● (雙林第二中學(xué) 浙江湖州 313012)

問題變式彰顯魅力——對2012年湖州市中考?jí)狠S題的問題變式探索與思考

●姜曉翔(雙林第二中學(xué) 浙江湖州 313012)

波利亞認(rèn)為解題的重要技巧是從各個(gè)方面、各個(gè)側(cè)面去試驗(yàn)、變化或轉(zhuǎn)化問題.他指出：“變化問題使我們引進(jìn)了新的內(nèi)容，從而產(chǎn)生了新的接觸，產(chǎn)生了和我們問題有關(guān)元素接觸的、新的可能性.”我們知道，問題變式是探究學(xué)習(xí)的向?qū)В锌級(jí)狠S題往往都已經(jīng)具備了基本要素.如果我們能利用好這些基本要素，將它們作為問題變式的出發(fā)點(diǎn)，設(shè)計(jì)出各種不同類型的問題，那么就能讓一道高質(zhì)量的中考?jí)狠S題更能適合于平時(shí)不同階段的教學(xué)，彰顯其魅力.以下筆者就一道2012年湖州市中考?jí)狠S題為例，談?wù)動(dòng)嘘P(guān)問題變式方面的一些看法，意在拋磚引玉.

1 情境描述

1.1 原題呈現(xiàn)

圖1

圖2

(1)求這條拋物線的函數(shù)解析式.

①是否存在這樣的t，使△ADF與△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

②聯(lián)結(jié)FC，以點(diǎn)F為旋轉(zhuǎn)中心，將△FEC按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得△FE′C′.當(dāng)△FE′C′落在x軸與拋物線在x軸上方的部分圍成的圖形中(包括邊界)時(shí)，求t的取值范圍(寫出答案即可).

(2012年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)試題)

1.2 試題核心特色

本題表述簡潔，梯度合理，設(shè)問巧妙，立意高遠(yuǎn)，綜合性很強(qiáng)，是一道非常好的壓軸題.對學(xué)生的能力要求較高，考點(diǎn)覆蓋面較寬，涉及初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)：二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖像與直線的交點(diǎn)、平移變換、直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)變換、相似三角形的判定和性質(zhì).考查的數(shù)學(xué)思想方法有數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化方程等，在解題中運(yùn)用了平移、旋轉(zhuǎn)、相似變換，體現(xiàn)了變換思想的作用.本題突出對能力立意和數(shù)學(xué)思維的考查，追求理性創(chuàng)新，將基礎(chǔ)性、綜合性有機(jī)結(jié)合，很好地發(fā)揮了壓軸題的作用.

1.3 詳細(xì)解答過程

解得

因此

y=-x2+3.

即

∠C=60°,∠CBE=30°,

從而

又因?yàn)锳D∥BC，所以

∠ADC+∠C=180°，

從而 ∠ADC=180°-∠C=180°-60°=120°.

要使△ADF與△DEF相似，則△ADF中必有一個(gè)角為直角.

(ⅰ)若∠ADF=90°，則

∠EDF=120°-90°=30°.

EF=1，DF=2.

因?yàn)镋(t,3),F(t,-t2+3),所以

EF=3-(-t2+3)=t2,

從而

t2=1.

又因?yàn)閠>0,所以t=1.此時(shí)

從而

又

∠ADF=∠DEF,

因此

△ADF∽△DEF.

(ⅱ)若∠DFA=90°,可證得△DEF∽△FBA，則

設(shè)EF=m，則FB=3-m，故

即

m2-3m+6=0，

此方程無實(shí)數(shù)根，此時(shí)t不存在.

(ⅲ)由題意，∠DAF<∠DAB=60°，因此

∠DAF≠90°，

此時(shí)t不存在.

綜上所述，存在t=1，使得△ADF與△DEF相似.

2 問題變式與分析

數(shù)學(xué)家波利亞非常重視解題后的思考，把其作為數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要步驟.筆者認(rèn)為，如果能把原題本身的基本要素盡可能多地發(fā)掘出來，作為問題變式的出發(fā)點(diǎn)，就能對原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯栴}變式.平時(shí)，在教學(xué)過程中也可以對某些重要的例、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯栴}變式，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和創(chuàng)新思維.

