● (溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

不畏浮云遮望眼深思熟慮子自知——2012年浙江省數(shù)學(xué)高考解題追蹤調(diào)查研究

●孫海琴(溫嶺中學(xué) 浙江溫嶺 317500)

近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題既重視基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的考查，又力避學(xué)生熟悉的“解題套路”，深化了學(xué)科素養(yǎng)與思維的考查.現(xiàn)以2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第17題為例，加以剖析和說(shuō)明.

題目設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0成立，則a=________.

筆者隨機(jī)抽樣調(diào)查了本校高三部分學(xué)生(40人)的解題情況.這是學(xué)生熟悉的“恒成立”命題，但成功解題的人卻不多.其中22人選用“構(gòu)造函數(shù)”方法解題失敗，11人選用“變量分離”方法解題失敗，11人轉(zhuǎn)化為不等式解集關(guān)系僅有2人成功解題，轉(zhuǎn)化為圖像位置關(guān)系解題的有8人成功，利用特殊值解題的有5人成功.個(gè)別學(xué)生甚至嘗試2～3種方法都解題失敗，收集學(xué)生解答過(guò)程發(fā)現(xiàn)：面對(duì)困難，若能勇敢嘗試，大膽突破，其實(shí)“條條大路通羅馬”.

思路1構(gòu)造函數(shù)

學(xué)生解答：因?yàn)閇(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,所以

(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1≥0.

設(shè)f(x)=(a-1)x3-(a2-a+1)x2+x+1，則

f′(x)=3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1.

出現(xiàn)困難：不等式

f′(x)=3(a-1)x2-2(a2-a+1)x+1≥0

的解集無(wú)法求.

突破困難：正確理解解不等式f′(x)≥0的意義，道是“不解”勝“詳解”.

解法1當(dāng)a=1時(shí)，顯然不合題意.記

Δ=4(a2-a+1)2-12(a-1),

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

再次突破：代數(shù)技巧“設(shè)而不求”能巧妙地避實(shí)就虛，實(shí)現(xiàn)“化繁為簡(jiǎn)”的目的.

解法2以數(shù)解形

若a-1≤0，則當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→-∞，因此a-1>0.因?yàn)閤2-ax-1=0有2個(gè)相異實(shí)根，所以f(x)=0至少有2個(gè)實(shí)根.

(1)當(dāng)Δ≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)只有1個(gè)根，故舍去.

(2)當(dāng)Δ>0時(shí)，設(shè)f′(x)=0的2個(gè)根為x1,x2，且x10.

表1 f (x)與f ′(x)的取值情況

思路2解不等式組

學(xué)生解答：因?yàn)閇(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0等價(jià)于

當(dāng)a-1>0時(shí)，

首次突破：巧用符號(hào)在分類(lèi)討論中可達(dá)到“事半功倍”之效.

解法3記方程x2-ax-1=0的2個(gè)根為x1,x2，且x10，

當(dāng)a-1≤0時(shí)，顯然不合題意.

當(dāng)a-1>0時(shí)，

由題意可得

從而

即

故

（二）教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生觀察家庭生活。家庭同樣是孩子的學(xué)校，同時(shí)也是孩子最放松、最熟悉的地帶。家庭教育與學(xué)校教育關(guān)系密切。教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)家長(zhǎng)積極主動(dòng)參與學(xué)生的校外學(xué)習(xí)，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生在家中觀察家庭成員、記錄家庭事件，從而積累豐富的寫(xiě)作素材。比如，教師引導(dǎo)學(xué)生記錄家事，引導(dǎo)學(xué)生記錄下家里發(fā)生的難忘的事情、開(kāi)心的事情、難過(guò)的事情等等。這樣一來(lái)，家庭瑣事、家庭成員的活動(dòng)等等也將成為孩子寫(xiě)作素材的一大來(lái)源，記錄家庭事件可以充分激發(fā)學(xué)生的積極性，激勵(lì)孩子寫(xiě)出真實(shí)而不套路的文字。

再次突破：高次不等式轉(zhuǎn)化為不等式組有“化簡(jiǎn)為繁”之嫌，零點(diǎn)分區(qū)間討論是解決高次不等式的有效手段.

解法4當(dāng)a-1>0時(shí)，原不等式等價(jià)于

圖6

圖7

圖8

思路3參變量分離轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題

學(xué)生解答：因?yàn)閇(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0等價(jià)于

所以

從而

故

首次突破：只有正確理解“或”才能避免此類(lèi)“失誤”.

解法5結(jié)合y=x2-ax-1的圖像(如圖9所示)可以發(fā)現(xiàn)：

圖9

圖10

解法6由y=(a-1)x-1的圖像(如圖10所示)可以發(fā)現(xiàn)(其中a-1≤0不合題意)：

再次突破：優(yōu)化解法5和解法6.

思路4考察2個(gè)函數(shù)圖像的位置關(guān)系

解法7學(xué)生解答

在同一坐標(biāo)系作出y=x2-ax-1及y=(a-1)x-1的圖像，顯然2個(gè)函數(shù)都過(guò)定點(diǎn)(0,-1).記方程x2-ax-1=0的2個(gè)根為x1,x2，且x10.

圖11

圖12

圖13

圖14

解法8以數(shù)解形

三次突破：變量分離的實(shí)質(zhì)是變更主元.

思路5變更主元

解法9以a為主元,由原不等式可得

[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0，

因此

又a是一個(gè)確定的值，由兩邊夾原理可得

從而

x=2,

故

解法10將ax看成主元,由原不等式可得

[ax-(x+1)][ax-(x2-1)]≤0，

圖15

思路6特殊值法

解法11學(xué)生解答

當(dāng)x=1時(shí)，0≤a≤2;

本題作為填空題的最后一題，具有一定的難度和區(qū)分度，思維的切入點(diǎn)較多，思維空間較大，為不同水平的學(xué)生提供了不同的發(fā)揮空間.本題由學(xué)生熟悉的習(xí)題改編而成，考生雖有似曾相識(shí)的感覺(jué)，但往往被“浮云遮望眼”，此時(shí)需要信心，需要通過(guò)觀察、聯(lián)想、分析、轉(zhuǎn)化來(lái)達(dá)到“深思熟慮”,突破困難，進(jìn)而達(dá)到“子自知”的境界.此題對(duì)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維論、方法論教學(xué)，避免陷入盲目、機(jī)械的解題訓(xùn)練起到了很好的導(dǎo)向作用.