● (衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

看似平凡意蘊不凡——2012年一道高考翻折題引發(fā)的思考與啟示

●傅建紅(衢州市第二中學 浙江衢州 324000)

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A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置，3對直線“AC與BD”、“AB與CD”、“AD與BC”均不垂直

這是2012年浙江省數(shù)學高考理科試題中的一道選擇題.初看，其背景樸實、平淡，是立體幾何中常見的翻折問題.但細品之下你會發(fā)覺，此題雖題目簡潔，但構(gòu)思新穎，可謂樸素中透著靈氣，脫俗中不失新穎，令人賞心悅目卻又回味悠長.題目借立體幾何中常規(guī)的矩形翻折問題為載體，考查“動態(tài)”變化過程中的線線位置關(guān)系，入口“親切平和、似曾相識”，使不同層次的學生都會有一些思路，但要完全解決則需要一定的空間想象能力，尤其是應(yīng)具有思維的靈活性.本題作為選擇題最后一題，看似平淡卻意蘊不凡，是試卷的一大亮點.

1 預(yù)備知識

翻折問題是立體幾何中的重要問題.由于翻折使立體幾何由“靜態(tài)”轉(zhuǎn)化為“動態(tài)”，因此，它能充分考查學生的抽象思維能力.由于翻折使得圖形中部分幾何元素的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系發(fā)生了變化，因此，如何捕捉這種變化過程中的不變性及相互關(guān)系是解決這類問題的關(guān)鍵.本文首先介紹翻折問題中的有關(guān)性質(zhì)、公式，以便為下面的解答作一些鋪墊.

性質(zhì)1(平面翻折性質(zhì)Ⅰ)如圖1，將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，則AB⊥CC1.

證明如圖1，過點C作CH⊥AB，垂足為H，聯(lián)結(jié)C1H，則C1H⊥AB(因為C1H是CH經(jīng)平面翻折后的線段)，于是AB⊥平面C1HC，從而AB⊥CC1.

圖1

圖2

性質(zhì)2(平面翻折性質(zhì)Ⅱ)如圖2,將△ABC沿直線AB折起至△ABC1，設(shè)點C1在△ABC所在平面內(nèi)的射影為O，則OC⊥AB.

證明如圖2，因為C1O⊥底面ABC，所以AB⊥C1O.又由性質(zhì)1知AB⊥CC1，于是AB⊥平面C1OC，從而AB⊥OC，即OC⊥AB.

說明翻折問題的實質(zhì)是平面繞軸的旋轉(zhuǎn)問題.如圖1，在平面ABC繞軸AB旋轉(zhuǎn)過程中，由于CH⊥AB，因此動點C在空間運動的軌跡就是以點H為圓心、以CH為半徑的圓，顯然直線AB過圓心且垂直于這個圓，而C1C是該圓的一條弦，故AB⊥CC1.同理，由于C1O⊥底面ABC，可知C1O與OC也都在垂直于AB的這個圓內(nèi)，故AB⊥OC.

圖3

性質(zhì)3(三面角公式)如圖3，已知∠AOB=α,∠COB=β,∠AOC=γ,點B滿足AB⊥OB,CB⊥OB.設(shè)二面角A-OB-C的大小為θ，則

cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ.

AC2=b2tan2α+b2tan2β-2abtanαtanβcosθ,

從而在△AOC中，由余弦定理

將上述OA，OC，AC代入并整理即可得證.

說明此性質(zhì)在立體幾何中稱為三面角公式(也稱三余弦公式)，它所刻畫的是由3條不共面的射線(此處即為OA，OB，OC)所構(gòu)成的3個平面(此處即為面AOB，BOC，AOC)中，已知某2個面內(nèi)2條射線所成的角以及這2個面的二面角，即可求出另一個面內(nèi)2條射線所成角.如上，已知α,β及θ即可求得γ.而且這種表示是任意的，如圖3，假設(shè)二面角B-OC-A的大小為φ，二面角C-OA-B的大小為δ，則同樣也有

cosα=cosγcosβ+sinγsinβcosφ,

cosβ=cosαcosγ+sinαsinγcosδ.

圖4

特別地，當某二面角為90°時，比如θ=90°時，cosγ=cosαcosβ(三余弦).另外，此公式應(yīng)用的前提是3條射線共點但不共面，而且它們之間所成的角都是指射線與射線的夾角(這一點非常重要).若3條射線不共點(或不完全共點)，比如圖4中的OA,OB,O1C，則必須將它們平移到同一點，并重新考慮3條射線兩兩所成的角，方可使用此公式.

2 解法思考

圖5

圖6

因此存在θ=60°使得cosγ=0，即γ=90°，故選項B正確(即選項D錯誤).最后考慮選項C，假設(shè)射線DA與BC所成角為φ，同樣經(jīng)過平移，由性質(zhì)3可得

顯然不論θ取何值，cosφ恒不為0，即φ恒不等于90°，即選項C錯誤.故本題答案是B.