2.1 有關(guān)直角三角形或等腰三角形的問題變式

變式1在第(2)小題的條件下，問：是否存在這樣的t，使△ADF是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

分析在動(dòng)態(tài)幾何問題中，有關(guān)判定直角三角形或等腰三角形的問題往往都需要分類討論，這是近幾年中考的熱點(diǎn)問題之一.變式1需要通過分類討論△ADF的3個(gè)內(nèi)角分別等于90°即可.該問題變式雖然實(shí)質(zhì)和原題一樣，但其實(shí)降低了難度.原題是在滿足△ADF是直角三角形的基礎(chǔ)之上，還要去驗(yàn)證所求出的t是否能讓△ADF與△DEF相似，而變式1的設(shè)計(jì)可以面向更多的學(xué)生，起到擴(kuò)大參與面的作用.

解答與原題類似.

2.2 有關(guān)三角形相似的問題變式

分析動(dòng)點(diǎn)形成的三角形相似問題一直是近幾年中考的熱點(diǎn)之一.由原題中△ADF與△DEF的相似情況得到啟發(fā)，筆者通過對圖形的深入研究，發(fā)現(xiàn)圖2中有4個(gè)三角形，而在菱形ABCD向右平移的過程中，除了原題中提到的2個(gè)三角形有可能相似外，其余的三角形也有可能相似.原題得到的結(jié)果只有一個(gè)“t=1”，是否能得出不止一個(gè)答案的相似呢，基于以上考慮，筆者得到了變式2的設(shè)計(jì)思路.由于△BEC與△DEF都已確定是直角三角形，因此，在考慮相似時(shí)只需考慮2種對應(yīng)情況即可.

解當(dāng)△BEC∽△DEF時(shí)，

即

從而

t2=1.

因?yàn)閠>0,所以t=1.

當(dāng)△BEC∽△FED時(shí)，

即

從而

t2=3.

2.3 有關(guān)面積求函數(shù)解析式的問題變式

分析因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的面積問題一直是中考中不可或缺的題型，而且往往與函數(shù)解析式相結(jié)合.因此，應(yīng)該讓學(xué)生加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，培養(yǎng)解決綜合問題的能力.通過筆者的觀察，原題中已經(jīng)具備了設(shè)計(jì)有關(guān)面積求函數(shù)解析式問題的基本要素，于是就設(shè)計(jì)出了變式3.通過觀察，四邊形ABFD不是特殊四邊形，因此不能直接去求，可以采用分塊法或割補(bǔ)法來解決.

解因?yàn)镋(t,3),F(t,-t2+3,)，所以

S=S梯形ABED-S△DEF=

分析原題的圖2中有4個(gè)三角形，在菱形ABCD向右平移的過程中，△DEF，△ABF和△ADF是動(dòng)態(tài)的，只有△BEC是靜態(tài)的.而對于這3個(gè)動(dòng)態(tài)三角形，都能設(shè)計(jì)成求面積問題.進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，△DEF和△ABF雖然都是動(dòng)態(tài)的，但是卻只有一個(gè)元素在發(fā)生變化，因此求面積相對比較簡單，而△ADF有所不同，主要表現(xiàn)在它的底和寬不是縱向與橫向的，因此求面積會(huì)有一定的難度.于是筆者設(shè)計(jì)了變式4，對于這樣的三角形，求面積的最好方法還是割補(bǔ)法.

解S=S梯形ABED-S△ABF-S△DEF=

2.4 有關(guān)函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題變式

分析在初中階段，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想對今后學(xué)習(xí)十分重要.筆者聯(lián)想到函數(shù)圖像的交點(diǎn)與方程組的聯(lián)系，即直線與拋物線的交點(diǎn)，可以通過研究對應(yīng)的方程組來解決，而交點(diǎn)個(gè)數(shù)由一元二次方程根的判別式來決定，于是就得到了變式5的設(shè)計(jì)思路.從t=0(如圖3)這一刻起，拋物線就與菱形ABCD的3條邊AB,BC,CD各有一個(gè)交點(diǎn)，與邊AD沒有交點(diǎn)，因此總共有3個(gè)交點(diǎn)，正好滿足條件.然而隨著菱形ABCD的向右平移，直到邊AD與拋物線出現(xiàn)一個(gè)交點(diǎn)(相切)為止(如圖4)，這一過程中拋物線y=ax2+b與菱形ABCD的邊一直有3個(gè)交點(diǎn)，而之后就出現(xiàn)第4個(gè)、第5個(gè)交點(diǎn)了(如圖5)，直到最后，又出現(xiàn)3個(gè)交點(diǎn)的情形(如圖6).

