● (華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)

一道2012年大綱全國(guó)卷高考試題的推廣

●李海梅(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 廣東廣州 510631)

2012年數(shù)學(xué)高考大綱全國(guó)卷理科第12題很有趣，與平時(shí)的打桌球游戲非常類(lèi)似，題目如下：

( )

A.16 B.14 C.12 D.10

本題主要考查反射原理與三角形相似原理的應(yīng)用，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力.

參考答案：結(jié)合已知點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，進(jìn)行作圖，推理可知，在反射的過(guò)程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系作圖，可以得到回到點(diǎn)E時(shí)，需要碰撞14次.

圖1

圖2

圖3

用幾何畫(huà)板作圖，如圖1所示，從圖1中可以看出，僅用尺規(guī)作圖過(guò)程相當(dāng)繁瑣，一招不慎，滿圖皆亂，而且無(wú)法推廣到一般的情形.

本文借助于物理中的光學(xué)知識(shí)，把點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡由折線化為直線，給出下文的解法并推廣到一般的情形.根據(jù)入射角與反射角相等法則，光線走向(直線)按反射面(直線)翻折后與反射前光線走向(直線)應(yīng)該是一條直線[1].圖2所示為光線在正方形ABCD內(nèi)的行進(jìn)，圖3所示為正方形ABCD的邊按對(duì)稱(chēng)翻折后所作成的平面圖形，可以把光線看成是直線行進(jìn)的.因?yàn)辄c(diǎn)P每與正方形的邊碰撞一次就會(huì)引起一次翻折，故由翻折的次數(shù)，可推出碰撞的次數(shù).

解點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)可以看成光線在正方形ABCD內(nèi)的行進(jìn).作出正方形的邊按對(duì)稱(chēng)翻折后所作成的平面圖形，如圖4所示，可以把點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)看成是沿射線EF運(yùn)動(dòng)的.現(xiàn)證當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G處時(shí)，點(diǎn)P第一次碰到點(diǎn)E，由圖4可知，只需證AE=A′G即可.

圖4

圖5

對(duì)于一般的情形，經(jīng)過(guò)筆者研究，可得出以下結(jié)論：

參考以上解法，可作如下證明.

因?yàn)?n，k)=1，所以(n-k，k)=1.又因?yàn)镋I,GI皆為偶數(shù)，所以t必為偶數(shù),令t=2i(i∈N*).當(dāng)i=1時(shí)，即為點(diǎn)P第一次碰到點(diǎn)E,此時(shí)EI=2(n-k)，GI=2k，可得正方形ABCD向右翻折了2(n-k)次，向上翻折了2k-1次，故當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)P與正方形的邊碰撞了2n次.由對(duì)稱(chēng)性可知，分別與AB,CD碰撞了k次，分別與BC,AD碰撞了n-k次.

本文把原題的條件推廣到了一般的情況，那么當(dāng)AE與BF不相等的情況呢？當(dāng)點(diǎn)P以任意的角度從點(diǎn)A出發(fā)，小球是否會(huì)回到點(diǎn)A？這些有趣的情況就留給讀者去探究吧.

[1] 茍玉德.一道數(shù)學(xué)高考題的物理解法及啟示[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2003(11):48-49.