董金新 林謝昭 應(yīng) 濟(jì) 李 俊

1.溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院，溫州，325035 2.浙江大學(xué)，杭州，310027

0 引言

微流體系統(tǒng)中大都要求有微泵。其中，薄膜往復(fù)振動式無閥微泵是以擴(kuò)散／收縮單元為閥門，通過泵膜的振動驅(qū)動流體，其制造簡單，可以驅(qū)動一些非均相的流體，是眾多研究的焦點。根據(jù)驅(qū)動原理不同，無閥微泵可劃分為電磁、靜電、壓電、形狀記憶合金等多種類型。其中，靜電無閥微泵具有較低功耗，易于與IC工藝集成兼容等優(yōu)點，而得到廣泛關(guān)注。

由于微泵的尺度很小，薄膜往復(fù)振動式無閥微泵的絕大部分物理量難以通過實驗測量，特別是瞬態(tài)量。因此，在微泵的研制階段，利用數(shù)值方法對動態(tài)性能進(jìn)行仿真、預(yù)測顯得很重要。它不僅可降低費(fèi)用，而且能更好地了解微泵的工作原理以及可能的潛在缺陷。但因微泵中柔性泵膜、電驅(qū)動和流體相互耦合，加之流體在擴(kuò)散／收縮單元中的不同流動方向表現(xiàn)出的不同壓力特性，增加了對整個泵的仿真難度和復(fù)雜性。早期的研究采用低階集總參數(shù)模型［1－2］和等效電網(wǎng)絡(luò)模型［3］等簡化方法，忽略了參數(shù)的空間分布特性。目前大部分的研究沒有考慮泵的流固耦合效應(yīng)，也無法建立電驅(qū)動信號量與流體動力學(xué)量（比如流量）之間的關(guān)系。或是研究驅(qū)動器的動態(tài)特性［4－7］；或是簡化流體場，根據(jù)擴(kuò)散／收縮單元的壓力損失系數(shù)，將泵膜的運(yùn)動與泵腔內(nèi)外壓力以及擴(kuò)散／收縮單元流量聯(lián)系起來，研究泵膜的動態(tài)特性［8－11］；或是將驅(qū)動器的位移輸出，作為流體場的移動壁面問題來研究泵流體的動力學(xué)特性［12－14］。實際上，泵膜的動態(tài)特性與流體黏滯損失的非線性和不穩(wěn)定性等是相互影響的。為了理解整個微泵的動態(tài)特性，模型必須能有效地描述這些耦合效應(yīng)［15－16］。本文以靜電無閥微泵為對象，建立靜電－結(jié)構(gòu)－流體全耦合的3維模型，利用數(shù)值方法，仿真并分析各個變量的非線性動態(tài)特性。

1 模型的建立

1.1 控制方程、邊界條件以及初始條件

圖1所示為靜電無閥微泵的結(jié)構(gòu)示意圖。對于泵送流體，采用任意拉格朗日－歐拉（ALE）描述比較方便。某一時刻，在參考系中＾x位置流動的流體質(zhì)點速度u的時間導(dǎo)數(shù)可以表示為

圖1 靜電無閥微泵的結(jié)構(gòu)示意圖

流體域Ωf的不可壓縮流動動量守恒定律以及連續(xù)方程可以表示為

式中，ρf、f、σ分別為流體密度、體積力向量和Cauchy應(yīng)力張量；［0，T］為所考察的時間間隔。

牛頓流體的本構(gòu)方程為

在泵膜流固耦合界面Γf－s處，邊界條件如下：

式（5）為流固界面Γf－s處的無滑移條件；在流固界面Γf－s上，參考系的速度＾v及其位置＾x需要滿足連續(xù)條件式（6），以保證參考系的邊界準(zhǔn)確地表達(dá)結(jié)構(gòu)的當(dāng)前構(gòu)型。沿著界面的應(yīng)力平衡由式（7）表達(dá)。