圖3

圖4

圖5

圖6

解先求得t=0時(shí)，直線AD的解析式為

經(jīng)過t秒后的解析式為

所以

得

當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

解得

變式6設(shè)菱形ABCD平移的時(shí)間為t秒(t≥0)，試討論拋物線y=ax2+b與菱形ABCD的邊的交點(diǎn)情況及相應(yīng)t的取值范圍.

圖7

圖8

解由變式5可知：

3 對于以上問題變式的幾點(diǎn)思考

3.1 問題變式可以增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移能力

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響.學(xué)習(xí)的遷移現(xiàn)象在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是廣泛存在的.如：加法的學(xué)習(xí)影響乘法的學(xué)習(xí)，有理數(shù)的學(xué)習(xí)影響代數(shù)式的學(xué)習(xí)，代數(shù)式的學(xué)習(xí)又影響函數(shù)的學(xué)習(xí)等.不僅如此，在數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和能力之間也存在這種遷移現(xiàn)象.如：隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生會(huì)逐漸把方程知識(shí)、不等式知識(shí)和函數(shù)知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系起來，形成合理的知識(shí)組塊.以上問題變式就可以幫助學(xué)生把函數(shù)圖像交點(diǎn)與方程組及一元二次方程根的判別式有機(jī)地聯(lián)系起來等，完美地呈現(xiàn)該題魅力之所在.

3.2 問題變式可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想內(nèi)化就成了數(shù)學(xué)觀念

從以上對一道中考?jí)狠S題的多種問題變式可以看到，其中用到了很多數(shù)學(xué)思想，如：數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，方程、函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想，變換思想等等.所謂數(shù)學(xué)觀念，通俗一點(diǎn)講就是數(shù)學(xué)頭腦和數(shù)學(xué)意識(shí)，或者說是數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣，它是由數(shù)學(xué)思想內(nèi)化來的.數(shù)學(xué)觀念作為數(shù)學(xué)思維的高級(jí)層次，它對數(shù)學(xué)思維有一種定向、控制和調(diào)節(jié)的監(jiān)控功能.《新課標(biāo)》反復(fù)強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)學(xué)生的幾何觀，若能將中考?jí)狠S題通過適當(dāng)?shù)膯栴}變式之后，用于平時(shí)不同階段的教學(xué)，則可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的幾何觀，彰顯中考?jí)狠S題的魅力所在.

3.3 問題變式可以使學(xué)生達(dá)到對知識(shí)的深層次理解

對知識(shí)形成深層次理解，這是建構(gòu)性學(xué)習(xí)和教學(xué)的核心目標(biāo)，建構(gòu)主義的許多主張都與此相關(guān).在如何判斷學(xué)習(xí)者對知識(shí)的理解深度標(biāo)準(zhǔn)中，其中有一條就是能否解決問題變式.隨著問題變式的不斷深入，學(xué)生逐漸形成了對知識(shí)的深層次理解，逐漸建立起整合的、結(jié)構(gòu)化的、靈活的、屬于自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)體系，從而使思維和探究能力得到發(fā)展.

總之，教師應(yīng)該把中考?jí)狠S題本身的基本要素盡可能多地發(fā)掘出來，作為問題變式的出發(fā)點(diǎn)，就能對原題進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯栴}變式和拓展延伸，為平時(shí)的教學(xué)所用，這樣才能彰顯其更加強(qiáng)大的魅力.

[1] 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[2] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：北京科學(xué)出版社，1982.

[3] 桂文通.借鑒與創(chuàng)新——一道中考?jí)狠S題的命制[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2012(4)：57．