點評本題的難點在于“動”，而翻折是引起“動”的根源，它使得問題時刻處于動態(tài)變化過程中，讓人感覺空靈無助、捉摸不定，不知從何處尋找問題突破口.但辯證法告訴我們，事物的變化是有規(guī)律的，本文上述的性質(zhì)、公式正是把握了這種變化過程中的不變性和相互聯(lián)系，揭示了翻折問題的客觀規(guī)律，不僅對本題，而且在其他翻折問題中同樣具有較強的現(xiàn)實意義.本題中，選項A的判斷使用了性質(zhì)1和性質(zhì)2，通過反證法使問題獲得解決；而選項B和選項C的判斷均使用了性質(zhì)3(性質(zhì)3是解決立體幾何中線線角、二面角問題的“利器”)，但性質(zhì)3運用的前提條件是3條射線共點，而本題環(huán)境并不具備此條件，因此首先需要經(jīng)過平移來實現(xiàn)三線共點(務(wù)必考慮平移前后角度的變化)，然后再使用性質(zhì)3即可使問題獲解.

思考2(空間向量法)我們知道，空間向量是解決立體幾何問題的“利器”，用它來判斷線線垂直，只需考察其數(shù)量積是否為0.但在此翻折問題中能否用得上呢？

圖7

由AM⊥底面CBD，得A0H⊥BD，從而

∠BA0H=∠A0DB.

過點M作MN⊥AB，垂足為N，則

從而

故

這說明無論θ如何變化，AC與BD以及AD與BC均不可能垂直；而當θ=60°時，AB⊥CD.故選B.

點評上述解法表明在翻折問題中仍可使用空間向量法.但關(guān)鍵在于能否求出動點坐標(定點坐標相對簡單)，動點坐標一旦突破，則整個問題就會豁然而解，比如本題中點A的坐標.如前所述，翻折是引起圖形中一切“動”的根源，但這種“動”的最本質(zhì)數(shù)字特征是什么呢？其實就是翻折前后2個平面所成的二面角，而二面角的大小用其平面角來刻畫，因此，一旦我們作出二面角的平面角，那么動點坐標也就迎刃而解了.而在翻折問題中，要作出二面角的平面角只要運用前面的性質(zhì)2即可輕松解決.

圖8

思考3(三垂線定理法)回眸上述2種思路，均站在理性的高度上，從2個不同角度深入剖析問題的實質(zhì)，并逐漸揭開了試題的“神秘面紗”.方法不可謂不巧妙，論證也不可謂不精到，對于數(shù)學探究而言確應(yīng)如此.但如果我們站在考生的立場上試想一下，作為一個選擇題，如此不計“成本”的“大動干戈”值得嗎？筆者認為，多數(shù)考生不會如此深入，這也有違命題者的初衷.那么，本題究竟要考查學生什么呢？其實，許多看似復(fù)雜問題的背后往往隱藏著樸素的思想，本題實際考查的只是立體幾何中一個基本定理——三垂線定理.如圖8，過點C作CS⊥BD，則CS∥A0H.當θ=180°時，點A在A0處；當θ=0°時，點A在A1處，因此，當θ從0°到180°的漸變過程中，動點A在底面上的射影M的運動軌跡即為線段A1A0.設(shè)A1A0與BC的交點為P,先看選項A，由三垂線定理，如果AC⊥BD，則MC⊥BD，又CS⊥BD，從而點M,S重合，這是不可能的(因為CS∥A1A0)；再看選項B，欲使AB⊥CD，只要MB⊥CD，而這一情形只要當點M運動到點P時即可實現(xiàn)(因為BP⊥CD)；最后看選項C，欲使AD⊥BC，只要MD⊥BC，而CD⊥BC，故點M重合于點C，而這顯然也是不可能的(因為點M在有限的線段A1A0上運動).綜上可知，只有選項B正確.

點評至此,終于完全掀起了題目的“蓋頭”，破譯了其中蘊含的“神秘玄機”.原來本題真正考查的是翻折問題中如何使用三垂線定理來證明線線垂直，但題目立意之深，內(nèi)涵之廣，背景之妙，使人感覺不露痕跡，不易識破.而且其“于平淡中見神奇，于常規(guī)中透奇意”的命題手法耐人尋味，真可謂是匠心獨具.為什么看似熟悉卻常常無從下手？為什么不能在第一時間運用三垂線定理？究其原因是我們未能識破問題背后蘊含的玄機，具體來說就是對翻折問題的本質(zhì)(性質(zhì)1和性質(zhì)2)把握不夠，即使想到了三垂線定理，也似“霧里看花”難以真切.而如果我們了解翻折問題的本質(zhì)，即知道動點A在底面上的射影M的軌跡是一條垂直于“折痕”(二面角的棱)BD的線段A0A1，這時再利用三垂線定理那就顯而易見了.