對于泵膜，可以利用標(biāo)準(zhǔn)的Lagrangian描述建立其運(yùn)動學(xué)方程，即

式中，ρs為固體的密度。

泵膜流固耦合邊界Γf－s滿足：

邊界條件式（9）、式（10）分別對應(yīng)于式（5）和式（7）。

如果沒有包含自由電荷，則描述靜電場的Poisson方程可以表示為

式中，φ為靜電勢；ε為介電常數(shù)張量；E為靜電場電場強(qiáng)度。

Maxwell靜電應(yīng)力張量TE由下式計算：

式中，F(xiàn)E為靜電載荷。

各個場變量的初始條件都設(shè)置為零。為了計算易于收斂，將一個很小的初值輸入到模型中。

1.2 模型參數(shù)及材料屬性

圖1所示靜電微泵的泵膜厚度為10μm，泵腔深度為100μm，泵膜半徑為2000μm；擴(kuò)散／收縮單元的幾何結(jié)構(gòu)相同，長度為1000μm，最小端面寬度尺寸為80μm，擴(kuò)張角為10°；連接的進(jìn)出口管道長度皆為2000μm，寬度為200μm。流體介質(zhì)為去離子水，物性參數(shù)如表1所示。

表1 與微泵仿真相關(guān)的材料屬性參數(shù)

假設(shè)層流流動，考慮對稱性，在CFD－ACE中建立微泵的一半模型。利用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分流體，單元數(shù)為52 880個，泵膜劃分為4974個殼單元。使用基于壓力修正的SIMPLE－C 算法對流動以及能量進(jìn)行順序積分，獲得流場的解。流體域的對流和擴(kuò)散采用一階迎風(fēng)格式，時間積分采用了Crank－Nicolson格式。使用基于有限體積法的計算格式求解靜電場，這樣可以處理不同介質(zhì)介電常數(shù)問題。利用一階殼單元來表達(dá)泵膜，并進(jìn)行大變形和接觸等幾何非線性分析?？紤]到靜電、結(jié)構(gòu)以及流動耦合求解的需要，利用網(wǎng)格重劃分工具，使用預(yù)測－校正方法對局部變形進(jìn)行連續(xù)修正，將流動速度和結(jié)構(gòu)速度聯(lián)系起來，實現(xiàn)流固耦合分析。流體和結(jié)構(gòu)求解器的耦合迭代頻率設(shè)置為fc＝1，使得流體場和結(jié)構(gòu)場信息能及時得到交換和更新。當(dāng)量綱一殘差小于10－4時，認(rèn)為計算是收斂的。施加的周期性驅(qū)動電壓V＝200（1－cos（20πt））（泵腔底電壓為零），在Pentium－3.0GHz的PC機(jī)中，完成3.5個周期的求解，共350個子步數(shù)，求解時間約為59h。

2 結(jié)果及討論

2.1 泵膜的動力學(xué)特性

圖2所示為計算得到的泵膜中心點垂直方向上的位移隨時間變化曲線，圖中最大變形量為28.433μm?？紤]流固耦合效應(yīng)后，在流體阻尼作用下，泵膜無法回復(fù)至初始零位置，0.653μm為新的平衡位置。穩(wěn)態(tài)情況下，泵膜位移的變化滯后于輸入電壓信號的變化，一個周期的滯后時間約為0.01s。

圖2 泵膜中心垂直方向上的位移隨時間變化曲線

2.2 流場的瞬態(tài)特性

實際上，泵流體動態(tài)特性更為設(shè)計者所關(guān)注，為了更好地詮釋泵膜振動與流體特性之間的耦合關(guān)系，用圖3所示的泵膜流固耦合界面上中心點處的垂直方向位移與泵腔內(nèi)流體壓力來顯示其對應(yīng)關(guān)系，從圖中可以明顯地看出，流體壓力的變化與泵膜的位移存在著密切關(guān)系。在靜電力的作用下，泵膜下拉變形的速度大于回彈的速度，所以在流體壓出泵腔的過程中其壓力變化較大，最高壓力為945.1Pa；而在流體吸入泵腔過程中，其壓力變化相對較小，最大負(fù)壓為－558.0Pa；整個泵送過程中，流體壓力呈現(xiàn)非對稱性變化。圖3還表明，泵初始工作點從零點開始，經(jīng)過第一個周期的瞬態(tài)過程后，第二個周期的軌跡與第三個周期的軌跡已經(jīng)重合，表明泵已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)定工作狀態(tài)。流體壓力的波動周期同樣滯后于驅(qū)動電壓的變化（約0.01s）。

