要進(jìn)行繪景轉(zhuǎn)換，比直接在薛定諤繪景中計(jì)算繁瑣了很多。此處，我們對(duì)哈密頓量進(jìn)行一次幺正變換e－s——中島變換，得到有效哈密頓量，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。這里，我們?nèi)?/p>

經(jīng)過(guò)幺正變換后的有效哈密頓量為Heff=e－SHeS，展開(kāi)為

計(jì)算發(fā)現(xiàn)在式(6)中有

考慮到對(duì)哈密頓量進(jìn)行了幺正變換(中島變換)，那么對(duì)所選擇的初態(tài)|e，{0})也要進(jìn)行相應(yīng)的演化，

(8)式和(9)式分別為經(jīng)過(guò)幺正變換后的有效哈密頓量和有效初態(tài)，從有效哈密頓量方程(8)中，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)有效哈密頓量作用在量子態(tài)上，無(wú)需通過(guò)繪景變化可直接得出其所對(duì)應(yīng)的能量表達(dá)式，即可直接在薛定諤繪景中直接計(jì)算。在(9)式中，同前面哈密頓量的幺正變換一樣，也只對(duì)其取到二階量。

2 量子Zeno效應(yīng)時(shí)間

如果對(duì)一個(gè)量子態(tài)進(jìn)行短時(shí)測(cè)量，那么在測(cè)量間隔t時(shí)間內(nèi)不衰減的概率可以用表達(dá)式［5］

來(lái)表示。如果在同t時(shí)間內(nèi)進(jìn)行n倍次測(cè)量，即測(cè)量間隔變成t，此時(shí)量子態(tài)不衰減的概率為n

當(dāng)n→∞時(shí)，

從式(12.b)可以看出，測(cè)量頻率跟量子態(tài)的存在概率成指數(shù)關(guān)系。當(dāng)對(duì)量子態(tài)進(jìn)行頻繁測(cè)量時(shí)，量子態(tài)的衰減概率大大降低，如果進(jìn)行連續(xù)性測(cè)量(即n→∞)，量子態(tài)處于不衰減狀態(tài)，量子Zeno效應(yīng)發(fā)生。在本文中，稱 τz為量子 Zeno 效應(yīng)時(shí)間［5］。

將經(jīng)過(guò)幺正變換后的有效初態(tài)|ψ0〉=e－S|e，{0}〉和有效哈密頓量H=Heff，分別帶入方程(11)，略去高階小量，可以得到

通過(guò)(13)－(16)式計(jì)算，得到了哈密頓量差值的平方(ΔH)，也就是量子Zeno效應(yīng)時(shí)間τz的負(fù)二次方，對(duì)(ΔH)2取倒數(shù)并且開(kāi)平方，能夠得到薛定諤繪景中的量子Zeno效應(yīng)時(shí)間為

從(17)式可以看出，量子Zeno效應(yīng)時(shí)間τz跟原子自身能級(jí)間隔Ω、測(cè)量光場(chǎng)頻率ωk以及耦合強(qiáng)度gk是緊密相關(guān)的。因此，要想實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)觀察弱耦合情況可控量子Zeno效應(yīng)，必須考慮到上述三個(gè)參量，并且遵循方程(17)。

3 總結(jié)

本文研究了弱耦合情況下，在J－C模型中利用對(duì)哈密頓量和不穩(wěn)定量子態(tài)進(jìn)行幺正變換(中島變換)，實(shí)現(xiàn)了薛定諤繪景中直接計(jì)算量子Zeno效應(yīng)時(shí)間的計(jì)算方法，發(fā)現(xiàn)量子Zeno效應(yīng)時(shí)間跟原子自身能級(jí)間隔Ω、測(cè)量光場(chǎng)頻率ωk以及耦合強(qiáng)度gk之間的密切關(guān)系，計(jì)算結(jié)果對(duì)將來(lái)實(shí)驗(yàn)上弱耦合情況實(shí)現(xiàn)量子態(tài)保持以及保護(hù)糾纏態(tài)等具有重要意義。

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Study on Quantum Zeno Effect Time with Rotating-wave Approximation

LI Xing－min1，SONG Li－jun2

(1.School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022，China;2.College of Science，Changchun University，Changchun 130022，China)

The unstable quantum states can be prevented from decay when measurements are frequently applied to the system，which is called quantum Zeno effect.Through Nakajima transformation on Hamiltonian and unstable quantum states，this article presents a method to compute the quantum Zeno effect time in Schrodinger picture，gets the basic condition of quantum Zeno effect in weak coupling and gives the relations between quantum Zeno effect time and the frequency of measuring optical field，the coupling strength and the energy－level spacing.

quantum Zeno effect;Nakajima transformation;rotating－wave approximation

O431.2

A

1009－3907(2012)08－0960－03

2012－05－30

教育部科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(211040);吉林省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(20101514);吉林省青年基金項(xiàng)目(201201140);吉林省教育廳科學(xué)技術(shù)研究基金項(xiàng)目(2012245)

李興敏(1986－)，男，山東青島人，碩士研究生，主要從事理論物理研究;宋立軍(1971－)，男，吉林東豐人，教授，博士，主要從事量子信息、量子光學(xué)和凝聚態(tài)物理的研究。

責(zé)任編輯:程艷艷