3 教學啟示

3.1 高三復(fù)習要善于“借題發(fā)揮”

本題源于一類常見的立體幾何翻折問題，命題者將設(shè)問進行了巧妙地移植.經(jīng)過包裝的試題給人“似曾相識”的感覺，但又與平時的題目不一樣，使依靠“題海戰(zhàn)術(shù)”的考生不占優(yōu)勢，因此，它能很好地考查學生的真實水平.為什么考生對此“似曾相識”卻往往又無從下手？根本原因是：雖然平時遇到過類似問題，但都未能從本質(zhì)上搞清問題的來龍去脈，即未能真正領(lǐng)會其精髓，一旦重新遇到，雖表面“似曾相識”而實際卻無可奈何，只能望題興嘆.那么針對這一現(xiàn)象，作為主導(dǎo)者的教師，應(yīng)如何應(yīng)對？《普通高中數(shù)學新課程標準》(實驗)指出：要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學思維淹沒在形式化的海洋中.因此，筆者認為，教師在平時的教學過程中(尤其是在高三復(fù)習階段)，要引領(lǐng)學生借練習、試卷中出現(xiàn)的類似“好題”(有探究價值的習題)為載體，進行“借題發(fā)揮”多方演繹，充分挖掘問題本質(zhì).具體地說就是與學生一起對“好題”進行深入地剖析、引申、類比，讓學生“親歷”知識發(fā)生、發(fā)展的全部過程.在此過程中，教師要舍得花時間，切忌淺嘗輒止、就題論題.這種“借題發(fā)揮”看似浪費了時間，實際觸及問題的核心和思維的靈魂，使學生能真正領(lǐng)會問題的實質(zhì)，因此?？墒盏绞掳牍Ρ兜男Ч?

3.2 立體幾何教學應(yīng)注重“雙管齊下”

立體幾何是新課程教材中變化最大的一塊內(nèi)容，其考查內(nèi)容兼顧傳統(tǒng)幾何法和空間向量法.但隨著空間向量的引入，它以其在求空間角、空間距離方面的巨大優(yōu)勢而越來越受到師生的關(guān)注和喜愛，成為了解決立體幾何問題的首選方法，大有后來居上取代傳統(tǒng)幾何法地位之勢，這使得有些傳統(tǒng)的幾何方法被逐漸地淡化，有些甚至被打入“冷宮”不再提及(比如三面角公式).針對這一現(xiàn)象，筆者認為此舉頗不可取，傳統(tǒng)幾何在中學教材中由來已久，它的存在必定有其合理性和價值，誠然，向量法因關(guān)注計算淡化技巧，常可降低問題的思維難度，使學生容易上手.但是在有些問題中，尤其是在證明題中，使用傳統(tǒng)幾何法的定理來證明常顯得十分簡捷明快，而使用向量法則顯得異常繁瑣、笨重，況且空間向量法的前提是建系并標出點的坐標，而在某些“惡劣”環(huán)境下，建系標點將是十分困難的(比如本題的翻折環(huán)境)，這時利用向量法不僅沒有優(yōu)勢，而且增加了問題的難度，使簡單的問題復(fù)雜化.因此，筆者認為，幾何法和向量法在立體幾何教學中應(yīng)兩者兼顧，雙管齊下，不能厚此薄彼，甚至顧此失彼.

3.3 臨場應(yīng)試仍需要策略指導(dǎo)

筆者對部分學生進行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有部分成績好的學生沒有答對本題，而一些平時成績一般的學生反而答對(如：高考成績?yōu)?31的學生甲答錯問題，而高考成績?yōu)?2分的學生乙答對問題).筆者經(jīng)了解后得知，生甲一開始就從正面突破，但沒算出來，之后就放著先做下面的題目，到后來就沒時間了，只能胡亂猜一個，結(jié)果猜錯了；而生乙根本沒有去計算(其實不會)，只是用一張矩形的草稿紙折了一下，通過直觀操作大致猜了一個最有可能的答案，結(jié)果剛好猜對了.這一現(xiàn)象說明：立體幾何中動手操作、直觀感受有時也是一種有效方法.生甲采取的是“小題大做”，而生乙采取的是“小題小做”，解答的不同策略導(dǎo)致了不同的結(jié)果.回想新課程中立體幾何的許多性質(zhì)、結(jié)論并不要求學生嚴格證明，而只需直觀感受、操作確認，因此筆者認為命題者是鼓勵學生運用猜想的方法解決該題的，生乙的解法正與這種思想不謀而合.由此可見，高考應(yīng)試的策略也是極為重要的，教師應(yīng)根據(jù)不同程度的學生給予不同的指導(dǎo)，做到有的放矢、對癥下藥.

[1] 沈良.例談空間幾何中翻折問題的解決策略[J].數(shù)學通報,2011(7)：33-36.

[2] 莊豐.貌似平淡 內(nèi)涵豐富[J].中學數(shù)學,2011(10)：13-15.