圖3 泵膜中心點處垂直方向上位移與流體壓力的關(guān)系

圖4所示為進(jìn)出口單元處的瞬態(tài)體積流量變化曲線，從圖中可以看出，在泵膜下拉（往固定電極）運(yùn)動階段（泵送階段），出口單元的瞬態(tài)流量大于進(jìn)口單元的瞬態(tài)流量；而在泵膜回彈階段（泵吸入階段），進(jìn)口單元的流量則大于出口單元的流量。最大的瞬態(tài)流量差發(fā)生在泵腔內(nèi)壓力達(dá)到極大值時刻，而在泵腔內(nèi)壓力與進(jìn)出口壓力相差不大的時間段，進(jìn)出口單元的流量相差不大。表明要使擴(kuò)散／收縮單元發(fā)揮“整流”作用，其兩端的壓力差必須達(dá)到一定值，并且壓力差要盡可能地大。對穩(wěn)態(tài)情況下的泵凈流量進(jìn)行積分計算，得到的凈輸出流量為10.764nL／s。

圖4 進(jìn)出口瞬態(tài)流量隨時間的變化

圖5所示為微泵橫截面方向上流體壓力的分布情況，由圖可知泵腔內(nèi)的壓力幾乎分布一致，說明在平面布置的無閥微泵中，采用Reynolds方程來描述泵腔內(nèi)流體的瞬態(tài)動力學(xué)特性具有一定的可行性。另外，微泵所連接的進(jìn)出口管道對微泵的工作性能也有影響。

圖5 不同時刻下的微泵橫截面方向上的壓力分布情況

考慮了流固耦合特性后，模型不僅能夠仿真泵流場的動態(tài)特性，還能夠仿真泵膜的應(yīng)力特性變化。圖6所示為t＝28ms時刻的泵腔內(nèi)流體壓力分布與泵膜應(yīng)力分布情況，以及這一時刻的擴(kuò)散／收縮單元內(nèi)流體的速度場分布。此時，泵腔內(nèi)流體壓力達(dá)到最大值945.3Pa，泵膜中心撓度為13.20μm；泵 膜 邊 緣 處 VonMises 應(yīng) 力 為28.39MPa。微泵腔內(nèi)的流速較小，擴(kuò)張管／收縮管頸部的平均流速達(dá)到最大，計算得到的平均流速為0.0867m／s，雷諾數(shù)為7.71，遠(yuǎn)小于宏觀條件下通常認(rèn)定的臨界雷諾數(shù)（2000左右），這也證實了前面假設(shè)層流流動模式的正確性。另外，圖6b和圖6c表明，收縮／擴(kuò)散管內(nèi)未出現(xiàn)流體與固體壁面分離流動現(xiàn)象。

圖6 t＝28ms時刻的泵膜應(yīng)力和微泵的流體場瞬態(tài)結(jié)果

3 結(jié)論

（1）擴(kuò)散／收縮單元的最大流量差都發(fā)生在泵腔內(nèi)壓力與進(jìn)出口壓力相差最大的時刻，表明要使得擴(kuò)散單元發(fā)揮“整流”作用，其單元兩端的壓力差必須達(dá)到一定值。

（2）在仿真的每個時刻，泵腔內(nèi)流體壓力分布幾乎一致，表明用Reynolds方程來描述泵腔內(nèi)流體動力學(xué)特性具有可行性。

（3）仿真得到的最大雷諾數(shù)遠(yuǎn)小于通常認(rèn)定的臨界雷諾數(shù)，表明微泵流體具有層流特性。

（4）泵腔內(nèi)流體動態(tài)特性與泵膜的運(yùn)動存在著密切關(guān)系，如果忽略了流固耦合效應(yīng)，簡單地將微泵的驅(qū)動器與腔內(nèi)的流場分離處理，必然歪曲了泵流體場的動態(tài)特性。泵膜變形、流體壓力和進(jìn)出口流速等響應(yīng)與輸入電壓信號之間存在著滯后現(xiàn)象。對微泵的3D全耦合仿真，能夠獲得驅(qū)動電信號與流體流量、泵送壓力等輸出變量之間的直接關(guān)系，有利于從整體意義上實現(xiàn)微泵的優(yōu)化設(shè)計。

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